鉆研解法預(yù)設(shè)鋪墊，對話追問引導(dǎo)回顧

摘要：“新定義”考題是近年來的一類熱點(diǎn)題型，如何開展這類考題的解題教學(xué)值得研究．比如，圍繞“新定義”考題研發(fā)“一題一課”式教學(xué)設(shè)計(jì)就值得嘗試．在備課時(shí)，教師要先深入鉆研“新定義”考題的解法，想清辨明關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)點(diǎn)或解題細(xì)節(jié)，然后精心預(yù)設(shè)“鋪墊式問題”，最后還應(yīng)重視解后回顧與反思環(huán)節(jié)．

關(guān)鍵詞：“新定義”考題；教學(xué)設(shè)計(jì)；鋪墊式問題；解后回顧

近年來，隨著不少地區(qū)中考卷設(shè)計(jì)了一些“新定義”考題，使得相關(guān)地區(qū)不只在九年級的模擬試卷中出現(xiàn)大量“新定義”考題，在七、八年級的期末考試中也出現(xiàn)了很多“新定義”考題．而不少學(xué)生對這些推陳出新的“新定義”考題常感束手無策，“新定義”也使得一些學(xué)生在解題時(shí)增加了畏難情緒．筆者近期圍繞一道新定義考題進(jìn)行改編、再加工，設(shè)計(jì)了一節(jié)關(guān)于新定義考題的“一題一課”專題教學(xué)，帶領(lǐng)更多學(xué)生挑戰(zhàn)“新定義”考題，增強(qiáng)他們的解題自信，取得了較好的教學(xué)效果．本文結(jié)合這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并圍繞新定義考題的解題教學(xué)，提出一些思考，提供研討．

1 一道“新定義”綜合題的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 考題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)M（a，b），N（c，d），作點(diǎn)M關(guān)于直線x＝c的對稱點(diǎn)M′，當(dāng)d≥0時(shí)，將點(diǎn)M′向上平移d個(gè)單位，當(dāng)d＜0時(shí)，將點(diǎn)M′向下平移|d|個(gè)單位，得到點(diǎn)P，我們稱點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的對稱平移點(diǎn)．

已知點(diǎn)B（m，m），點(diǎn)A（1.5m，0）．點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱平移點(diǎn)，當(dāng)以A，B，C，O為頂點(diǎn)的四邊形圍成的面積為6時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

1.2 教學(xué)環(huán)節(jié)一：讀懂“新定義”，舉例理解

問題1 （出示“新定義”的題干后）若點(diǎn)A（1，2），M（3，5），對照“新定義”，分析點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的對稱平移點(diǎn)的坐標(biāo)．

教學(xué)預(yù)設(shè)：如圖1，畫出草圖，先求出點(diǎn)A關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)

A′（5，2），再將點(diǎn)A′向上平移5個(gè)單位得B（5，7）．如果有學(xué)生感覺比較困難，可再提供一個(gè)變式——若C（3，1），求點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M的對稱平移點(diǎn)的坐標(biāo)．

1.3 教學(xué)環(huán)節(jié)二：運(yùn)用“新定義”，拾級而上

問題2 （在學(xué)生初步熟悉“新定義”之后，出示并研究考題）已知點(diǎn)B（m，m），點(diǎn)A（1.5m，0）．點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱平移點(diǎn)，當(dāng)以A，B，C，O為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

教學(xué)預(yù)設(shè)：先安排學(xué)生分析點(diǎn)A，B，C的可能位置，由于字母m的取值范圍沒有限定為正數(shù)，還要討論m＞0和m＜0兩種可能的情形．引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造分析.

當(dāng)m＞0時(shí)，構(gòu)造如圖2所示的圖形進(jìn)一步分析，可發(fā)現(xiàn)四邊形ABCO是梯形，結(jié)合B（m，m），OA＝1.5m，BC＝0.5m，由梯形面積公式可得關(guān)于m的方程，12×（0.5m+1.5m）×m＝6，解得m= 6或－ 6（舍去）．當(dāng)m＜0時(shí)，用類似的分析方法（如果學(xué)情較弱，這種情形要留出更多時(shí)間讓學(xué)生畫圖分析、求解，不宜直接“同理可得”）可求出m=－ 6．所以，m的值為± 6．

1.4 教學(xué)環(huán)節(jié)三：運(yùn)用“新定義”，挑戰(zhàn)難題

問題3 已知點(diǎn)B（m，m），點(diǎn)A（1.5m，0），且mgt;0．點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D，點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)G，以AD為邊向上作正方形ADEF，以DG為邊向上作正方形DGMN，點(diǎn)P為正方形ADEF的邊上的一個(gè)動點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，若點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的所有對稱平移點(diǎn)都在正方形DGMN的內(nèi)部或邊上，分析m可取的最值（最大值和最小值）．

教學(xué)預(yù)設(shè)：這個(gè)問題的難點(diǎn)之一在于構(gòu)造圖形分析，如圖3是符合要求的構(gòu)圖，在大正方形DGMN內(nèi)部的“虛線正方形”A′D′E′F′是由點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的所有對稱平移點(diǎn)“形成”的，這個(gè)“虛線正方形”的“形成”過程需要學(xué)生充分理解．然后再分析出這個(gè)“虛線正方形”的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，用含m的式子表示，如點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)的平移對稱點(diǎn)分別為

A′（2m，m），D′（2m+2，m），E′（2m+2，m+1），F(xiàn)′（2m，m+1）．還需要表示出正方形DGMN各個(gè)頂點(diǎn)，如D（1.5m+1，0），G（1.5m+6，0），M（1.5m+6，5），N（1.5m+1，5）．為了保證“虛線正方形”A′D′E′F′都在大正方形DGMN內(nèi)部或邊上，m必須滿足2m≥1.5m+1，2m+2≤1.5m+6，m+1≤5，解得2≤m≤4.故滿足題意的m的最小值為2，最大值為4．

1.5 教學(xué)環(huán)節(jié)四：解后回顧，反思提升

小結(jié)問題1 本課研究的這道新定義考題，首先是理解新定義，其中畫圖分析非常關(guān)鍵.你覺得怎樣才能畫出比較準(zhǔn)確的圖形？將你的經(jīng)驗(yàn)與同學(xué)們分享一下．

小結(jié)問題2 “問題2”的“－ 6”在第一象限畫圖分析時(shí)被舍去，為什么最后又有兩解（± 6）？

小結(jié)問題3 “問題3”中“虛線正方形”是如何生成的？在分析“虛線正方形”的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，你覺得怎樣更快？請說說你的理解．

2 關(guān)于新定義考題解題教學(xué)的一些思考

2.1 深入鉆研新定義考題的解法是備課前提

作為一份試卷中的新定義考題，在呈現(xiàn)時(shí)往往力求簡潔，這樣就不會像平時(shí)我們在新授課時(shí)那樣，對一個(gè)新概念要從不同的角度進(jìn)行定義或解釋.比如，為了說清絕對值的概念，我們會基于數(shù)軸直觀地給出定義，然后再給出絕對值的符號表示，最后舉例讓學(xué)生理解和運(yùn)用．而考卷上的新定義，往往只是“單一”給出定義，教師在鉆研這些新定義時(shí)，要善于給出新定義的“不同表征”（比如文字表述、符號表達(dá)、圖形直觀等）．在此基礎(chǔ)上，再研究問題的解法．值得指出的是，不少新定義考題的第（1）問，往往直接代入計(jì)算就能獲得結(jié)果，可是由于沒有從圖形的直觀角度對第（1）問進(jìn)行“再認(rèn)識”，對于后續(xù)較難問題的求解是不利的.如果能在解題的起步階段就對新定義有全方位、多角度、深層次的理解和揭示，特別是幾何結(jié)構(gòu)的揭示與理解，對后續(xù)較難問題的思路獲取會有很大幫助．對于教師的課前備課，深入鉆研新定義考題的解法，深刻理解新定義的幾何結(jié)構(gòu)是備課的前提和關(guān)鍵．

2.2 圍繞較難題預(yù)設(shè)鋪墊式問題是教學(xué)關(guān)鍵

在深刻理解新定義之后，對設(shè)問中的較難題要想清有哪些關(guān)鍵步驟，接著針對這些關(guān)鍵步驟預(yù)設(shè)鋪墊式問題.鋪墊式問題常常體現(xiàn)了“例值引路”“以退為進(jìn)”等解題策略．具體來說，為了解決某個(gè)較難題，可能會先舉一個(gè)讓學(xué)生容易理解

的例子，然后再拾級而上，給出一個(gè)相對有難度的“臺階”問題［1］，在這些鋪墊問題的熱身練習(xí)之后，學(xué)生再迎難而上，挑戰(zhàn)難題，思路自然而然就生成了，這樣不但實(shí)現(xiàn)了問題解決，而且?guī)椭鷮W(xué)生收獲了解題自信．需要指出的是，課前預(yù)設(shè)的鋪墊式問題應(yīng)該更加“細(xì)致和密集”（可將“學(xué)情”想象得更弱作為預(yù)設(shè)鋪墊問題或啟發(fā)式問題的起點(diǎn)），然而在具體教學(xué)實(shí)施時(shí)，要根據(jù)學(xué)情的實(shí)際情況出示鋪墊式問題．比如，教學(xué)進(jìn)程中，當(dāng)有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生已“跳過”課前預(yù)設(shè)的好幾個(gè)鋪墊式問題時(shí)，教師為了幫助更多還沒跟上解題進(jìn)度的學(xué)生，可以“打斷”學(xué)生的講解，請?jiān)搶W(xué)生講講他“跳過”的一些關(guān)鍵步驟，展開思維過程，讓更多的學(xué)生跟上解題進(jìn)度．這樣，課前預(yù)設(shè)的有些鋪墊式問題就不必出示了，因?yàn)橐延袑W(xué)生幫助提供了這些鋪墊式問題的講解．

2.3 新定義考題講評之后要安排回顧與反思

新定義考題一般都是在每份試卷中的最后一題（也稱“壓軸題”），這類考題的最后一問往往綜合性較強(qiáng)，成功解題需要打通多個(gè)關(guān)鍵步驟．這就要求教師在講評這類較難題時(shí)，要充分預(yù)設(shè)解后回顧與反思的環(huán)節(jié)．如上文教學(xué)設(shè)計(jì)中所見，精心預(yù)設(shè)“小結(jié)問題”，組織和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同角度進(jìn)行回顧反思，才能促進(jìn)深入反思、有效提煉，積累解題策略，感悟解題經(jīng)驗(yàn)［2］．在預(yù)設(shè)“小結(jié)問題”時(shí)，要防范“大而空”的問題，比如“這節(jié)課學(xué)到了什么”“這節(jié)課感悟了什么思想方法”“你還有哪些疑惑”之類．預(yù)設(shè)出針對性強(qiáng)的小結(jié)問題，才能促進(jìn)學(xué)生對解題過程中的關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)點(diǎn)、表達(dá)細(xì)節(jié)等達(dá)到更好的回顧、反思與提升．

參考文獻(xiàn)：

［1］王穎．充分鋪墊與復(fù)述思路：新定義考題的教學(xué)體會——以一道新定義考題的解題教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（22）：40-41．

［2］范小震．精心設(shè)計(jì)漸次展開，“一題一課”學(xué)深悟透——以一道新定義考題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（12）：41-42．