生長性:初中數學教學的永恒追求

“生長”這一概念，原本是一個生物學、生態學的術語，后來被引入多學科研究之中.在數學教學研究中，援引“生長”這一概念、術語，其根本目的是要讓教學形成一種價值追求.生長性的課堂，不僅僅是知識性的課堂，更是生命性的課堂.正是在生命成長這一意義上，美國著名教育家杜威先生說，“教育即生長”.初中數學生長性教學，其核心要義有三：其一是數學學科的生長性，其二是學生認知的生長性，其三是學生學習策略、路徑的生長性［1］.因此，教師在教學中要研究數學、研究學生、研究學習.

1 研究數學，返回源頭，讓學生自然生長

研究數學是初中生長性數學教學的應有之義、應然之舉.在數學教學中，教師不僅要樹立正確的數學觀、數學價值觀、數學教育價值觀，更要在微觀的數學知識、技能研究上下功夫.對于學生數學生命生長來說，數學觀、數學教育價值觀等猶如一只“看不見的手”，發揮著一種隱性的、長期性的作用；而數學知識、技能等則發揮著一種顯性的、即時性的作用.在宏觀的數學觀、數學教育價值觀指引下，教師要將教材中的“學術形態”的數學知識轉化成“教育形態”“生命形態”.

應該說，初中數學教材中的數學知識基本上都是“學術形態”的，這樣的一些數學知識是抽象的、概括性的，是處于“壓縮”的狀態之下的.作為教師，就是要將這些處于“壓縮”形態下的知識“解壓”，恢復知識誕生時的過程形態.換言之，教師要將“學術形態”的知識轉化為“原始形態”，從而有效地引導學生經歷數學知識的形式化、公理化過程.通過這一過程，學生能深刻地感受、體驗到數學學科知識的生長性.“數學知識是什么？”“數學知識從哪里來？”“數學知識到哪里去？”等等.只有返回數學知識的誕生源頭，才能讓學生的數學學習自然地生長.比如教學“勾股定理”（人教版八年級上冊）這一部分內容時，教師就可以從兩個方面入手，來引導學生感受、體驗數學學科知識的生長性.一是從數學史的視角，讓學生認識到“勾股定理”“無理數”等的誕生的艱辛歷程；其二是從發生學的視角，將勾股定理相關的證明方法融入、滲透到教學之中，引導學生用多種方法來證明勾股定理.這里，不僅要展現勾股定理在西方的發展史，更要展現勾股定理在我國的發展史；不僅要引導學生學習西方的一些證明方法，同時也要引導學生學習我國古代的一些證明方法，比如“趙爽弦圖”“歐幾里得證法”“伽菲爾徳證法”等.

從知識的“原始形態”開始，引導學生經歷數學知識的形成、精致化過程，就能讓學生感受、體驗到數學知識的魅力.通過引導學生經歷數學知識曲折的誕生歷程，能讓學生樹立一種“可誤主義”的數學觀，這種數學觀在后續的數學學習過程中有助于催生學生積極的、大膽的、不懈的思考與探索.通過返回源頭研究數學，能讓學生的數學生命自然生長.

2 研究學生，返回心理，讓學生自己生長

生長性教學不僅指數學學科和數學知識的生長性，而且還指學生認知心理的生長性.一般而言，學生在學習新知時，往往會產生認知沖突，這種認知沖突其實就是學生認知心理的不平衡.通過生長性的數學教學，能化解、消解學生的認知沖突，進而通過認知心理的同化與順應，將學生的“不平衡心理”轉化為“平衡心理”.而在“平衡心理”的基礎上，學生又會產生新的認知“心理不平衡”［2］.在這個過程中，學生的認知心理獲得一種螺旋式上升的發展.

比如教學“不等式”這部分內容時，許多教師通常都會喚醒、激活學生的“方程”經驗.但我們知道，方程畢竟不同于不等式，二者之間有著相似點，但沒有相同點.為了讓教學切入學生數學認知的“最近發展區”，教師可以從方程入手，但同時要幫助學生化解認知沖突，尤其是要引導學生比較方程與不等式的不同之處.比如方程的解一般是有限個，而不等式的解一般是無限個；比如方程使用“=”號連接，而不等式是用“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”等符號連接.對于這些符號，要讓學生認識到它們的意義，尤其是對于“≥”“≤”這樣的不等號，學生的理解往往會出現分歧.比如，筆者在教學中發現，不少學生認為“≥”就是“大于并且等于”，故有學生對于“3≥2”這樣的式子不太理解，總認為這樣的式子表達是錯誤的，應該是“3gt;2”.對于這樣的一種認知心理，教師要積極引導學生轉變，讓學生認識到，“≥”是“大于或者等于”.在這個過程中，教師要引導學生重點認識“或”怎么表達，“且”怎么表達.只有認識到不等號的意義，學生才能在解不等式時形成正確的解集，才能正確表達公共的解集，等等.同樣，區別于方程的是，不等式的解集通常不僅僅用符號來表示，而且用比較形象、直觀的數軸來表示.教學中，教師同樣要激發學生的原有認知，讓學生思考：怎樣表示不等式的解集？如此，學生自然會調動自我已有知識經驗，想到用符號、列表或圖形等來表示.在此基礎上，可以引導學生嘗試用三種表示方法表示解集，并引導學生比較三種表示方法的優劣性，從而讓學生感受、體驗到用數軸表示不等式解集的直觀性.如此，不等式解集的數軸表示就不是教師強加給學生的一種規定，而是學生自主創造的結果.這樣的教學，基于學生的已有認知，同時又對學生的已有認知進行拓展.在不等式這部分內容的教學中，教師還可以通過比較的方法引導學生建構不等式基本性質、不等式解法、不等式組的解法、解集驗證等相關內容.

顯然，返回學生心理的數學教學有兩個層面的意義：其一是充分利用學生心理的原有認知結構；其二是充分拓展、豐富、改變學生的原有心理認知結構.在這個過程中，學生的認知心理不斷地改變，不斷地豐富.學生的數學學習素養自主地生成，學生的認知心理自主地生長.在生長性數學教學中，教師不能無視、漠視、忽視學生的認知心理，更不能僭越學生的認知心理.而應當以學生的已有認知心理為基石，對接學生認知常態、原態、動態，以學生的現有認知心理為基礎，促成學生認知心理的積極轉變.

3 研究學習，返回策略，讓學生自由生長

生長性的數學教學，不僅著眼于數學的生長、學生認知心理的生長，更著眼于學生學習策略的生長.為此，教師要深度研究學生的學習策略、路徑等.通過研究學生學習策略、路徑等，讓學生數學學習自由生長.返回策略的生長性的數學教學，著力于引導學生學習進階，讓學生的數學學習不斷地從“低階”邁向“高階”［3］.作為教師，不僅僅要引導學生記憶、理解，更要引導學生分析、評價.研究學生的學習策略，一個重要的方面就是要研究學生的元認知活動，即對“認知”的認知，對學習活動的主動監控、調節等.通過研究學生的學習策略，促進學生數學學習的高效生長、和諧生長、分層生長、動態生長等.

比如教學“冪的運算”這一部分內容時，筆者引入物理、化學實驗中的“控制變量法”，引導學生借助于這一策略進行深度研究，促進了學生的認知發展.首先，引導學生自主提出問題：冪的運算可能包括哪些研究內容.通過這一問題，激發學生的已有認知，讓學生的數學學習自然發生，形成研究“冪的加法”“冪的減法”“冪的乘法”“冪的除法”“冪的乘方”“冪的開方”的想法.在此基礎上，我們引導學生分別研究“冪的加法”“冪的減法”等.如在研究“冪的加法”時，學生控制冪的指數或冪的底數，結果發現都不能計算.而同時控制冪的指數和底數，“冪的加法”就是一個合并同類項的問題.再比如，學生在研究“冪的乘法”時，控制指數之后，學生發現冪的運算就是積的乘方性質；控制底數，就是同底數冪相乘；同時控制底數和指數，則就是冪的乘方的特殊情況；等等.通過控制變量法，學生發現，整個這部分內容的學習其實就是“多題一解”；如果引導學生整體地看待這堂課，其實也是“多題一解”.換言之，通過“控制變量法”，學生對“冪的運算”能形成一種整體性的認知，這種一體化的認知不同于傳統的冪的運算的相關教學.通過“控制變量法”，不僅促進了學生的自主性學習，而且幫助學生打開了研究數學的又一通道，形成了探究數學的又一策略.這樣的研究策略，能夠幫助學生建構學習結構，展現學生的思維過程，讓學生感受、體驗到數學知識的生長.在引導學生學習相關的學習策略時，教師要把握學生的“認知元”，將學生“最近發展區”的相關知識、認知等轉化為學生數學學習的“營養液”.通過引導學生借助于認知策略進行自主學習，學生的數學素養在學習中不斷獲得生長.

生長性的數學教學，不僅僅關注教師自身的“教”，更關注學生的“學”，關注學生的學習 、學習策略、學習路徑等.教學中，教師不僅關注要學生“學什么”，更要關注學生“怎樣學”［4］.通過生長學生的數學學習策略，真正實現從教師的“教”走向教師的“不教”，走向學生的“自主學”“自能學”的目的.這個過程，不僅僅是學生數學知識、認知心理的生長過程，更是學生學習策略、學習方法等的生長過程.相比較于知識的增長，策略的生長更為重要、更有價值.

生長是一個連續性的過程.教學中，教師要以學生為中心，促進教學相長.要著眼于學生的數學素養，尊重、遵循學生數學學習的認知心理規律，啟迪學生的心智，讓學生的數學學習充滿著一種生命的自覺.要追求課堂的動態生成，讓學生主動建構.生長性的數學教學，要充分發掘學生數學學習過程的育人價值，充分彰顯數學學科的育人功能.通過生長性數學教學，促進學生數學學習力的提升，促進學生數學核心素養的生成.

參考文獻：

［1］李震.生命化課堂的價值、內涵和實踐樣態［J］.中國教育科學，2015（4）：135-163.

［2］夏晉祥.論生命課堂及其價值追求［J］.課程.教材.教法，2016（12）：91-97.

［3］王成剛，王克亮.數學課堂教學中問題驅動的實施策略［J］.教學與管理，2019（28）：60-62.

［4］陳玉生.素養為本的數學個性化作業設計策略［J］.教學與管理，2020（7）：59-61.