無刻度直尺作圖要有理有據(jù)

摘要：從某學(xué)校組織的第二階段數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷中一道用無刻度直尺作圖幾何題的答題情況來看，原題非常簡單，但學(xué)生的正確率只有4.75%.由此可見，像無刻度直尺作圖這樣以實(shí)踐操作為主的幾何題，目前是八年級(jí)學(xué)生的“軟肋”.為此，本文中先對(duì)學(xué)生的錯(cuò)解進(jìn)行分類并分析錯(cuò)因，然后針對(duì)只有無刻度直尺條件下的作圖題該如何解決提出方法和策略.

關(guān)鍵詞：無刻度直尺作圖；實(shí)踐操作；理論依據(jù)；動(dòng)手實(shí)踐能力

尺規(guī)作圖是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)幾何部分比較受歡迎的考查題型，不僅對(duì)學(xué)生的理論知識(shí)進(jìn)行了摸底，而且考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，真正做到了理論與實(shí)踐相結(jié)合［1］.然而，從某學(xué)校組織的第二階段數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷中的一道用無刻度直尺作圖的幾何題的解答情況來看，當(dāng)前很多學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖知之甚少.究竟是何種原因?qū)е碌模坑袩o解決辦法？本文中對(duì)此進(jìn)行了分析和研究.

1 原題呈現(xiàn)

如圖1-1，1-2所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠C=50°，∠A=100°.請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖.（保留作圖痕跡，不寫畫法.）

（1）在圖1-1中，以AD為腰畫一個(gè)等腰三角形ADE，且點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合；

（2）在圖1-2中畫一個(gè)140°的角.

2 錯(cuò)解及原因分析

從全校442份八年級(jí)學(xué)生所考試卷的批改情況來看，本題的錯(cuò)解主要可以分成以下幾類.

2.1 沒有讀懂題意

讀懂題意是理清思路的重要前提，只有讀懂了題意才能理清思路，才能正確解答問題［2］.然而，錯(cuò)解本題的學(xué)生大部分都沒有讀懂題意，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

首先，沒有注意到“僅用無刻度的直尺”這個(gè)條件.如圖2所示的錯(cuò)解中，竟然出現(xiàn)了圓弧的作圖痕跡，說明學(xué)生將“僅用無刻度的直尺”理解為“用圓規(guī)和直尺作圖”.

其次，沒有注意到“無刻度”這個(gè)條件.如圖3所示的幾種錯(cuò)解中，出現(xiàn)了作垂線、作平行線和作角平分線等作圖痕跡，而僅用無刻度直尺無法將之畫出.

最后，沒有注意到“不寫畫法”這個(gè)條件，寫出作法的同時(shí)給出了證明過程，屬于雙重錯(cuò)誤.如圖4所示，將作法和證明過程寫出，反而錯(cuò)誤.

2.2 沒有尊重事實(shí)，畫圖無理無據(jù)

如圖5所示的幾種錯(cuò)解，學(xué)生利用無刻度直尺隨意畫出了一個(gè)140°的角.從圖中可以看出，這些邊的畫法均缺少理論依據(jù)，屬于隨意亂畫，完全沒有尊重“無刻度直尺”作圖的事實(shí).

2.3 解題過程不規(guī)范，缺少結(jié)論

在為數(shù)不多的正確畫圖的學(xué)生當(dāng)中，有一部分學(xué)生因?yàn)榻忸}過程不規(guī)范而扣分，導(dǎo)致他們沒有得到滿分.如圖6所示，該生的作圖過程沒有問題，完全符合題目要求，但缺少了結(jié)論.

3 用無刻度直尺作圖的要點(diǎn)及訓(xùn)練方法

從以上錯(cuò)解可看出，學(xué)生對(duì)“僅用無刻度直尺作圖”的題意理解不夠準(zhǔn)確.事實(shí)上，在遇到“僅用無刻度直尺作圖”和“保留作圖痕跡，不寫畫法”的作圖要求時(shí)，通常有以下幾個(gè)要點(diǎn)需注意：

第一，直尺無刻度.既然直尺無刻度，那么就無法取中點(diǎn)、作垂直、作平行、平分角［3］.

第二，“僅用”意味著只能利用無刻度直尺作圖，任何使用除此之外的工具作圖的皆視為錯(cuò)誤，如圓規(guī)、量角器、三角尺等［4］.

第三，“保留作圖痕跡”說明作圖痕跡不能擦，也不能有多余的線.

如果是僅用無刻度直尺作圖，那么在日常教學(xué)中教師該如何指導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練呢？在此，筆者分享自己在課堂中的一些做法，希望與廣大一線教師進(jìn)行交流：

首先，讓學(xué)生準(zhǔn)備一張沒有任何線條和文字的白紙，將之折成一把無刻度的直尺.

然后，引導(dǎo)學(xué)生思考“這把直尺可用來做什么？”等問題.這時(shí)候，學(xué)生或單獨(dú)思考、操作，或小組內(nèi)交流、操作，慢慢地學(xué)生發(fā)現(xiàn)用這樣的直尺只能畫直線、連接兩個(gè)點(diǎn)畫線段、將線段延長;不能取線段的中點(diǎn)，不能畫垂線，也不能畫角平分線，更不能畫任意的一個(gè)角.

之后，師生一起總結(jié)無刻度直尺的作用.

最后，教師分享僅用無刻度直尺作圖的技巧，如連點(diǎn)生點(diǎn)法、延長生點(diǎn)法等，即在僅用無刻度直尺作圖的條件下，只能通過連接兩個(gè)點(diǎn)或延長線段等方法產(chǎn)生更多的點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)構(gòu)圖目的.當(dāng)然，教師還需要給學(xué)生補(bǔ)充無刻度直尺作圖一定要符合事實(shí)，一定要有理論依據(jù)，即是否能利用已學(xué)知識(shí)證明該畫法正確.如果無法提供正確的證明理論依據(jù)，雖然符合以上要求，但仍不是正確的作法［5］.

4 錯(cuò)解糾正

本題的正確解法應(yīng)如圖7所示.

解：（1）△AED即為所求作的等腰三角形;

（2）∠ADE即為所求作的140°的角.

5 結(jié)語

綜上所述，無刻度直尺作圖雖然是比較基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，但在歷年中考出現(xiàn)的頻率較大，學(xué)生易在本文中提及的幾個(gè)方面出錯(cuò).作為初中數(shù)學(xué)教師，一方面要從“無刻度直尺”的實(shí)際操作出發(fā)，另一方面要注重理論依據(jù)在作圖過程中的體現(xiàn).這樣一來，學(xué)生對(duì)這類問題才能形成正確的理解，才能不斷提升學(xué)生的實(shí)踐操作能力，對(duì)其綜合水平的提升也具有重要作用.

參考文獻(xiàn)：

［1］劉鵬， 張丹， 宋云鳳. 發(fā)揮直觀想象，發(fā)展推理意識(shí)——尺規(guī)作圖教學(xué)的思考與實(shí)踐［J］. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）， 2022（5）：4-7.

［2］張丹， 劉延革，于國文，等. 尺規(guī)作圖成就思維的精彩——“畫一個(gè)三角形”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）， 2022（5）：11-13.

［3］張萬梅. “得法”更要“明理”，追求有邏輯的作圖——從中考答卷談尺規(guī)作圖教學(xué)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育， 2019（23）：31-33，42.

［4］李發(fā)宏. 見“箏形”現(xiàn)“真形”——用尺規(guī)作基本圖形課堂教學(xué)片段的設(shè)計(jì)［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2018（7）：100.

［5］錢德春. 操作·聯(lián)想·遷移——如何想到“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖方法的［J］. 初中生世界， 2020（Z1）：79-80.