初中數學動點問題的分類和解題思路探究

摘要：動點問題因涉及的知識點較多，題目類型復雜，綜合性較強，解題規律不易尋找，成為了初中數學的重點和難點問題.本文中針對動點問題涉及的知識點以及主要的解題方法進行闡述，具體介紹了三種動點問題類型，詳細講解了運用二次函數的性質分析解答、借助熟悉的圖形進行求解、通過作圖的方式尋找特殊位置求解的三種解題方法，同時結合例題進行分析說明.

關鍵詞：動點問題；初中數學；數形結合；解題方法

1 引言

動點問題是初中數學中的一類常見題型，綜合性較強，是初中數學中的重點和難點問題.動點問題涉及的知識點廣泛，包括較為簡單的數軸問題，以及有一定難度的求幾何線段的長度、幾何圖形的存在性、面積的最值、函數的綜合類題型等.因此，有不少學生對其產生畏懼和逃避心理.動點問題的難點在于尋找未知量與已知量之間的聯系，涉及到分類討論、函數、數形結合等數學思想.因此，需要厘清知識脈絡，了解知識點之間的聯系，實現熟練掌握并能夠優化動點問題解題思路的目的.

2 動點問題涉及的主要知識點

（1）兩點之間線段最短、垂線段最短；

（2）數軸、絕對值；

（3）特殊三角形性質、相似三角形的性質；

（4）特殊四邊形性質，如平行四邊形、菱形、正方形、長方形、梯形等判定定理和性質定理，圓的性質；

（5）二次函數的性質.

3 動點問題常見基礎模型

模型一：如圖1所示，直線l的兩側分別有A，B兩點，在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小.針對這個模型，可直接連接A，B兩點，此時線段AB與直線l必定相交于一點，這個點正是我們要找的點P［1］.

模型二：如圖2所示，直線l的同側分別有A，B兩點，在直線l上找一點P，使得PA-PB的值最大.在這個模型中，直接連接A，B兩點，將線段AB延長與直線l的交點，就是所求的點P［1］.

模型三：如圖3所示，直線l的同側分別有A，B兩點，在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小.這個模型是最常見的一類，需要作點A（或者點B）關于直線l的對稱點，將同側轉化為異側，即轉化為模型一，利用兩點之間線段最短進行求解.

模型四：如圖4所示，點P是∠AOB內部的一點，M，N分別是邊OA，OB上的動點，求由P，M，N三點構成的△PMN的周長最小值.針對這個模型，分別作點P關于邊OA，OB的對稱點P′，P″，連接P′P″，則P′P″與邊OA，OB的交點就是所求的M，N，此時△PMN的周長最小.

以上四種模型是動點問題中最基礎、最重要的模型，在不同的題目中即使是再多幾個動點，其本質都是相通的，即兩點之間線段最短、三角形三邊關系定理、軸對稱等這些幾何知識的綜合.

4 幾種常見的動點問題類型

4.1 點在多邊形上運動

初中數學中的特殊幾何圖形有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形等，當動點問題以這些幾何圖形為載體時，題目的難度將會上升.這時就要綜合分析題目中變量與不變量，求出運動變量與已知量之間的函數關系，用變化的眼光對問題進行深入分析，探求動點在某一位置時是否可以形成某一特殊圖形，從而進行解答.

4.2 點在圓上運動

在初中數學中，圓的知識也是很重要的一部分.由于圓的特殊性，當動點在圓上或圓內運動時，會涉及到求最大（小）值的問題.

（1）求圓上一點P到圓內（外）一點A距離的最大（小）值.

設圓心到點A的距離為d.當點A在圓的內部時，PAmax=r+d，PAmin=r-d；當點A在圓的外部時，PAmax=r+d，PAmin=d-r.

（2）求圓上一點A到圓的相離直線的距離D的最大（小）值.

過圓心作相離直線的垂線與圓相交于兩點.設圓心到直線的距離為d，則Dmax=d+r，Dmin=d-r.

以上兩類是圓中求最值問題最常見的類型，涉及的知識點主要是“三角形三邊關系定理”.很多關于圓定點動的題目設計都是以這兩個模型為基礎，因此需要牢固掌握.

4.3 點在函數圖象上運動

初中階段主要學習了一次函數、二次函數、反比例函數，對應的函數圖象分別是直線、拋物線、雙曲線.在中考壓軸題中經常出現函數類綜合題，主要類型有：點在拋物線上運動，求線段、三角形面積的最值；函數圖象上是否存在一點，使該點與其他點能夠形成直角三角形、菱形、正方形等特殊圖形；尋找函數圖象上某一動點，能夠與其他已知點形成的三角形與已知三角形全等或相似［2］.

5 幾種常見的解題策略

5.1 運用二次函數的性質分析解答

二次函數是初中階段最重要的函數之一，利用二次函數的性質求解最值問題應用廣泛.遇到動點問題中求最值時，可以根據題干的問題情境設出相關參數，結合相似三角形的性質、線段的比例關系、勾股定理等知識，建立二次函數關系，利用二次函數的性質求出最值.在求解過程中一定要關注自變量的取值范圍［3］.

例1 如圖5所示，拋物線y=-12x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D.已知A（-1，0），C（0，2），E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當四邊形CDBF的面積最大時，點E的坐標為.

解析：四邊形CDBF的面積等于△CDB的面積與△BCF的面積之和，因為△CDB的面積為定值，所以

當四邊形CDBF的面積最大時，即△BCF的面積最大.設出點E的坐標，用點E的坐標表示出△BCF的面積，進而求出△BCF面積最大時點E的坐標.

在解題過程中需要作出輔助線，如圖6，過點E作EG垂直x軸于點G，交拋物線于點F，連接CF，BF.由題意可得拋物線解析式為y=-12x2+32x+2，直線BC的解析式為y=-12x+2.由點E在線段BC上，設其坐標為（x，-12x+2）（0＜x＜3），則點F的坐標設為（x，-12x2+32x+2），求得EF=-12x2+32x+2-（-12x+2）=-12x2+2x.由鉛垂法，得S△BCF=12FE·OB=-12（x-2）2+2.由二次函數的性質可知E的坐標為（2，1）時，△BCF面積最大，即四邊形CDBF的面積最大.

此題將四邊形分割為兩個三角形，將求四邊形面積最大值轉化為求三角形面積最大值.

通過設出點的坐標，結合圖形將三角形的面積表示出來，利用二次函數的性質，得出最終答案.

5.2 利用熟悉的圖形進行求解

幾何題目中的動點問題，要根據題目的條件，將動態問題轉化為靜態知識，即畫出動點在某個特殊位置時對應的幾何圖形，將動態過程反應在所畫的圖形中，然后進行細致分析，進而發現解題的關鍵要素.

例2 如圖7所示，在矩形OAHC中，OC=8，OA=12 ，B為邊CH中點，連接AB. 動點M從點O出發沿OA邊向點A運動，動點N從點A出發沿AB邊向點B運動，兩個動點同時出發，速度都是每秒1個單位長度，連接CM，CN，MN.

設運動時間為t s（0lt;tlt;10）. 則t=時，△CMN為直角三角形.

解析：△CMN是直角三角形時，有三種情況，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°.然后進行分類討論求出t的值.

如圖8所示，過點N作OA的垂線，交OA于點F，交CH于點E.可以證明△BEN∽△BHA，從而有BNAB=ENAH，即10-t10=EN8，可得EN=4（10-t）5，進而FN=45t.題目要求△CMN是直角三角形，并沒有說明哪個角是直角，因此需要進行分類討論.

① 當∠CMN=90°時，根據勾股定理可求得AF=35t，

從而得到MF=12-85t.

通過證明△COM∽△MFN，所以OCMF=OMFN，帶入即可求出t=72.

② 當∠MNC=90°時，通過證明∠MNF=∠ECN，可得△CEN∽△NFM，所以CEFN=ENMF，代入求得t=41±2414.根據題目中t的取值范圍為0lt;tlt;10，所以t=41-2414.

③當∠MCN=90°時，與題目條件不符，因此不存在.

此題通過對圖形進行分析，利用勾股定理以及相似三角形的性質求解.動點在運動過程中會因為位置不同而呈現出不同的圖形，因此要分情況進行討論，在每一段運動過程中，分析總結出不同的線段數量關系，進而求解答案.

5.3 在題目中尋找特殊位置

在一些題目中，動點在運動的過程中會在某一位置形成特殊圖形，從而能建立特殊的數量關系，如相似、勾股定理等.因此可以把特殊問題一般化，復雜問題簡單化，動靜結合，尋找出內在聯系，進而求解題目.另外，通過作圖的方式，直觀呈現動點的運動軌跡，同時結合學過的圖形進行對照，將未知的運動轉化為熟悉的知識.通過作圖，有條理地掌握動點的運動過程和圖形發生的相應變化，深刻理解“以不變應萬變”的含義，分析運動過程中的隱含點，找到解題突破口.

例3 如圖9所示，已知以點A（0，1），C（1，0）為頂點的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°.坐標系內有一動點P（不與A重合），以P，B，C為頂點的三角形和△ABC全等，則點P坐標為.

解析：題目中有含30°角的直角三角形，可以根據已知數據先求出AC，AB，BC的長;點P是動點，以P，B，C為頂點的三角形就是不確定的，因此需要進行分類討論，分類作圖，尋找關鍵信息.

①如圖10所示，通過作圖，得出△ABC≌△PBC，此時很容易就可得出點P的坐標為（2，-1）.

這里其實就是作了點A關于BC的對稱點，得到點P的位置，過P作PM垂直x軸于點M，證明△AOC≌△PMC，從而得出點P坐標.

②如圖11所示，過點C作CP∥AB且CP=AB，連接BP，作PM垂直x軸于點M.

分析得∠PCM=15°，構造等腰三角形PCN，即在CM上找一點N，使∠PNM=30°，則CN=PN.設PM=x，則CN=PN=2x，MN=3x.在Rt△CPM中，根據勾股定理求出x的值，進而求出點P的坐標為（2+3，3-1）.該情況運用了平行四邊形的知識，再構造等腰三角形進行解答.

③在②的基礎上作出點P關于BC的對稱點即如圖12所示.分析得出∠PCM=75°，∠CPM=15°，同理根據勾股定理即可求出CM=3-1，PM=3+1，即得到點P的坐標為（3，3+1）.

本題通過作圖刻畫動點P與已知點B，C構成的直角三角形，由于直角的不確定性，進行分類討論.利用對稱點分別構造出直角三角形，體現了數形結合的思想，運用勾股定理求出點P的坐標.

6 總結

解決初中數學動點問題需要扎實的數學基礎，在做題時要認真觀察題目中條件的內在聯系，通過動靜結合的方法，將動態過程轉化為靜態的、熟悉的知識.同時，需要勤加練習含有動點問題的題目，采用數形結合的思考方法，對不同類型的題目熟練解答，然后進行知識的歸納和梳理，不斷總結反思，找到適合自己的解題方法，化難為易.

參考文獻：

［1］趙玉葉. 初中數學中“含有一個動點的線段和（差）的最值問題”的解題策略［J］. 數學教學通訊，2021（32）：86-88.

［2］劉艷萍. 動中求靜，靜中求解——初中數學動點問題探究［J］. 中學數學，2020（18）：59-60，67.

［3］劉振龍. 初中數學動點問題策略研究［J］. 數理化解題研究，2021（35）：40-41.