線段垂直平分線四種常考題型及解決思路分析

摘要：線段垂直平分線是初中數(shù)學(xué)幾何部分非常重要的知識點，常在幾何證明、計算、尺規(guī)作圖中使用.考查方式通常比較靈活，且與角平分線結(jié)合考查時難度較高.基于此，本文對線段垂直平分線的四種常考題型進(jìn)行分析，并以此為基礎(chǔ)探究與垂直平分線有關(guān)的幾何題的解決思路.

關(guān)鍵詞：垂直平分線；證明；解決思路；題型

1 引言

在初中數(shù)學(xué)幾何內(nèi)容中，垂直平分線是非常重要的知識點，不僅中考考查比較頻繁，而且也是教師授新和復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容［1］.本文中以人教版初中數(shù)學(xué)教材為參考，對線段垂直平分線的四種常考題型進(jìn)行介紹和分析，并在此基礎(chǔ)上對如何解決這類問題進(jìn)行探究，希望給教師教學(xué)帶來幫助.

2 線段垂直平分線的理論基礎(chǔ)

人教版初中數(shù)學(xué)教材是這樣安排線段垂直平分線的教學(xué)內(nèi)容：

首先從軸對稱圖形入手，讓學(xué)生建立初步的直觀感受.然后介紹等腰三角形，并借此引入垂直平分線的定義、性質(zhì)和判定，最后簡單描述了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法.

與線段垂直平分線有關(guān)的理論如下：

（1）定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

（3）判定：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

（4）作法：如圖1所示.

（5）全等三角形.在利用線段垂直平分線解決問題的過程中大多情況下會運用到三角形全等的內(nèi)容.

（6）等腰三角形.由于線段垂直

平分線的性質(zhì)其實是利用等腰三角形的性質(zhì)得到，因此垂直平分線和等腰三角形結(jié)合非常緊密.

3 常考題型及思路分析

從歷年數(shù)學(xué)中考命題來看，線段垂直平分線的考查題型主要有以下四種.

3.1 求三角形的周長

例1 如圖2，MP，NQ分別垂直平分AB，AC，且BC=13 cm，求△APQ的周長.

分析：本題可根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)將AP轉(zhuǎn)換為BP，將AQ轉(zhuǎn)換為CQ，于是△APQ的周長就轉(zhuǎn)換成線段BC的長.

解：∵M(jìn)P，NQ分別垂直平分AB，AC，

∴AP=BP，AQ=CQ.

∴△APQ的周長=AP+PQ+AQ

=BP+PQ+CQ

=BC=13（cm）.

思路總結(jié)：由垂直平分線的性質(zhì)可知，垂直平分線既可以實現(xiàn)線段數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，也可改變線段的位置.所以，當(dāng)所求幾條線段沒有明顯的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系時，可利用垂直平分線將之如例1的方法處理，這是垂直平分線比較常用的方法.

3.2 求角的度數(shù)

例2 如圖3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個角，且∠1∶∠2=2∶5，求∠ADC的度數(shù).

分析：本題先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到△ABD為等腰三角形，然后根據(jù)其性質(zhì)得到∠2=∠B，接著利用三角形的外角得到∠ADC=2∠2，最后在Rt△ADC利

用“直角三角形的兩個銳角互余”

的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù).

解：設(shè)∠1=2x，

∵∠1∶∠2=2∶5，

∴∠2=5x.

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD.

∴∠B=∠2=5x.

∴∠ADC=∠2+∠B=10x.

在Rt△ADC中，∠1+∠ADC=90°，則

2x+10x=90°.

解得x=7.5°.

∴∠ADC=10x=75°.

思路總結(jié)：根據(jù)垂直平分線求角度也是初中數(shù)學(xué)幾何中常考題型，這類問題主要是利用垂直平分線的性質(zhì)得到等腰三角形，然后借助等腰三角形的性質(zhì)或與直角三角形有關(guān)的知識點解題.

3.3 解決距離問題

例3 如圖4，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？

分析：本題是點到點距離相等的問題，可根據(jù)垂直平分線的判定來解決，

分別作線段AB，BC的垂直平分線，其交點即為所求.

解：如圖5所示，點M即為所求.

思路總結(jié)：垂直平分線的尺規(guī)作圖常以這種解決點到點的距離問題的形式出現(xiàn).需注意的是，垂直平分線上的點是到線段兩個端點的距離相等，而角平分線上的點是到角的兩邊的距離相等.這是學(xué)生極易混淆的地方，教師在授新和復(fù)習(xí)時一定要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分.

3.4 說明線段的數(shù)量關(guān)系

例4 如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE，BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.試說明AB=BC+AD.

解：∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCE.

∵E為CD的中點，

∴DE=CE.

又∠AED=∠FEC，

∴△ADE≌△FCE（ASA）.

∴AE=FE，AD=CF.

又∵BE⊥AE，BE=BE，

∴△ABE≌△FBE（SAS）.

∴AB=BF.

∵BF=BC+CF，

∴AB=BC+AD.

思路總結(jié)：本題也可根據(jù)垂直平分線直接得到，根據(jù)AE=FE和BE⊥AE證明BE是線段AF的垂直平分線.故而，利用垂直平分線可以轉(zhuǎn)化邊的位置，進(jìn)而獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系.

4 利用垂直平分線解決問題的注意事項

線段的垂直平分線與線段具有兩種關(guān)系，一種是位置關(guān)系，即線段和垂直平分線互相垂直，另一種是數(shù)量關(guān)系，即垂直平分線平分線段［2］.所以，在利用垂直平分線解決問題時應(yīng)注意以下幾點：

首先，理解這兩種關(guān)系，準(zhǔn)確把握解題方向.很多學(xué)生在解題時常常因?qū)Α瓣P(guān)系”理解不夠準(zhǔn)確導(dǎo)致出錯，所以教師應(yīng)先講透垂直平分線中蘊含的這兩種關(guān)系，讓學(xué)生理解題意.如果是數(shù)量關(guān)系，那么應(yīng)如例4根據(jù)題意找到相應(yīng)線段轉(zhuǎn)換位置，然后分析這幾條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系；如果是位置關(guān)系，那么只需分析線段是否平行或垂直；如果題中需要討論“關(guān)系”，而未說明需討論何種關(guān)系，則既要討論數(shù)量關(guān)系，又要討論位置關(guān)系.

其次，編織和豐富知識網(wǎng)絡(luò)，為解決問題奠定基礎(chǔ).從本文例題可以看出，利用線段垂直平分線解決問題的過程中，會使用很多細(xì)小的知識點.而只要某個知識點出現(xiàn)問題，那么勢必會影響解決整道題［3］.所以，教師在授新和復(fù)習(xí)過程中，要指導(dǎo)學(xué)生不斷編織和豐富知識網(wǎng)絡(luò).

5 結(jié)語

綜上所述，線段垂直平分線是解決初中幾何問題的重要知識點，但是解題過程中一定要注意本文所述的幾個方面.為此，初中數(shù)學(xué)教師一方面要注意基礎(chǔ)知識點的傳授，另一方面要指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).

參考文獻(xiàn)：

［1］朱玉杰， 任敏芬， 蔡偉，等. 小小一紙片 玩出大樂趣——“線段的垂直平分線和角平分線”實踐類作業(yè)設(shè)計［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)， 2021（Z2）：6-9，25.

［2］夏鳴. 一次“圖形性質(zhì)探究課”的實踐與思考——以“線段的垂直平分線的性質(zhì)”教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2016（8）：33-35，3.

［3］涂愛玲， 梁艷云. 用好“四環(huán)節(jié)”教學(xué)模式 有效訓(xùn)練初中生思維——記《線段垂直平分線的性質(zhì)與判定》的教學(xué)與思考［J］. 中學(xué)教學(xué)參考， 2018（26）：1-3.