認(rèn)知沖突顯必要,課堂推進(jìn)現(xiàn)邏輯

摘要：教師有意識(shí)地通過(guò)情境問(wèn)題的設(shè)計(jì)促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望，達(dá)到更優(yōu)的課堂教學(xué)效果.本文中以“算術(shù)平方根”為例，基于學(xué)生的已有知識(shí)水平，創(chuàng)設(shè)層層推進(jìn)的問(wèn)題情境，使學(xué)生發(fā)生認(rèn)知沖突，從而更好地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，理解算術(shù)平方根的概念，感受學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性.

關(guān)鍵詞：必要性；存在性；反思

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“情境”是學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素之一.在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，打破學(xué)生原有的認(rèn)知平衡，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用原有的知識(shí)解決問(wèn)題，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感受學(xué)習(xí)新知的必要性.邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯思維思考問(wèn)題［1］.同時(shí)，“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”理念強(qiáng)調(diào)“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”［2］.因此，教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)邏輯性，并且在教學(xué)中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的邏輯性.

筆者參加了一節(jié)市級(jí)公開(kāi)課的備課研討活動(dòng)，課題是人教版七年級(jí)下冊(cè)第六章“實(shí)數(shù)”的第一課時(shí)“算術(shù)平方根”.備課研討中，關(guān)于如何體現(xiàn)學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性以及如何通過(guò)課堂的推進(jìn)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性的討論給筆者留下了深刻的印象.故撰寫(xiě)成文，以期與更多同行一起探討.

1 備課思考

1.1 解讀教材

“算術(shù)平方根”是“實(shí)數(shù)”章節(jié)的起始課，為學(xué)生學(xué)習(xí)平方根、立方根、實(shí)數(shù)等主要概念做準(zhǔn)備.“算術(shù)平方根”在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它不僅是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解直角三角形的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中的不等式、函數(shù)以及解析幾何等大部分知識(shí)做好準(zhǔn)備.

1.2 關(guān)注學(xué)情

七年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)知道加法與減法、乘法與除法互為逆運(yùn)算，也學(xué)習(xí)了乘方運(yùn)算，并且求正方形的面積問(wèn)題在小學(xué)已經(jīng)掌握得非常好，因此對(duì)于本課時(shí)引入的問(wèn)題——已知正方形的面積求正方形的邊長(zhǎng)，學(xué)生不難解答.

1.3 教學(xué)架構(gòu)

根據(jù)教材的安排，求某個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，教材中出現(xiàn)的數(shù)都是平方數(shù)，容易給學(xué)生產(chǎn)生一種錯(cuò)覺(jué)：只有平方數(shù)或者是由平方數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算的結(jié)果才有算術(shù)平方根，求算術(shù)平方根可以根據(jù)乘方的知識(shí)進(jìn)行解答，本節(jié)課就多學(xué)習(xí)一個(gè)新概念而言，沒(méi)有什么別的不同的地方.不難看出，學(xué)生對(duì)于定義中“正數(shù)x”的理解不太清晰，甚至是有誤的.如何設(shè)計(jì)本課時(shí)內(nèi)容才能讓學(xué)生更加清晰地了解學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性并消除上述錯(cuò)覺(jué)呢？面對(duì)新的知識(shí)，課堂該如何推進(jìn)才能凸顯數(shù)學(xué)的邏輯性、才符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律呢？

為很好地解決以上問(wèn)題，筆者嘗試通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境生疑、概念教學(xué)破疑等環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)合理的思維過(guò)程，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性，體會(huì)無(wú)理數(shù)（暫不出現(xiàn)無(wú)理數(shù)的概念）的存在性，理解算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的算術(shù)平方根，于是形成如圖1的教學(xué)框架，其中“概念教學(xué)破疑”環(huán)節(jié)的流程如圖2所示.

2 教學(xué)過(guò)程與說(shuō)明

2.1 創(chuàng)設(shè)情境——生疑

（1）問(wèn)題情境：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小歐同學(xué)想裁出一塊面積為25 dm2的正方形畫(huà)布，畫(huà)上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫(huà)布的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少？

請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)你的答案及解決問(wèn)題的思路.

（2）填表1.

（3）追問(wèn)：如果正方形的面積是2呢？（稍作停頓.）繼續(xù)追問(wèn)：正方形的面積是3呢？正方形的面積是5呢？正方形的面積是6呢？

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)教材的安排，用學(xué)生非常熟悉的“已知正方形面積求正方形的邊長(zhǎng)”的問(wèn)題引入新課.學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題與“已知正方形邊長(zhǎng)求其面積”互逆，從而得到解決問(wèn)題的辦法；再通過(guò)填寫(xiě)表格，揭示此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì).接著把表格中的數(shù)據(jù)寫(xiě)成“12，22，32，62，47”的形式，如此變化的目的不僅是為了引出“追問(wèn)”的問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生感受到利用之前所學(xué)的知識(shí)并不能完全解決問(wèn)題，并且通過(guò)“追問(wèn)”中一連串的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感受到不能解決的問(wèn)題不是特例.這與學(xué)生已有認(rèn)知產(chǎn)生了沖突，讓學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)新知“算術(shù)平方根”的必要性.

2.2 概念教學(xué)——破疑

教師講授算術(shù)平方根的概念，舉例進(jìn)行說(shuō)明.學(xué)生仿照進(jìn)行練習(xí)，教師板書(shū).

定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為a ，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù).規(guī)定：0的算術(shù)平方根為0.

問(wèn)題 因?yàn)?2=1，所以1是1的算術(shù)平方根，記為1=1；

同樣道理，因?yàn)?2=4，所以_______是_______的算術(shù)平方根，記為"" ".

同學(xué)們能否仿照上面的題目進(jìn)行舉例？每?jī)蓚€(gè)同學(xué)為一個(gè)小組，至少說(shuō)出兩個(gè)數(shù)的平方根，接著再選兩個(gè)小組進(jìn)行展示.

板書(shū)：

定義：x2=a（xgt;0），x叫做a的算術(shù)平方根，記為a；

由12=1，得1是1的算術(shù)平方根，記為1=1；

由22=4，得2是4的算術(shù)平方根，記為4=2；

由32=9，得3是9的算術(shù)平方根，記為9=3；

由102=100，得10是100的算術(shù)平方根，記為100=10.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}從“已知正方形的面積求正方形的邊長(zhǎng)”這個(gè)有背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)渡到純數(shù)字的“已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而引出算術(shù)平方根的概念.教師再根據(jù)表1中的結(jié)果，對(duì)照定義進(jìn)行舉例，讓學(xué)生更加理解定義中的正數(shù)x，消除誤解.同時(shí)為引出例題中2，3，5等數(shù)據(jù)的算術(shù)平方根作鋪墊.

2.3 鞏固練習(xí)——答疑

請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅卫斫夂诎迳系陌鍟?shū)，然后完成以下練習(xí).

（1）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

①225； ②100； ③4964； "④0.01.

（2）讀出下列各數(shù)，說(shuō)出其表示的意義，并求出各式的值：

①1；

②121；

③ 144；

④925；

⑤32；

⑥0.0025.

追問(wèn)：2怎么讀，表示什么意義，結(jié)果又是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖：

將教材中的例題與練習(xí)整合改編成兩道練習(xí)題，讓學(xué)生再次理解板書(shū)內(nèi)容.完成兩道練習(xí)后呈現(xiàn)追問(wèn)的問(wèn)題，目的是引出下一環(huán)節(jié).

七年級(jí)學(xué)生獨(dú)立思考解決問(wèn)題的能力還不強(qiáng)，并且算術(shù)平方根的概念很抽象，因此采用了讓學(xué)生在理解黑板板書(shū)內(nèi)容基礎(chǔ)上模仿板書(shū)進(jìn)行解答的教學(xué)方式，既培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀理解能力，也達(dá)到了理解概念、運(yùn)用概念解決問(wèn)題的目的.

2.4 理解2——析疑

2.4.1 理解2的意義

教師根據(jù)算述平方根的定義進(jìn)行解析：

對(duì)于正數(shù)x與a，當(dāng)x2=a時(shí)，x叫做a的算術(shù)平方根，記為a，即x=a.

把x=a代入x2=a，

有（a）2=a.

也就說(shuō)，a是a的算術(shù)平方根.

例如，4是4的算術(shù)平方根，而我們知道4=2，所以習(xí)慣說(shuō)2是4的算術(shù)平方根.

那么，2是的算術(shù)平方根，2等于多少呢？

追問(wèn)：3表示的意義是什么？5呢？6呢？又分別等于多少呢？

2.4.2 理解2的存在性

師：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，知道了2是2的算術(shù)平方根.2在現(xiàn)實(shí)生活中是否存在呢？

學(xué)生無(wú)法回答的時(shí)候教師繼續(xù)引導(dǎo).

師：同學(xué)們可以結(jié)合情境引入中的問(wèn)題，思考“有面積為2 dm2的正方形嗎？”

學(xué)生想不到的時(shí)候，提示：找不到一個(gè)面積為2 dm2的正方形，可否考慮找兩個(gè)呢？

這個(gè)時(shí)候，學(xué)生就容易想到：兩個(gè)面積都是1 dm2的正方形其總面積就是2 dm2.

師：同學(xué)們能否把兩個(gè)面積為1 dm2的正方形變成一個(gè)面積為2 dm2的大正方形呢？

學(xué)生動(dòng)手操作，然后再指出2dm是哪條邊的長(zhǎng)度.

追問(wèn)：從探究的過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，2既不等于1，又不等于2.那么，2到底是多大呢？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于平方數(shù)的算術(shù)平方根，學(xué)生比較容易理解；非平方數(shù)的平方根由于太抽象了，學(xué)生難以理解.因此通過(guò)概念的解析幫助學(xué)生理解2的意義，用拼圖的方式讓學(xué)生感受2的存在性.至于2有多大，則先讓學(xué)生有懸念，下節(jié)課再解答.

2.5 小結(jié)提升——去疑

（1）判斷（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）：

①3是9的算術(shù)平方根；（" ）

②0的算術(shù)平方根是0；（" ）

③36的算術(shù)平方根是-6；（" ）

④-5是-25的算術(shù)平方根. （" ）

（2）填空：

①169的算術(shù)平方根是"" "；

②400的算術(shù)平方根是"" "；

③3的算術(shù)平方根是"" "；

④5的算術(shù)平方根是"" ".

（3）填空：

①16=_______；

② 0.16= _______；

③72=_______；

④ 116=_______；

⑤2564=_______；

⑥（-3）2=_______.

（4）結(jié)合以上的題目，請(qǐng)你談?wù)勥@節(jié)課的收獲.

設(shè)計(jì)意圖：概念課的教學(xué)，讓學(xué)生掌握概念非常關(guān)鍵，因此采用判斷題來(lái)讓學(xué)生理解概念，通過(guò)兩道練習(xí)讓學(xué)生鞏固概念，消除心中的疑惑.

3 教學(xué)思考

3.1 巧追問(wèn)，凸顯認(rèn)知沖突

“實(shí)數(shù)”第一課時(shí)“算術(shù)平方根”是章節(jié)起始課，而本課時(shí)中引出的無(wú)理數(shù)又是初中階段數(shù)系擴(kuò)充學(xué)習(xí)的最后一類(lèi)型的數(shù)，因此本課時(shí)有著特殊的意義.根據(jù)課本教學(xué)內(nèi)容的安排，從第40頁(yè)開(kāi)始至第41頁(yè)的練習(xí)，都可以根據(jù)已有的舊知識(shí)進(jìn)行解決，讓學(xué)生感覺(jué)沒(méi)有新內(nèi)容，只是學(xué)習(xí)了一個(gè)新定義；還會(huì)產(chǎn)生的一種錯(cuò)覺(jué)是：被開(kāi)方數(shù)是平方數(shù)或者是由平方數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算的結(jié)果才有算術(shù)平方根.為了避免此錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，在教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一個(gè)追問(wèn)的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生沖突，了解到以前學(xué)習(xí)的知識(shí)不能完全解決問(wèn)題，需要學(xué)習(xí)新知；同時(shí)也知道不能解決的問(wèn)題不是特例，是一系列數(shù).

3.2 妙回歸，漸趨認(rèn)知平衡

在舊知的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知，可以消除學(xué)生的陌生感.因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，無(wú)論是引入的問(wèn)題，還是概念講授后的舉例，都是學(xué)生熟悉的平方數(shù)，運(yùn)用已有的知識(shí)可以解決.

學(xué)生對(duì)“ ”比較難理解，是由于一個(gè)非負(fù)數(shù)放在根號(hào)下就表示求這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，屬于一種運(yùn)算，而算術(shù)平方根本身又是一個(gè)數(shù)，所以學(xué)生理解比較困難，特別是被開(kāi)方數(shù)開(kāi)方開(kāi)不盡的時(shí)候，學(xué)生更難理解.因此教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練熟練到一定程度后，再引出開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，這樣學(xué)生就容易理解多了.這時(shí)，學(xué)生的大腦再進(jìn)行重新整理，慢慢地接受新知，認(rèn)知漸趨平衡.

3.3 設(shè)鋪墊，激發(fā)探究懸念

學(xué)生第一次接觸2，很難理解如此的一個(gè)數(shù)字代表的涵義.因此，教學(xué)中先從特殊的平方數(shù)開(kāi)始再到一般的正數(shù)，這種鋪墊讓學(xué)生更易于理解算術(shù)平方根的概念；教材在引入算術(shù)平方根時(shí)利用了已知面積求邊長(zhǎng)的實(shí)際問(wèn)題，這樣的情境引入，為學(xué)生通過(guò)面積探究2作鋪墊，更易于理解2的存在性；學(xué)生通過(guò)層層深入的學(xué)習(xí)又會(huì)產(chǎn)生新的疑問(wèn)：2是存在的，那它具體是多大呢？這就為下一節(jié)課作鋪設(shè)了.

3.4 巧設(shè)計(jì)，演繹邏輯推理

數(shù)學(xué)的邏輯性不僅僅在幾何證明過(guò)程中才能體現(xiàn)出來(lái)，在日常的生活中、教學(xué)中也可以很好地體現(xiàn).例如算術(shù)平方根概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，先是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，接著解決問(wèn)題；而要解決問(wèn)題，已有的知識(shí)不夠用時(shí)先學(xué)習(xí)新知；而新知——算術(shù)平方根概念的學(xué)習(xí)又是符合學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的：通過(guò)比較類(lèi)比找出共同屬性，再抽象檢驗(yàn)確認(rèn)本質(zhì)屬性，最后概括形成概念［1］.再例如2的學(xué)習(xí)，先是理解其意義，知道它是存在的，再探究其大小.整個(gè)教學(xué)過(guò)程充滿(mǎn)邏輯的力量，盡顯數(shù)學(xué)之魅力.

參考文獻(xiàn)：

［1］何小亞，姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)［M］.2版.科學(xué)出版社，2017：40-43.

［2］鄧凱.“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”秉承的基本觀念［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（10）： 18-19，23.