基于“至簡”理念建模,關聯“本真”整體素養

摘要：數學教學通過整體關聯的教學設計、幾何畫板演示、動手操作感知和邏輯推理演算等過程性探究活動，揭示與平面幾何相關的最值問題模型的數學本質，滲透數學思想方法，發展學生關鍵能力和數學核心素養.

關鍵詞：模型觀念；關鍵能力；數學本質；數學核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：初中階段圖形與幾何的教學，應培養學生更加理性的幾何直觀和空間想象力，引導學生會借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，發展模型觀念，會用數學的語言表達現實世界.筆者受邀執教了一節“與平面幾何相關的最值問題”的中考復習公開課，通過整體關聯的教學設計，促使學生經歷真實的學習過程，參與對具體問題的探究和深度思考，感悟與平面幾何相關的最值問題模型，以追求“至簡數學”［1］的方式展開中考專題復習，以期實現啟智增慧的效果.現將本節課的教學及思考整理成文，與讀者共享.

1 教學背景分析

1.1 學情分析

平面幾何中的最值問題是中考中經常出現的一類題型，題目往往與動點問題相關，求解過程往往要對動點的運動軌跡進行細致分析，并建立數學模型予以解決.學生面對此類最值問題時往往信心不足，缺乏相應解決問題的方法，欠缺運用模型分析、解決問題的能力.

1.2 學習目標

（1）掌握平面幾何中常見的“垂線段最短、將軍飲馬、隱圓”等最值問題模型.

（2）運用幾何定理法、極端位置和特殊位置法、函數法等方法解決與平面幾何相關的最值問題.

（3）經歷最值問題的分析、解決過程，體會轉化思想、模型思想、特殊與一般等數學思想方法.

1.3 教學重、難點

重點：掌握平面幾何中常見的“垂線段最短、將軍飲馬、隱圓”等最值問題模型.

難點：靈活運用恰當方法解決與平面幾何相關的最值問題.

2 教學過程

2.1 借經典問題，引出研究課題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M為斜邊AB上一動點.過點M作MD⊥AC于點D，作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為_______.

功能分析：以經典的情境設計引出課題，明確最值問題在中考復習中的重要性和必要性，為復習主題作鋪墊.用幾何法確定動點取得最值的位置后進行計算，引導學生感悟“轉化”的數學思想方法，掌握垂線段最短的最值問題模型，使學生初步感悟數學模型.

教學示范：讓學生先審題，明確研究對象是一個雙動點線段最值問題，學生也許會產生受挫感，但通過進一步分析，發現四邊形CDME為矩形，連結CM，則DE=CM；將問題轉化為求單動點情況下線段CM的最小值，讓學生感受到轉化思想的魅力，化繁難為簡易；然后，依據“垂線段最短”，得到當CM垂直AB時，CM取得最小值，引導學生根據“三角形的等積關系”或利用“銳角三角函數”易得CM的值；最后，使用幾何畫板直觀呈現，如圖2，3所示，驗證學生的空間想象.

2.2 設計問題串，融合經典模型

例2 如圖4，矩形ABCD放在以O為原點的平面直角坐標系中，A（-2，4），C（6，0）.

（1）在y軸上是否存在點P，使得PB+PD最小？如果存在，請在圖中找出來，并求出此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

（2）如圖5，若Q為x軸上的動點，則三角形ADQ周長的最小值是多少？

（3）如圖6，若點E為AB邊的中點，點F為BC邊上的動點，點B和點B′關于EF對稱，則B′D的最小值是多少？

功能分析：最值問題在中考命題中有很重的份量，以問題串的形式融合經典的將軍飲馬模型、隱圓模型.激發學生的學習興趣，積累解題經驗，體會模型思想，發展學生的模型觀念.

教學示范：讓學生獨立思考并嘗試解題，訓練學生的審題能力.教師巡視學生做題情況，了解學情，從學生所答出發，以學定教，引導學生回顧將軍飲馬的兩種類型，以及隱圓模型.對第（1）問和第（2）問，大部分學生能夠準確找到所求點，引導學生使用不同的解題策略，并通過恰當方法求解點的坐標，如利用函數法或相似三角形求解，體會數形結合思想.最后通過幾何畫板，如圖7，8所示，直觀呈現最值取點位置，即當B，P，D三點共線時，BP+DP取最小值.對于第（3）問，學生在找點時遇到了困難，可通過幾何畫板突破教學難點.如圖9，讓學生感受點B′隨著點F位置的變化而變化，在運動中尋找規律（不變性），引導學生發現點B′的運動軌跡為隱圓，即通過定點E和定長EB′發現隱圓（如圖10）的存在.學生感悟到當E，B′，D三點共線時，B′D取得最小值.

2.3 借動手操作，感受極端位置法

例3 動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖11所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ.當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動.若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為"" ".

功能分析：學生通過動手操作實驗，畫圖分析驗證，感受極端位置和特殊位置法在最值問題求解中的關鍵作用，體會特殊與一般的數學思想，積累數學解題經驗.通過學習活動，培養學生的空間想象和邏輯推理能力.

教學示范：學生通過獨立思考，嘗試畫圖分析，在教師的引導下確定本題的關鍵，找到兩個極端點，即BA′取最大或最小值時，點P或Q的位置.引導學生折紙，展示學生的折紙過程和結果，并畫圖分析.如圖12所示，引導學生論證四邊形QABA′為正方形；如圖13所示，呈現BA′最小值的推證求解過程，在邏輯推理中驗證空間想象的正確性，促使學生知識融通而不僅僅是追尋答案本身.

2.4 拓展提升，深度探究模型

例4 如圖14，已知邊長為4的正方形鋼板，有一個角銹蝕，其中AF=2，BF=1.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形EABCD內截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率.

功能分析：利用幾何性質建立函數模型解決最值問題，使學生打破思維定式.借助三角形相似建立函數關系，有效激發學生探索新知的欲望，促進學生的思維能力和數學素養向更高層次提升.

教學示范：引導學生根據題意畫圖分析，用含表示某一邊字母的代數式表示面積，關鍵是表示另一邊的長.設DN=x，PN=y，則S=xy.建立矩形MDNP的面積S與x的函數關系式，利用二次函數性質求S的最大值，進而求鋼板的最大利用率.教學中有兩個難點，第一是如何建立x與y的數量關系，第二是如何確定S取得最值時自變量的取值范圍.教學中要引導學生關注自變量的取值范圍，根據函數求出的最值與實際問題中的最值不一定相同，屬于易錯點.

2.5 應用遷移，運用模型解決問題

應用1 有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖15，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為_______.

功能分析：初步感知數學建模的基本過程，解決具體情境中的數學問題.本題考查點與圓的位置關系、直角三角形斜邊中線的性質等知識，屬于中考常考題型，運用隱圓模型解決最值問題，培養學生靈活運用模型解決問題的能力.

教學示范：可以讓學生獨立審題，抽象問題，解讀數據，嘗試運用模型解題.引導學生觀察隨著雙動點M，N的變化，點E有著獨特的運動軌跡，如圖16所示，觀察到運動中存在隱圓，屬于例2中的隱圓模型.如圖17所示，當點B，E，D三點共線時，DE取得最小值.教學中，學生也可能根據三角形三邊關系，得出結論，如圖18，因為三角形BDE中，DE大于或等于BD-BE，所以DE最小值為25-2.

應用2 “將軍飲馬”問題是數學趣題，可抽象為：如圖19-1所示，在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊點P處飲馬后再回到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？確定最近行程的飲馬點P，可以通過軸對稱變換的思想來解決.如圖19-2，作點A關于直線l的對稱點A1，連接A1B，交直線l于點P1，那么點P1就是所求的點.利用“將軍飲馬”問題的方法解決下面問題：

如圖19-3，在△ABC中，∠A=50°，點O為△ABC內一點，過點O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為M，N，點P為AM上一動點，點Q為AN上一動點，連接OP，OQ，PQ，當△OPQ的周長最小時，∠POQ的度數為_______.

功能分析：本題最短路線問題考查軸對稱的性質、四邊形的內角和定理、等腰三角形的性質等.通過本題的解決，讓學生感受將軍飲馬經典模型在最值問題解決中的魅力，積累解題經驗.在問題解決中培養學生的應用意識，發展學生的數學素養.

教學示范：讓學生獨立解題，感受模型的魅力和獲得解題成功的快樂.學生通過探索，運用將軍飲馬模型找到符合條件的點.教師通過幾何畫板演示，示意學生觀察，隨著點O的移動，∠MON的大小保持不變為130°.因為點A，M，O，N四點共圓，所以點M，N落在以AO為直徑的圓上，則∠MON與∠A互補，而在△OO′O″（如圖20）中，∠MON與∠O′+∠O″互補，所以，不管點O如何運動，∠A=∠O′+∠O″=50°.結合圖形，利用軸對稱性質得到OP′=O′P′，OQ′=O″Q′，易得∠MOP′+∠NOQ′=∠O′+∠O″=∠A=50°，所以∠POQ=130°-50°=80°.

3 教學反思

3.1 夯實過程性探究，積累學生數學活動經驗

學生的數學核心素養，要通過數學探究活動經驗來獲得提升，而落實則體現在積極、真實的思考過程中.教學中通過幾何畫板演示、動手操作感知和邏輯推理演算等教學方式，夯實過程性探究，重在學生的參與和體驗：經歷實踐操作，感知特殊與一般的思想，培養分析問題和解決問題的能力；經歷多動點轉化為單動點最值問題的研究過程，感受轉化思想的魅力.通過探究將軍飲馬、隱圓模型在最值問題解決中的重要性，體會數形結合、數學建模等數學思想；經歷運用函數模型解決最值問題的過程，感悟函數思想.教學中扎實有序的過程性探究活動，有利于積累學生數學活動經驗.

3.2 提煉數學模型，提升學生關鍵能力

專題復習課要構建教學主題，厘清數學思想方法和關鍵能力［2］.本教學專題要求學生掌握平面幾何中常見的“垂線段最短、將軍飲馬、隱圓”等最值問題模型，涉及數學建模、直觀想象和邏輯推理等關鍵能力.教學中教師應用信息技術構建模型，幾何畫板將最值問題由“靜”生“動”，通過簡單的教學方式突破中考復習難點，提升學生關鍵能力.幾何畫板讓學生直觀感受運動變化中的不變性，建立有效揭示各類最值問題的解題策略，而邏輯推理讓學生通過數學學會思維，促進學生理性思維的生成、直觀想象和邏輯推理的相互驗證和發展.教學中通過提煉平面幾何中常見的“垂線段最短、將軍飲馬、隱圓”等最值問題基本模型，化繁為簡、以簡馭繁，幫助學生理解數學本質，體會知識之間的聯系，培養學生數學建模和遷移應用等關鍵能力.

3.3 滲透數學思想方法，發展學生核心素養

發展數學核心素養是我們進行數學教學的出發點和歸宿［3］.數學教育不僅要傳授知識技能，而且要培養學生的數學核心素養.課堂教學中，教師要深挖知識本質，自然滲透數學思想，通過具體的教學內容設計，引領學生感受數學思想方法的魅力.課堂是培養學生數學核心素養的主陣地，教師要積極尋找在課堂落地的途徑：教學設計上，將教材內容轉化成促進學生學習的任務；教學組織上，針對學習內容組織學生積極參與；教學策略上，在完成“四基”的前提下發展學生核心素養，以確保核心素養落地.

參考文獻：

［1］鄧凱，張青.由一節公開課管窺“至簡數學”的基本理念［J］.中學數學，2021（10）：10-13.

［2］吳增生.基于內容領域聚焦核心素養的專題復習教學研究［J］.中國數學教育，2021（7）：3-7.

［3］羅增儒.勾股定理“回顧與思考”的課堂研修［J］.中學數學教學參考，2020（Z2）：11-17.