對(duì)兩版教材關(guān)于“一元二次方程”內(nèi)容的分析

摘要：教材是最重要的文本教學(xué)資源，是教師進(jìn)行教學(xué)的主要依據(jù)、學(xué)生獲得系統(tǒng)知識(shí)的主要材料.本文中以滬科版、康軒版初中數(shù)學(xué)教材中“一元二次方程”為研究對(duì)象，分別從內(nèi)容安排、概念呈現(xiàn)、求解方法以及教材中例習(xí)題等方面進(jìn)行對(duì)比，分析兩版教材設(shè)計(jì)的異同和可借鑒之處，可為廣大一線(xiàn)教師提供教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教材；一元二次方程

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”部分重要的知識(shí)點(diǎn)之一，是一元二次不等式、二次函數(shù)及二次曲線(xiàn)的基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要途徑.因此，研究一元二次方程相關(guān)內(nèi)容是很有意義的.下面，本文中以上海科學(xué)技術(shù)出版社（簡(jiǎn)稱(chēng)“滬科版”）和中國(guó)臺(tái)灣康軒文教事業(yè)版（簡(jiǎn)稱(chēng)“康軒版”）教材為例，對(duì)“一元二次方程”內(nèi)容進(jìn)行比較分析.

1 比較分析

1.1 內(nèi)容編排

兩版教材在內(nèi)容結(jié)構(gòu)編排上有很大區(qū)別.一元二次方程章節(jié)“滬科版”教材編排在八年級(jí)下冊(cè)第17章；“康軒版”編排在數(shù)學(xué)2上即八年級(jí)上冊(cè)第4章.“滬科版”設(shè)置了一元二次方程、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的應(yīng)用共5節(jié)內(nèi)容，以及思考，交流，探究，數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)史話(huà)，小結(jié)·評(píng)價(jià)這6個(gè)欄目.“康軒版”設(shè)置了因式分解解一元二次方程式、配方法與公式解、應(yīng)用問(wèn)題共3節(jié)內(nèi)容，以及動(dòng)動(dòng)腦、數(shù)學(xué)好好玩、重點(diǎn)整理、數(shù)學(xué)櫥窗4個(gè)欄目.

由此可知，“一元二次方程”這一章節(jié)在兩版教材中所占篇幅差距很大.“滬科版”教材分為五節(jié)內(nèi)容而“康軒版”教材只用了三小節(jié)的內(nèi)容；內(nèi)容設(shè)計(jì)的側(cè)重點(diǎn)也有所不同，“滬科版”教材將一元二次方程的定義和解法分別用一節(jié)來(lái)進(jìn)行介紹，而“康軒版”教材用兩節(jié)來(lái)介紹解法且把一元二次方程的概念與因式分解法解一元二次方程都放在第一節(jié)進(jìn)行介紹；兩版教材的欄目編排上存在的差別也是相當(dāng)明顯.但兩版教材在內(nèi)容的組成上大致相同，都包含一元二次方程的概念、解法以及應(yīng)用.

1.2 內(nèi)容呈現(xiàn)方式

1.2.1 概念的呈現(xiàn)

“滬科版”是把兩個(gè)生活實(shí)例以問(wèn)題的形式呈現(xiàn).問(wèn)題1：某蔬菜隊(duì)2009年蔬菜產(chǎn)量為100 t，計(jì)劃

2011年產(chǎn)量比2009年翻一番，為實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，2010年和2011年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)是多少？問(wèn)題2：在一塊寬20 m、長(zhǎng)32 m的長(zhǎng)方形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩縱一橫，縱橫垂直），把這塊地分成大小一樣的6塊建花壇，若花壇總面積570 m2，小路的寬是多少？”根據(jù)這兩個(gè)問(wèn)題得到兩個(gè)方程“x2+2x-1=0”，“x2-36x+35=0”.從這兩個(gè)方程的共同點(diǎn)總結(jié)出“一元二次方程”的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.

“康軒版”通過(guò)章前圖中的一個(gè)問(wèn)題：餐桌是長(zhǎng)2 m、寬1 m的長(zhǎng)方形桌子，桌上若鋪一條面積為6 m2的長(zhǎng)方形桌巾，且桌巾的長(zhǎng)和寬垂下來(lái)的長(zhǎng)度一樣，問(wèn)這條桌巾的長(zhǎng)和寬各多少？學(xué)生根據(jù)問(wèn)題列方程式并根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)方程為4x2+6x-4=0，從而得出：只含有一個(gè)未知數(shù)x，且x的最高次是2次，形如ax2+bx+c=0（a≠0）的等式，稱(chēng)為x的一元二次方程式.

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩版教材都是從生活中的實(shí)例出發(fā)得到一元二次方程的定義.不同的是“滬科版”讓學(xué)生總結(jié)歸納出方程的特點(diǎn)，引出一元二次方程的定義；“康軒版”則強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生結(jié)合以往所學(xué)的知識(shí)，將方程化簡(jiǎn)后，直接給出一元二次方程的定義.

1.2.2 求解方法

一元二次方程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于求解方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.兩版教材所呈現(xiàn)的求解方法大體相當(dāng).

（1）配方法

“滬科版”關(guān)于配方法的呈現(xiàn)方式：先介紹以前解過(guò)的一些特殊的一元二次方程，如“x2=9，求x的值”，用的解法是“開(kāi)平方”；接著，在“思考”欄中問(wèn)“如何解上節(jié)問(wèn)題1中得到的方程x2+2x-1=0？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)根據(jù)直接“開(kāi)平方”的方法顯然不能直接解出此方程，這時(shí)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突.教材中通過(guò)移項(xiàng)、配方使它出現(xiàn)完全平方式后，再直接開(kāi)平方求解.

“康軒版”在配方法之前先介紹了利用平方

根概念解一元二次方程式，并將此解法單獨(dú)用一個(gè)主題來(lái)介紹.具體呈現(xiàn)如下：先讓學(xué)生回顧因式分解法求一元二次方程x2-24=0，學(xué)生根據(jù)以往所學(xué)的知識(shí)并不能解決此方程式，引發(fā)思考，從而引出主題1“利用平方根概念求解一元二次方程”，這時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)方程式可以整理為x2=24的形式，求得x=±26.接著根據(jù)主題1的學(xué)習(xí)，教材中又舉出x2+2x-1=0這樣的方程式，既不能用因式分解法又不符合（ax+b）2=c的形式，該如何求解呢？通過(guò)主題1中的例題（x+1）2=2，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得x2+2x-1=0，剛好這個(gè)化簡(jiǎn)得到的方程又是我們所要求的方程，以此相互呼應(yīng).利用反推的方法，很好地鍛煉了學(xué)生的解題思維，并總結(jié)出配方法是利用和或差的完全平方公式，將一個(gè)式子配成完全平方式的方法.

由此可見(jiàn)，“滬科版”和“康軒版”都是通過(guò)“開(kāi)平方”的方法來(lái)引出“配方法”.不同的是：“滬科版”對(duì)于“開(kāi)平方”法的介紹篇幅較少，“康軒版”則用一個(gè)主題來(lái)進(jìn)行介紹，且設(shè)計(jì)了許多例題和隨堂練習(xí)來(lái)進(jìn)行鞏固；對(duì)于“配方法”的定義也有所不同，“滬科版”是強(qiáng)調(diào)通過(guò)方程配方出現(xiàn)完全平方公式再進(jìn)行求解，并未介紹如何配方，“康軒版”是注重用“和或差的平方公式”將式子配成完全平方的方法.

（2）公式法

“滬科版”和“康軒版”教材在用公式法求解一元二次方程時(shí)，均利用配方法推廣一般形式.

將一般式ax2+bx+c=0（a≠0），配成完全平方式（x+b2a）2=b2-4ac4a2，推得當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x=-b±b2-4ac2a，這就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.不同的是：“康軒版”在利用公式法時(shí)直接介紹了判別式與根的關(guān)系，而“滬科版”則是將“一元二次方程根的判別式”單獨(dú)放在一節(jié).最終，兩版教材都總結(jié)出：當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩不相等的根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

（3）因式分解法

“滬科版”關(guān)于因式分解法的呈現(xiàn)依舊是通過(guò)特殊例子x2=9進(jìn)行引入，提問(wèn)此方程除了用直接

開(kāi)平方求解，還可以用什么方法.然后將方程變形為x2-9=0，再進(jìn)行因式分解得到（x-3）（x+3）=0，

求出x1=3，x2=-3.最后概述因式分解法是將一個(gè)一元

二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解的方法.

“康軒版”將因式分解法作為第一個(gè)學(xué)習(xí)的方法，用一節(jié)的內(nèi)容來(lái)介紹.首先提出問(wèn)題，回顧舊知：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都不為0時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的乘積一定不為0；當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積為0時(shí)，這兩個(gè)數(shù)可能會(huì)是哪些數(shù)？然后再根據(jù)問(wèn)題探索1得出結(jié)論：若A，B為兩因式，當(dāng)AB=0時(shí)，則A和B至少有一個(gè)是0，即A=0或B=0.接著一系列例題引出：提公因式解方程→先移項(xiàng)再提公因式解方程→利用十字相乘法解方程→利用乘法公式解方程.最后，體會(huì)例題中的求解思路，得出重根的定義，且教材展示了“十字相乘法”的圖示并標(biāo)注每一步的用意.

分析發(fā)現(xiàn)，兩版教材都是根據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)的“若兩個(gè)因式的乘積為0，即AB=0，那么A=0或B=0”來(lái)介紹因式分解法.不同點(diǎn)在于“康軒版”對(duì)“十字相乘法”進(jìn)行了著重的介紹，但“滬科版”中并未提到“十字相乘法”；同時(shí)，“康軒版”通過(guò)設(shè)計(jì)4個(gè)例題，對(duì)因式分解法進(jìn)行了“拆解式”的介紹，而“滬科版”只通過(guò)一道特殊的方程對(duì)因式分解進(jìn)行介紹.

1.2.3 例習(xí)題的比較分析

本研究對(duì)兩版教材“一元二次方程”中的例習(xí)題數(shù)量與類(lèi)型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（對(duì)于題目中有若干小題的習(xí)題，按照小題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)）分析.

（1）例題的結(jié)構(gòu)題量情況

例題是編寫(xiě)者考慮學(xué)生的認(rèn)知水平精心設(shè)計(jì)的，目的是啟發(fā)學(xué)生思維，鞏固學(xué)習(xí)方法.兩版教材關(guān)于例題的設(shè)計(jì)有所不同，具體統(tǒng)計(jì)如表1：

表1可以看出，“滬科版”的例題總數(shù)明顯少于“康軒版”的例題總數(shù)；“滬科版”例題的類(lèi)型分為問(wèn)題、例題兩類(lèi)，其中“問(wèn)題”是部分章節(jié)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置的，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出這節(jié)課的新知.

（2）習(xí)題的結(jié)構(gòu)題量情況

習(xí)題主要包括練習(xí)、節(jié)習(xí)題、章復(fù)習(xí)題.練習(xí)主要是對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，而節(jié)習(xí)題和章復(fù)習(xí)

題主要是針對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、技能的掌握情況.具體統(tǒng)計(jì)如表2：

從表2可以看出，“滬科版”的習(xí)題總量是“康軒版”的兩倍多.但“滬科版”教材習(xí)題包含練習(xí)、節(jié)習(xí)題和章復(fù)習(xí)題，分別占總量的44.02%，32.08%和23.90%，而“康軒版”教材并沒(méi)有安排章復(fù)習(xí)題.

（3）例習(xí)題中數(shù)學(xué)文化的滲透情況比較

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)文化也越來(lái)越多地反映在教材的例習(xí)題中.借鑒賀艷蘭［1］

對(duì)數(shù)學(xué)文化的分類(lèi)，從數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)史4個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì).具體統(tǒng)計(jì)如表3：

從例習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)文化的總量上來(lái)看，“滬科版”總數(shù)29高于“康軒版”的總數(shù)15，但占比相當(dāng)；在各部分占比中，“滬科版”與“康軒版”在“數(shù)學(xué)與生活”上的占比都最高，“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”次之，且兩版教材在例習(xí)題的設(shè)計(jì)中未涉及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，不同的是“滬科版”涉及了“數(shù)學(xué)與科技”方面的例習(xí)題，而“康軒版”并未提及，“康軒版”的習(xí)題更注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

2 幾點(diǎn)啟示

（1）注重內(nèi)容的排版.“康軒版”對(duì)“公式法”和“十字相乘法”的設(shè)計(jì)更具有條理性，使用一些代表性的插圖更容易讓學(xué)生接受，這種直觀的呈現(xiàn)方式更有利于學(xué)生突破知識(shí)的難點(diǎn).

（2）注重求解方法的設(shè)計(jì).“康軒版”在設(shè)計(jì)這三種求解方法時(shí)，是通過(guò)認(rèn)知沖突來(lái)呈現(xiàn)的.運(yùn)用認(rèn)知沖突策略，可以引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程以及逐步化解沖突建構(gòu)新的認(rèn)知平衡的過(guò)程［2］.

（3）注重例習(xí)題的設(shè)置.“滬科版”對(duì)于例題的設(shè)計(jì)有“問(wèn)題”“例題”，習(xí)題的設(shè)計(jì)包含“練習(xí)”“節(jié)習(xí)題”“章復(fù)習(xí)題”，這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了課本對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系的注重.通過(guò)體會(huì)不同層次的題目，嘗試從不同的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，可以很好地使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性［3］.

（4）注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透.《課標(biāo)》中指出數(shù)學(xué)素

養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)［4］.“滬科版”和“康軒版”對(duì)例習(xí)題的設(shè)計(jì)不同程度地滲透了數(shù)學(xué)文化，但兩版教材例習(xí)題中并沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容.因此，編寫(xiě)教材時(shí)，在適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)文化知識(shí)的同時(shí)，要用多元化的眼光去取舍數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化巧妙融合.

因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以嘗試分析不同版本教材異同，吸收不同版本教材編寫(xiě)的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)需要適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

［1］賀艷蘭.初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化的比較與分析［D］.深圳：深圳大學(xué)，2015.

［2］強(qiáng)素洋.創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突、建構(gòu)數(shù)學(xué)高品質(zhì)課堂的策略分析［J］.考試周刊，2021（A0）：58-60.

［3］ 趙妙妙.挖掘例題價(jià)值 優(yōu)化例題教學(xué)——以浙教版數(shù)學(xué)教材中的一道例題為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（2）：30-33.

［4］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.