中學數學核心素養指向的教學內容組織

摘要：中學數學的教學內容組織應立足于數學核心素養的培養，教學內容中應

包含顯性知識和隱性知識，遵循顯性知識與隱性知識并注重單元設計與例題設計應以課程邏輯為內在依據.在進行教學內容組織過程中可采用以建構主義為基礎的問題性策略、充分利用現代信息技術和積極汲取精品課程提高教學組織的效率.

關鍵詞：教學內容組織；顯性知識；隱性知識；課程邏輯；組織策略

一門學科課程的確立應立足于促進學生核心素養的發展，充分體現該學科課程的育人價值.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱標準）中指出數學課程核心素養主要包括：會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界［1］.分別體現了核心素養中的抽象能力、幾何直觀、空間觀念、運算能力、推理能力、數據觀念、模型意識、應用意識與創新意識等要素.而如何將這些要素有效地融入到數學教學中是值得深思的一個關鍵性問題，以下是筆者對于這個問題作出的分析.

1 教學內容分析：顯性知識與隱性知識并重

1.1 顯性知識與隱性知識的概念

顯性知識是可以直接以某種形式表達出來的知識，是外顯的，致力于讓學生掌握的結果型知識，像數學教材中的定理、公式、法則等.隱性知識是難以用某種固有的形式來表達的，存在于教師與學生的經驗中，類似只可意會不可言傳的知識，像數學知識的文化背景、教師和學生的社會經驗和數學命題的變式等.

從新課改要求的發展學生核心素養的角度來分析，顯性知識更注重發展學生的數學關鍵能力，以促進學生理解知識、掌握知識和應用知識為主要教學目標，忽略對學生的品格和價值觀的發展.隱性知識則更注重讓學生在理解數學史的過程中結合自身的經驗來感悟數學的美感，以此來發展自身的品格和價值觀.顯性知識與隱性知識在教學內容中是相互促進又相互影響的，對于發展學生的核心素養缺一不可，因此在數學教學內容組織的過程中應辯證地看待二者的關系，使顯性知識與隱性知識并重.

1.2 具體知識點的顯性分析方法

在數學教學內容中，顯性知識可指知識點、知識鏈條與知識網，對于某一數學概念可以從中抽象出其對應的知識點進而對照其所涉及的知識鏈條和知識網來組織教學內容.這種組織方式能很好地發展學生的抽象能力與推理能力，符合標準中發展學生核心素養的要求.喻平先生提出了對教材知識體系的分析步驟：首先羅列知識點，其次用有向線段表示知識點間的抽象強弱關系，再計算抽象度確定重難點，最后調整教材結構避免單一抽象形式［2］.這種方法適用于對數學教學內容顯性知識的分析.

案例1 “勾股定理”顯性知識分析

從圖1中可以看出直角三角形中、勾股定理是教學重點，勾股定理的逆定理、勾股定理的應用是教學難點，勾股定理的反證法抽象性較強.

1.3 具體知識點的隱性分析方法

對于隱性知識的分析，首先要考慮到數學文化、數學知識產生過程、數學知識背景和數學知識邏輯，其次要積極地將隱性知識融入到教學的內容組織中.要時刻思考：該數學知識蘊含了哪些數學文化？運用什么數學方法進行教學效果最佳？如何結合數學史進行教學？怎么讓學生感受到數學的美感？怎樣結合學生已有經驗進行教學？如何利用現實情境？設計的情境是否貼合學生的真實生活？以什么方法引入知識點？掌握知識點后如何應用？知識點之間有怎樣的關聯？怎樣發展這種關聯？知識間有怎樣的邏輯？如何在數學概念中抽象出知識點？在邏輯推理的過程中會遇到什么難點？如何高效地解決所遇到的難點？將思考的結果融入到教學內容組織中，相對于傳統的教學提高了隱性知識的比重，達到顯性知識與隱性知識并重.符合標準中發展學生應用意識與創新意識的核心素養要求.

案例2 “勾股定理”隱性知識分析

勾股定理的史話：我國古代發現了勾股定理，在《周髀算經》中有明確的記載，理解我國古代數學家趙爽對于勾股定理的證明方法，讓學生從中體會我國古代人民的智慧，進而激發自己學習數學的興趣，在現實生活中主動發現存在的數學問題并加以思考解決.

勾股定理的美感：讓學生觀察勾股樹，探索勾股樹是怎樣畫出的，分組討論，自己動手在軟件中進行制作，體會數學的美感與神奇，提高學生的探索能力、合作能力和動手能力.

勾股定理的邏輯：運用反證法證明勾股定理，體會間接的證明方法，即“肯定條件，否定結論”，從而得出矛盾，使命題獲得證明.

2 教學內容組織分析：課程邏輯是內在依據

對于學科教學的內容組織，課程的邏輯是其所要遵循的內在依據.數學學科當然也不例外，數學是一門習題較多的學科，學生在進行練習的同時可以加強自己對于知識的鞏固與應用.教材的設計滿足了培養學生核心素養的要求，但每個學生都是獨立發展的人，世界上沒有兩片完全相同的葉子，學校中也沒有兩個完全相同的學生.因此，教師在進行教學內容組織時，可在教材的基礎上結合學生的實際情況加入特色的教學內容，讓每個學生的核心素養都得到很好的發展.同時在內容組織設計的過程中應嚴格遵循課程邏輯，課程邏輯指學科確定的思維方式和客觀規律，表達著學科最原始、最核心的價值觀念，蘊含著解決學科最根本的核心矛盾的方法［3］.

2.1 以課程邏輯為依據的單元內容組織

傳統教學中教師的教學內容組織過于關注知識點的局部分析，對于整體設計的關注度不夠，易導致知識的碎片化.整體設計是立足于章節、單元層面的分析，從大結構體系中找到該知識所處的位置以及知識點間的前后關聯，掌握知識點的來龍去脈，從而更好地確定教學操作程序.教師對學生傳授知識的過程猶如在學生的腦海中搭建知識房子，不能只提供單一知識點平鋪磚瓦，還要引導學生構建知識體系，使得前后知識形成關聯，讓知識房子拔地而起、牢固可靠.因此，在數學教學的內容組織中應結合標準中的核心素養要求做到整體設計與局部分析統籌兼顧.

課程邏輯應基于問題邏輯、生活邏輯、學科邏輯來構建［4］，依據課程邏輯進行單元內容組織可從以下幾個方面進行分析：第一，單元教學目標以課程邏輯為依據設計.教學目標突出了教學的主要任務，明確規定教學的重難點及對發展學生知識技能、情感態度價值觀的要求.目標設定的主要依據是由課程邏輯推理而來，因此單元教學目標要基于課程邏輯的推理結果來制定，以產生和課程邏輯相符的單元教學目標.第二，單元教學主題以課程邏輯為依據設計.標準中核心素養指出，教學中不能忽視綜合與實踐活動，應適當提高其在教學單元的比重.對于中學教學中的綜合實踐活動，通常以主題式活動和項目式活動進行.通過教學主題活動積累學生的數學活動經驗，提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.教學單元主題的確立是課程邏輯的延展，根據課程邏輯確定不同的主題單元活動，包括問題單元活動、生活單元活動、學科課題單元活動，增強學生對數學的學習動力.第三，單元教學任務以課程邏輯為依據設計.每個單元的教學任務共同構成了整個教學的框架，根據教學框架針對不同學段設置不同的單元教學任務.那么，如何進行教學任務的分配才能使教學效果最大化？這需要以課程邏輯為內在依據，遵循課程邏輯分配教學任務，使得教學任務符合課程邏輯的思維規律和客觀規律，進而提高教學效率.

2.2 以課程邏輯為依據的例題設計

中學數學例題在數學課堂中占據重要位置，通過例題幫助學生直觀理解知識點，啟發學生舉一反三的能力，因此例題應具備典型性和代表性，達到知識技能與能力發展統籌兼顧.例題的設計應以課程邏輯為內在依據，課程邏輯是以滿足學生生理和心理發展、促進知識的遷移為原則的，因此例題的設計要具有一定的開放性，發散學生的思維，同時要重視變式訓練，提高學生知識遷移的能力.下面給出幾個例子.

例1 如圖2，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造矩形BDEF，使得另一邊EF過矩形ABCD的頂點C.

（1）設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1S2+S3.（用“gt;”“=”“lt;”填空.）

（2）寫出圖2中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.

該例題屬于開放型例題，這類問題沒有明確的條件和結論，并且符合條件的結論具有多樣性.學生需認真思考觀察，將已知條件集中分析，探索問題成立的條件或特定條件下的結論，多方面、多角度、多層次探索條件和結論，并加以證明.

例2 閱讀理解：對于x3-n2+1x+n這類特殊的代數式可以按下面的方法分解因式.

x3-n2+1x+n

=x3-n2x-x+n

=xx2-n2-x-n

=xx-nx+n-x-n

=x-nx2+xn-1

理解運用：如果x3-n2+1x+n=0，那么x-nx2+nx-1=0，即有x-n=0或x2+nx-1=0，因此，方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-n2+1x+n=0的解.

解決問題：求方程x3-5x+2=0的解.

該例題看似超綱，但它考查的是學生的知識遷移能力，題干已給出求解方法，需要學生仔細閱讀，歸納出適合該題目的方法，進而運用到問題中.

3 教學內容組織策略

3.1 以建構主義為基礎的問題性策略

建構主義的核心是調動學生的主動性，在學生原有知識經驗的基礎上建構對新知識的理解.因此在組織教學內容的過程中應融入能調動學生主動性的問題，讓學生在問題中思考“為什么用這種解題方法”，進而帶著自己的問題去探究，去回憶自己所學的知識點，將舊知識與新知識聯系起來，形成自己的知識結構.教師也可以在教學內容中，給學生列出不同的解決策略，讓學生分組自由討論對問題的看法，綜合意見選出大家認為的最佳方案.在此過程中，學生可能會遇到不同程度的困難，甚至走向錯誤的解題方向，這時個別學生會出現挫敗感，教師應及時關注學生的情緒，給予學生充分的鼓勵，引導學生建構正確的知識體系，這樣會加深學生對知識的理解及印象，也會讓學生在探索問題的過程中逐步形成屬于自己的完善的知識體系.學生學習數學的過程應是自己主動建構的過程，因此以建構主義為基礎的問題性策略應是數學教學內容組織的基礎策略.

3.2 充分利用現代信息技術的組織策略

隨著現代科技技術的日益發展，各種輔助教師教學的信息技術軟件層出不窮.這要求教師要學會辨別，不能一味依靠技術軟件，放棄對教材和課標的專研;也不能封閉自己，不與時代共進步.要去其糟粕取其精華，利用正確且合理的信息技術手段豐富自己的教學，加強學生的直觀理解.對于教學內容的組織，同樣要合理選擇正確的信息技術.下面將從靜態教學內容組織、動態教學內容組織、實驗教學內容組織三個方面來介紹適合的信息技術軟件［5］.第一，靜態教學內容組織.靜態教學內容是指在數學教學中只需學生通過聽、看、記等簡單方式學習即可，基本上是以教師直接給出的背景、概念、結論為主.靜態教學內容通常比較容易理解且不作為重難點考查.對于這類內容一般使用固定且容易操作的教學軟件，如Powerpoint，Authorware等.第二，動態教學內容組織.動態教學內容是指需要學生抽象理解的知識點，例如，函數的圖象及其性質、幾何與圖形板塊的圖形變換與性質等.只在靜態中生硬導出性質，不能加深學生的理解且學生記憶也會不深刻，僅僅停留在知識的表面，這就需要利用信息技術軟件組織教學內容讓圖象、圖形動起來，讓學生經歷由視覺刺激到猜想驗證的過程，自己觀察、自己理解、自己總結，達到事半功倍的效果.對于這類內容需使用具有較強動畫性、

較強操作性的軟件，如幾何畫板，Mathcad，Mapleflow，Mathematica，Excel等.第三，實驗教學內容組織.數學實驗教學內容是指以實際問題為基礎建立相應的數學模型，再根據該數學模型進行求解，然后利用求出的結果去解決實際問題.實驗的過程需要以實際的問題為載體，利用計算機和軟件去求解，讓學生經歷參數變化、數學變換的過程.符合標準中培養學生抽象能力、推理能力、應用能力及創新意識的核心素養要求.這類內容需使用較強參數變換功能軟件，如Matlab、幾何畫板等.

3.3 積極汲取精品課程資源

國家精品課程資源是面向全體教師和學生開放的優秀教育資源，致力于好學校是沒有圍墻的.教師在進行教學內容組織的過程中，可以參考精品課程中的教師組織形式，再結合學生實際情況，選擇恰當的教學組織形式，從不同的角度分析教學內容，加工教學，進而豐富課堂教學內容，使教學質量不斷提高.

綜上，本文從教學內容、教學內容組織及其組織策略三個角度論述了如何依據中學核心素養有效地進行教學內容組織.其核心是改變傳統教學中單一傳授知識的教學組織形式，重視學生知識框架的建立，提高學生對數學的興趣及學習數學的主動性，使學生的知識技能與能力共同發展，進而全面發展學生.

參考文獻：

［1］馬云鵬.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的理念與目標解讀［J］.天津師范大學學報（基礎教育），2022（5）：1-6.

［2］喻平.核心素養指向的數學教學內容組織［J］.數學通報，2022（4）：5-10.

［3］高月新.課程邏輯：學科教學內容組織設計的內在依據［J］.教育理論與實踐， 2021（29）：38-41.

［4］蘭青青.基于學科大概念的課程邏輯構建［J］.思想政治課教學，2022（6）：33-36.

［5］李道明.現代信息技術條件下數學教學內容的組織策略［J］.江蘇教育學院學報（自然科學版），2008（1）：129-130.