在整體教學中培養初中學生的數學素養

摘要：乘法公式是代數領域中整式乘法運算中的特殊形式，也是培養學生數學素養的重要載體.現以“完全平方公式”的教學為例，通過引導學生經歷觀察、探索、發現、驗證、歸納、應用、小結這7個環節，將“一般與特殊”“幾何直觀”“數形結合”“化歸思想”“整體換元”等數學思想方法滲透在教學之中，從而提高學生的數學能力、思維品質以及數學學科素養.

關鍵詞：完全平方公式；整體教學；學科素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中要求學生：能進行簡單的整式乘法運算，理解乘法公式（a+b）（a+b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單計算和推理.完全平方公式作為多項式乘法的下位知識，是整式乘法中的特殊研究形式，本質上是一種計算方法.但是，如果教師在“完全平方公式”的教學中，直接給出（a+b）2讓學生計算，沒有公式產生的探索過程，那么當學生自己面對公式時，就會出現難以判斷、手足無措的狀況.因此，教師需要為生成完全平方公式做思維上的準備，設計恰當的問題情境，以若干典型事例為載體，帶領學生經歷從一般到特殊的生成、再從特殊到一般的概括的思維過程.只有這樣，學生才能真正理解公式的根本意義，掌握公式的結構特征，感悟數學思想.下面筆者以蘇科版七年級下冊第九章第4節第2課時“完全平方公式”為例，談談具體的教學及思考.

1 教學分析

1.1 教材分析

“完全平方公式”是在前三節“單項式乘單項式”“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”之后學習的，其本質是“多項式乘多項式”的特殊變化形式得到的公式模型.在多項式乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，當a，b，c，d有某些特殊關系時，會產生特殊的形式.本節課的主要內容是完全平方公式和運用完全平方公式進行計算，主要運用從特殊到一般的探索方法，是后期學習“因式分解”“勾股定理”“解一元二次方程”“二次函數”的基礎［1］.

1.2 教學目標

（1）會推導完全平方公式，體會“一般到特殊”的數學思想，培養符號感和推理能力.

（2）通過拼圖活動，了解完全平方公式的幾何意義，感悟直觀化、數形結合的思想.

（3）理解公式的意義，掌握公式的結構特征，并能靈活運用公式特征進行簡便計算，解決問題.

1.3 教學重點、難點

重點：完全平方公式的推導和靈活運用完全平方公式進行計算.

難點：構造圖形驗證完全平方公式和靈活運用完全平方公式進行計算.

2 教學過程

2.1 熱身練習，發現規律

計算：（1）（a+b）（c+d） ;

（2）（a+b）（a+d） ;

（3）（a+b）（a+b） ;

（4）（a-b）（a-b） ;

（5）（2m+n）（2m+n）；

（6）（3x-2） （3x-2）.

學生通過計算，初步感知兩個二項式相乘，積可能是四項或三項或只有兩項，從而產生猜想、獲得規律.

追問1：觀察上述計算結果，有什么不同？

追問2：什么樣的二項式相乘，結果是三項式？它與多項式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd相比有何特殊性？

追問3：觀察剛才多項式乘法的結構特征以及結果，請嘗試用字母表示你發現的規律.

追問4：比較公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2的關系，有什么異同點？

設計意圖：追問1讓學生從已有的多項式乘法運算中脫離出來，雖然都是二項式乘二項式，但結果的項數不同，激發學生的好奇心和求知欲.追問2讓學生通過整體的角度，經歷一般到特殊的過程.追問3隱含強烈的建模愿望，引導學生通過以上若干實例，得到兩個完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2，也是學生經歷“一般到特殊再到一般”過程后抽象水平得以提升的體現.追問4引導學生觀察兩個公式的共同點和不同點，讓學生對兩個乘法公式有更深刻的認識.

2.2 圖形驗證，表征規律

問題1 縱觀本章，前兩節課的引入部分都是通過圖形面積得到法則，那么上述兩個完全平方公式能否運用幾何直觀進行驗證呢？

追問1：由（a+b）2你能想到什么？

追問2：完全平方公式是多項式乘法法則的特殊形式，那么能否從多項式乘法法則的圖形驗證入手呢？

設計意圖：追問1誘發學生由“數”聯想到“形”，猜想（a+b）2是一個邊長為a+b的正方形的面積.追問2從學生的最近發展區出發，引導學生從多項式乘法法則的圖形驗證（如圖1）開始，把圖1逐步調整，首先改變c，d為a，b，出現和的完全平方公式，如圖2；再把圖2中面積為ab的兩個長方形向內翻折，得到差的完全平方公式，如圖3.這樣利用“圖形等面積法”直觀解釋公式，自然而又順暢，學生的觀察能力、數學表達能力也能得到鍛煉，從而真正理解“數形結合”思想的意義，提高對知識點的理解深度.

2.3 概括公式，深入理解

學生歸納完全平方公式的符號表示：_______;.

文字表述：.

追問：公式中的a，b可以表示什么？

設計意圖：通過文字表述，加強學生對公式的本質認知，體現數學的抽象性.通過追問，誘發學生對字母a，b的認識，a，b可以是實數，單項式，多項式.這里涉及到整體思想的同時，還強調了公式結構的不變性和字母的可替代性，提升了學生的數學素養.

2.4 自編算式，理解公式

練習1 同學們，你們能夠根據a，b的可變性，自己編寫一個符合完全平方公式的算式嗎？把你編寫的題目交給你旁邊的同學完成.（學生練習，師生互評.）

設計意圖：一般課堂都是在歸納公式之后，通過讓學生辨析公式來加深理解和記憶，但是這樣的教學沒有讓學生自主運用所歸納的知識，比較被動.教師要把主動權還給學生，讓學生自己構建出符合特征的式子.隨后，教師可以精選幾個具有代表性的式子進行板書，學生共同研討計算，此過程中若有學生遇到困惑和問題，都是教師發揮引導者作用的好時機！

2.5 活用公式，拓展提高

練習2 運用乘法公式計算：

（1）（a+b+c）2 ;" （2）（a+b-c）2 ;

（3）1032 ;（4）59.82.

練習3 請在下面的括號內添上一個多項式，使其能利用完全平方公式計算.

（2a-b）（"" ）.

追問：括號里還有不同填法嗎？

設計意圖：練習2滲透整體思想和換元思想，引導學生將非標準模型轉化成標準模型，加深對公式結構的本質理解.四道小題拓寬了學生的眼界，體現了運用完全平方公式的便捷，有利于提高七年級學生的思維能力和運算能力.練習3蘊含了逆向思維方式，大多數學生會在括號里填2a-b，通過教師的追問引發學生深思，還可以填4a-2b，進而還能寫出如6a-3b，a-12b，-2a+b等之類的答案，體現公式靈活多變的本質.最后，歸納出k（2a-b），其中k是不為0的常數.

2.6 學習回顧，建構認知

問題2 我們研究完全平方公式經歷了一個怎樣的過程？你能畫出本節課的思維導圖嗎？（思維導圖如圖4所示.）

設計意圖：授人以魚不如授人以漁，引導學生用思維導圖把本節課內容進行結構化，進一步拔高

完全平方公式的學習價值.正如愛因斯坦所說，教育就是當一個人把在學校所學全部忘光之后剩下的東西.以這樣的方式長期滲透，能夠促使學生將數學思想內化為個體觀念，以在學習新公式時進行思想方法的遷移，提高數學學習能力.

3 教學反思

3.1 注重整體教學，抓住數學中的結構性知識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中要求：要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，體現數學知識之間的內在邏輯關系以及學習內容與核心素養表現的關聯.在教學過程中，教師要帶領學生經歷公式的生成過程，體會一般到特殊的數學思想，不僅利于學生理解，也是日后學生遺忘公式時可以重新推導的法寶.在得到公式后，還要加深對公式的結構性認知.通過學生自主構建算式，加深對公式的理解，從而提高學生的數學能力、思維品質以及數學學科素養.

此外，“完全平方公式”和“平方差公式”都是七年級下冊第九章第4節的內容，都是多項式相乘的特殊形式.學習能力不強的學生在辨析這三個公式時，由于對每一項的實質含義不理解，計算時經常會混淆公式，出現漏項和符號錯誤的問題.其實，從整體視角下看待這兩個課時，這三個公式的本質是兩數和與兩數差的自乘與互乘問題，它們是統一的.在公式的探索、歸納過程中，涉及的數學思想方法上都有異曲同工之妙.基于上述思考，教師可以依據公式間的聯系，利用1個課時就可獲得三個公式，完成公式的驗證、歸納、強化過程，再進行靈活運用，獲得“1+1gt;2”的教學效果［2］，還能讓學生感受到數學的魅力.

3.2 關注教學對象，提高課堂教學行為的有效性

關注教學對象就是要從學生的生活經驗、認知起點出發，尊重學生在解決問題過程中所表現出的認知水平、學習能力差異，指引學生學習知識和方法，感悟數學思想方法，獲得學習進步.在“完全平方公式”的學習中，教師從學生前兩節課的學習經驗出發，通過追問引導學生利用幾何直觀證明完全平方公式，體現了代數和幾何的內在聯系和統一，為后面類比學習“平方差公式”奠定了基礎.即使當學生在面對新的學習內容時，也能想到按照這樣的探索路徑去發現問題、解決問題，這樣數學思想才能真正積淀為數學素養.

此外，“親其師，才能信其道”，教師的人格魅力也是調動學生積極性、提高課堂效率的重要因素.如低聲細語、俯身指導等，都有利于營造一節氛圍和諧的數學課堂，在這樣的課堂中學生如沐春風，教師的數學活動和思想方法也會更具感染力.

3.3 理解教學過程，引導學生感悟數學思想

在數學教學過程中，學生除了掌握知識，更重要的是領悟在探索過程中蘊含的數學思想方法，逐步形成普適的學習能力.因此，教師應提前做好課堂任務的分解，在知識形成過程中精細地設計問題，讓學生參與發現與研究的過程，在獲得新知后再反過頭來感悟數學思想，進而提高數學素養.例如在公式發現環節，從多項式相乘到完全平方公式的獲得，一脈相承，學生體驗“一般到特殊”的數學思想；在幾何驗證環節，通過剪拼翻折，體會“直觀化”和“數形結合”的數學思維方式；在符號表示、文字描述環節，通過“數”與“形”的互相表達，充分體現數學的抽象美、簡潔美；在公式應用環節，通過“模式化”的解題活動，幫助學生理解公式中字母的廣泛含義，感受公式的價值和“整體思想”，獲得成功體驗.如此，通過多方面、多渠道，引導學生在各自的生長點上生根、發芽，既能獲得數學知識，又能感悟數學思想，獲得不同的學習體驗與快樂.

參考文獻：

［1］涂愛玲，梁艷云.“知識生長式”的思維課堂——《乘法公式的綜合應用》的課堂實錄與反思［J］.中學教學參考，2016（26）：1-3.

［2］胡柳青.知識漸次生成 素養自然形成［J］.中學數學教學參考，2021（11）：36-38.