精研細磨 提升質量

摘要：一道中考壓軸題的命制，需要經歷多次研磨.從命題藍圖的設計，到考查目標的確立；從初步構想，到逐漸成題，再到研磨修改，最終形成定稿；從文字的科學性修訂，到試題難度和區分度的調整.只有以嚴肅認真的態度反復錘煉，才有可能生成高質量的命題成果.

關鍵詞：中考命題；命制歷程；精研細磨；命題感悟

2022年6月，筆者有幸參與了河南中考數學試卷命制工作，現就其中第23題（全卷共23題）的命題歷程與各位同仁分享、交流.

1 命題構想

根據教育部關于命題的相關要求，依據命題藍圖和多維細目表設計，在保證穩定的前提下兼顧適當創新，本題的命制擬定在特殊四邊形的框架下，融合“圖形的折疊”“動點問題”等背景.題目要求設置三問，按照易中難階梯式設置，總體難度系數在0.3～0.4之間，低起點，高思維，體現類比思想、分類討論思想，凸顯過程性探究，有一定的區分度.

2 命題歷程

2.1 形成初稿

初稿：在正方形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，連接EF，P為AD上一個動點，將△APB 沿BP折疊得到△MPB，點A的對應點為M，延長PM交CD于點Q，連接BQ.

（1）如圖1，當點M落在EF上時，∠PBQ的度數為____________.

（2）如圖2，改變點P的位置.

①∠PBQ的度數是否變化，請說明理由;

②求證：AP+QC=PQ.

（3）若AB=8 cm，連接MC，當△MBC為等邊三角形時，直接寫出AP的長.

診斷分析：經過研討后，命題組首先肯定了本題的命題方向及知識點設置，并提出以下建議：

（ⅰ）第（1）問起點過高，學生首先需根據軸對稱的性質求∠PBM的度數，然后再根據全等三角形的性質求∠MBQ的度數，中等以下的學生不易得分.

（ⅱ）河南中考近年來一直在嘗試去除試題的“套路化”，而第（2）問中的②運用了“半角模型”，直接套用模型解法，不符合中考命題的公平性原則和導向性原則.

（ⅲ）第（2）問需進行兩次全等證明，解答步驟過多，學生書寫量過大.

（ⅳ）第（3）問中，學生可直接以BC為邊在正方形內部構建等邊三角形，也可用解析法直接求解，則過程性探究的命題設想無法達成.另外，此時∠ABP=15°，學生也可在Rt△APB中利用15°角的正切值直接求解.

（ⅴ）第（3）問與第（2）問的關聯性較差.

2.2 再次打磨

根據研討意見，命題組對初稿進行了修改.

第二稿：正方形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，連接EF，P為AD上一個動點，將△APB沿BP折疊得到△MPB，點A的對應點為M，延長PM交CD于點Q，連接BQ.

（1）如圖3，當點M落在EF上時，∠MBQ=°，∠CBQ=°;

（2）改變點P在AD上的位置，如圖4，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由;

（3）若AB=8 cm，當△BPQ中有一個角為60°時，直接寫出此時AP的長.

診斷分析：再次研討后，命題組認為試題命制滲透了“由特殊到一般再到特殊”的數學思想.第（1）問當點M位于EF上時，讓學生求出∠MBQ與∠CBQ的角度.第（2）問，改變點P在AD上的位置，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系時，學生會經歷觀察、猜測、判斷的過程；說明理由時，經歷了推理和論證的過程，由于點P是線段AD上的動點，所以∠MBQ=∠CBQ的結論具有一般性，考查了學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養.第（3）問中，將△BPQ設計為含60°的特殊三角形，根據點P的不同位置，60°的歸屬不同，

將圖形問題轉化為解直角三角形的代數運算問題，考查學生的轉化思想、數形結合思想和分類討論思想.本稿設計難度適中、結構合理，基本彌補了初稿中存在的問題.

隨后的深入研討，發現了三個新問題：

（ⅰ）第（1）問求∠MBQ與∠CBQ的角度雖然降低了難度，但仍需判斷∠PBM的度數，中等偏下學生仍不易得分，建議完善思維鏈條，將本問難度系數控制在0.8以上.

（ⅱ）第（2）問通過類比得到了∠MBQ=∠CBQ的結論，但在第（3）問拓展中并未直接應用結論，還需判斷∠PBQ的度數，兩問之間銜接不自然，思維跨度過大，不利于學生活動經驗的遷移.

（ⅲ）第（3）問分類討論中，點P在AD上不同位置時，存在有∠BPQ與∠PQB分別為60°的兩種情況.如圖5，AP在含30°的Rt△APB中；如圖6，AP在含15°的Rt△APB中.

根據正方形的對稱性，圖6中的AP其實就是圖5中的QC，所以，AP的值可直接用30°和15°的正切值求解.因此，第（3）問考查用特殊技巧解題，而不是運用通性通法，試題有失公平性，不利于發揮試題的教學導向功能.

此外，線段EF只在第（1）問使用，是否應該將這個條件呈現在題干中，該如何設置？

針對以上問題，命題組再次研討，經歷幾次修改，并對文字做適當完善，最終形成一致意見，形成終稿.

2.3 形成終稿

定稿：綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

（1）操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM，如圖7.

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖7中一個30°的角.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．

①如圖8，當點M在EF上時，∠MBQ=°，∠CBQ=°;

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖9，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由.

（3）拓展應用

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8 cm，當FQ=1 cm時，直接寫出AP的長.

終稿主要完善了以下幾個方面：

（ⅰ）回歸教材，凸顯過程性探究.以人教版八年級下冊“數學活動”中的“矩形的折疊”為引例，以特殊四邊形紙片的折疊為主線，以點P在AD上的不同位置為操作手段，在學生熟悉的情境中，引入判斷矩形ABCD中的一個30°的角為起始，繼而將判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系的難度降低，更易于將學生積累的活動經驗運用到“數學活動”的場景中，達到問題解決的目的；

（ⅱ）第（2）問中，將矩形紙片改為正方形紙片，考查學生知識遷移的能力，并將點P在AD上的位置限制條件增加“點P不與點A，D重合”，避免了干擾要素，考慮的是試題的嚴密性，填補了試題的漏洞；

（ⅲ）將EF的呈現改為折痕的方式，并在第（3）問中考查了以F為基準點的分類討論，保證了EF呈現的延續性；

（ⅳ）前兩問將點M從特殊位置轉為一般位置，引導學生猜測和判斷折疊中角度的變與不變，得到∠MBQ=∠CBQ的一般結論后，在第（3）問由角平分線的性質得到MQ=QC，將線段關系轉化到Rt△PDQ中，根據點Q的不同位置，利用勾股定理列方程解決問題，整個環節銜接自然，思維順暢，難度基本達到設想，區分度較好，因此形成以上終稿.

3 參考答案

定稿中的問題具體參考答案如下.

解：（1）∠ABP或∠PBM或∠MBC或∠BME.（注：任意寫出一個即可.）

（2）①15，15.

②∠MBQ=∠CBQ，理由如下：

由四邊形ABCD是正方形，得AB=BC，∠A=∠C=90°.由軸對稱性質，得BM=AB，∠BMP=∠A=90°，即∠BMQ=∠C=90°，BM=BC．因為BQ是公共邊，所以Rt△MBQ≌Rt△CBQ.所以∠MBQ=∠CBQ.

（3）AP的長為4011 cm或243 cm.

提示：設AP=PM=x，則PD=8-x.

由于∠MBQ=∠CBQ，可得MQ=QC，則PQ=PM+QC.

當點Q在點F上方時，DQ=3，QC=5，PQ=x+5.

在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，即（8－x）2+32=（x+5）2，解得x=2413.當點Q在點F下方時，DQ=5，QC=3，PQ=x+3.

在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，即（8－x）2+52=（x+3）2，解得x=4011.

故AP的長為4011 cm或2413 cm．

4 試題評價

《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下稱《新課標》）指出：“綜合與實踐要經歷項目式學習的全過程.”本試題讓學生經歷觀察、操作、實驗、猜想、推理、驗證的過程，考查學生的幾何直觀，以及對圖形的性質、圖形的變化的掌握，并考查學生的綜合分析、抽象概括、邏輯推理等能力，有利于調動學生已有的學習經驗，展現學生的高階思維及探究和遷移能力.

《新課標》指出：“項目式學習的關鍵是發掘合適的項目.”本試題低起點，寬入口，層層深入，以教材中的“數學活動”為載體，以矩形到正方形的知識遷移為主線，以折紙操作為手段，通過問題的遞進式設置，引導學生深入思考和實踐，強化對圖形的性質和圖形的變化的考查.（1）中“寫出一個30°角”的開放性問題的設置，還原了教材，熟悉的情境有助于學生迅速進入探究過程，利用折紙的過程引導學生進行獨立思考，感悟從數學的角度審視問題，經歷發現問題的過程，發展學生會用數學的眼光觀察現實世界的意識.（2）中的矩形和正方形的知識遷移，有助于學生調動已有數學活動經驗，觀察圖形的變化，將關注點轉化為CD邊上的動點Q，類比（1）中的結論，在操作中從特殊位置的∠MBQ與∠CBQ的數量關系，猜想一般位置的∠MBQ與∠CBQ的數量關系，通過驗證得到結論，考查了正方形、全等三角形、軸對稱等相關知識的綜合應用.學生在提出問題、分析問題和解決問題的過程中，感悟現實問題不僅要關注數學的知識，更要關注問題的背景知識，發現問題的本質與規律，然后用數學的概念、定理或公式予以表達，在建立數學模型的過程中，發展會用數學的思維思考現實世界的意識.在（3）中，應用（2）中的結論，將已知信息轉化到Rt△PDQ中，利用勾股定理，建立方程解決問題，用積累的活動經驗和得到的結論來解釋折紙活動的現實意義，進而解決數學問題.在這個過程中，讓學生感悟重事實、講道理的科學精神，體會數學表達的簡潔與精確，發展學生會用數學的語言表達現實世界的意識.

本試題通過創設一定的學科問題情境，強調以實踐操作、探索發現、猜想驗證和拓展研究為活動主線，幫助學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證—拓展應用”的全過程.操作中，讓學生經歷自主探究問題的一般過程，全面考查學生利用數學活動經驗和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；在由特殊到一般的研究過程中滲透分類討論的數學思想，綜合考查運算能力、空間觀念、幾何直觀、模型觀念、推理能力、應用意識及創新意識等核心素養，充分體現“素養立意”的命題理念.

5 命題感悟

命題工作是一項精細的工作，也是一項創造性的工作;它是一門技術，更是一門藝術.命題就是一個不斷改進自己想法的過程，或者說是一個無中生有的創造過程.創造一個問題比解決一個問題更加困難，因此，命題就是一個逐漸否定自己、修正自己、提高自己的過程.就本試題為例，只有經歷一次次的研討，一次次的打磨，才能使題目不斷得以優化，最終設計出恰當、合理、科學的試題，實現“素養立意”，符合依標命題的根本要求；才能考查學生的數學思想方法、數學活動經驗的積累情況；才能客觀評價學生的學習能力、問題意識、創新意識；才能呈現出有質量、有生命的命題成果.