基于聚類分析的中學數學分層教學應用研究

摘要：面對班級學生數學能力差異較大的現狀，如何“因材施教”是當前所要解決的最大問題.分層教學無疑是大多數教師采用的一種解決措施，但如何科學合理地分層從而更好地挖掘學生的學科素養差異呢？本文中采用人工智能數據分析方法中的K-means聚類分析對中學生數學學科能力進行分層.該方法打破原有分層方法的局限性，從數據中挖掘隱含信息，彌補了教師傳統地利用主觀判斷進行分層的不足，給出定量化分層參考，為進一步提升教學質量奠定基礎.

關鍵詞：分層教學；K-means聚類算法；成績分析；中學數學

1 引言

在日常教學中經常遇到班級學生差異較大的情況，這對相對比較抽象的中學數學教學來說，無疑是一個巨大的挑戰.但怎樣有效地實施分層是目前最重要的問題.傳統的分層教學是教師僅憑成績單將班內學生進行分類.然而，劃分為幾個層次、為什么要如此劃分并未經過嚴格論證，大多數情況是僅憑教師主觀經驗進行判定.這樣的分組方式缺乏客觀科學的依據，使得分組流于形式，每組學生只是在分數上沒有差異，但并不清楚學生實際的知識掌握情況.因此，有必要探究一種基于數據挖掘的新技術手段來進行分層教學.

在大數據時代，使用先進算法進行分析，再根據分析的數據，發現其中隱藏的關系，找出關聯特征，對分層教學工作具有指導意義.本文中以河北省香河縣第一中學高三年級上學期某次數學考試成績數據為研究基礎，使用人工智能聚類分析方法，從數據中找出各個知識點之間的相關特征或模式，挖掘出更有用的信息，為教師進行分層教學提供參考依據，從而制定更有針對性的教學策略，提升教學效果.

2 數據挖掘方法——聚類分析

聚類（Clustering）是進行數據分析的一種常用分析方法，廣泛應用于各個研究領域.聚類是把樣本數據依據某種相似性關系劃分成若干類別，其目的是使得同類別的數據之間的距離盡可能小，而不同類別數據間的距離盡可能大.K-means算法是聚類分析方法中一種應用最廣泛的劃分算法.該算法具有簡潔、聚類效果好的特點.

2.1 K-means算法

K-means聚類分析算法是一種基于相似性的無監督學習算法，依據一個距離函數來判定兩個樣本數據的相似性.該算法的最終結果就是把所有樣本數據歸屬到不同類別中，使每個樣本都隸屬于距離它最近的聚類中心所對應的類別.

2.2 K-means算法步驟

（1）算法模型初始化：依據肘部法則確定聚類類別數量k，隨機選取k個樣本作為各個聚類類別中心.

（2）更新聚類：計算所有樣本到k個類別中心的歐氏距離，每個數據劃歸到與其距離最近的類別中心.

（3）更新類別中心：依據每個樣本的類屬關系，將同類別數據的特征值平均到更新后的聚類類別中心.

（4）迭代：計算該劃分的對應目標函數值，重復步驟（２）～（４），直至目標函數值不變或變化值達到預先設定的最小閥值.

K-means算法步驟流程圖如圖1所示.

3 K-means聚類算法在中學數學分層教學中的應用" 本文中選取筆者執教的某班（53人）高三上學期某次數學月考成績（包含每個學生各個試題得分與總分）作為研究數據，53名學生成績均不存在缺失值（沒有成績）的情況.以53名學生各個試題得分與總分為研究數據，調用Python語言中機器學習軟件包Scikit-Learn中的K-Means算法來編寫程序，得到研究結果.聚類分析在中學數學成績分析研究路線圖如圖2所示.

3.1 數據預處理

為了更科學地分析和評價學生成績，需要對成績進行標準化預處理.標準化處理后的數據不會改變各指標間的相互影響程度，非常巧妙地凸顯了各個試題的難度和學生的學科能力表現，同時還消除了各個試題之間的滿分量綱的影響，既讓不同試題的能力水平表現變得可以進行比較，也提升了模型收斂速度和模型精度.本文采用數據分析中使用最廣泛的標準化數據處理方法：Z-Score標準化.Z-Score標準化函數為

其中，μ為樣本數據的均值，σ為樣本數據的標準差.樣本數據標準化處理后，既能解決原始數據量綱、維度上存在差異的問題，又能充分反應出原始數據不同特征對樣本的貢獻度，可大幅度提高數據分析的準確性.

3.2 結果分析

根據試卷中學生答題情況進行聚類分析，計算出最恰當的學生分組方式的同時，還可明確每個薄弱知識點所對應的學生并了解到不同組別學生對知識點掌握情況的共性與差異.根據肘部法則，選定最適宜的聚類個數為4，即將學生分為4層，每位學生所屬類別與各類別的人數如表1所示，各個類別學生的各試題聚類中心如表2所示.

從表1中可得出如下結論：

（1）依據聚類中心結果，結合各類別學生平時成績，可得出各類別學生的數學學科能力，其順序為A類gt;B類gt;C類gt;D類，即A類的學生最為優秀.經與平時成績對比分析，聚類結果符合實際情況.

（2）在進行學生成績聚類分析前，先將成績按總分從高到低排序，所以成績相近的學生在聚類分析結果中大多隸屬于同類別，有些個別學生（序號為27，32，42，44的4名學生）例外，已在表1中突出表示.經教師與這些特殊學生談話，并結合其平時成績分析，序號為32的學生本次考試發揮較好，尤其是平時掌握得不太好的第20題立體幾何求二面角問題，恰好該學生在考前做過類似試題，所以在此次考試中得了滿分；序號為42學生本應歸屬在C類，實際卻在D類的原因是該學生做題時比較馬虎，如第9題求共軛復數時，沒有注意到復數上的橫線；序號為27的學生和序號44的學生情況類似，即做題不細心，所答非所問.此外，在各類別人數上A類和C類人數較多，B類和D類人數較少，提醒教師應盡早采取措施，避免學生成績兩極分化.

從表2中可得出如下結論：

（1）通過觀察第6題和第9題，可看出綜合能力較高的C類弱于D類.這兩道題分別考查了二項展開式和復數運算.經過詢問C類學生得知，他們犯了同一個錯誤，即所答非所問.沒注意到第6題是選系數、第9題是求共軛復數，暴露出C類學生粗心的共性特征.相反，D類學生學科能力較差，反而更重視這些易得分的知識點，所以注意到了題目的細微變化，最終得分.

（2）為更直觀地觀察各個類別，特將其先降維處理，再制作出聚類結果散點圖，如圖3所示.聚類過程可看成是依據學生成績進行“分層”的過程，這種分層把成績最接近、結構最相似的學生分在了一起[1].這一點可從聚類結果散點圖中直觀展現出來，即各個類別學生，類別內部相似，類與類之間不同的特點.

（3）為直觀了解各類別學生在各種題型的解題能力，結合雷達圖的特點，繪制各類別學生各題型能力雷達圖，如圖4所示.從圖4可看出A類學生填空題能力突出，單選較弱的原因在于第7，8兩題的難度較大；B類和C類學生能力較為均衡；D類學生得分主要來源于單選題，符合單選前幾道題簡單能得分的特點.

3.3 分析結果在教學管理中的應用

依據聚類分析結果和評價結論，從學科能力等級評定、分層教學、興趣小組和個性化輔導四個維度為教師的課堂教學提供一些參考和指導.

（1）學科能力等級評定.根據教育部門相關規定，學生成績不得以具體分數下發成績單，所以大多數中小學校均采取等級評定的方式對學生學科能力高低給予評價.本節將依據學生學業成績的總體表現對學生評定等級，等級評定一般會將待分類的學生劃分為“優異、良好、中等、較差”四個級別.然而，這些級別的概念都是模糊的，到底達到什么程度才算優異或者良好，往往沒有量化的標準，評價結果也是因人而異.筆者依據聚類分析結果給出定量化參考依據，A，B，C，D四種類別學生逐一對應優異、良好、中等、較差四個等級，具體劃分依據如表3所示.

（2）分層教學.學生分層則是分層教學的基礎和前提.教師以聚類分析結果為參考依據，對各類別學生展開有針對性的分層教學，滿足不同能力層次學生的學習需求，激發學生的學習主動性與積極性.在實施環節，教師可從課前準備、課堂教學、課后鞏固三個方面將分層教學融入高中數學教學中．

第一，課前準備.教師要深入了解各類別學生的特點，包括學習能力、學習習慣、個性特點、課堂表現、家庭因素等.這是實施分層教學的必要前提.只有充分了解所教學生，才能更有針對性地備課.教師要為不同類別的學生設置其適宜難度的題目，激發學生學習興趣.

第二，課堂教學.教師應基于各層級學生的能力水平現狀，結合教學目標，設計不同層次的遞進式的教學問題，促進不同層級學生的思維發展.較簡單的問題由D類或C類回答，偏難的問題由B類或A類回答.

第三，課后鞏固.為進一步鞏固分層教學的效果，教師還可將其延伸至課后環節．如在布置作業時，為不同層次的學生布置難易不同的作業，即A類學生除了做必要的基礎題、提高題外，還要做一些難題和創新題；B，C兩類學生除了做基礎題外，還需布置一些提高題以促進其思維的發展；D類學生只需做一些基礎題．

（3）互助學習興趣小組.根據綜合評價結論，再依據聚類分析的結果，教師將不同類別的學生組建起互助學習興趣小組，發揮各自優勢，實現同學之間的互幫互助.如，每個興趣小組都分別有各個等級的學生，即優秀、良好、中等和較差每個類別學生2名，搭建先進生幫帶后進生的良好學習氛圍，實現學生的共同進步.

4 結束語

本文中通過人工智能數據分析方法中的K-means聚類算法對中學生數學學科進行分析，將具備相似特點的學生聚成一類，從而實現分層教學.

（1）針對不同類別的學生，分析總結出某類學生在共性上的優點與不足，科任教師就可以動態調整教學內容，從而做到有據可依地分層教學和輔導.

（2）根據聚類分析結果可以解決無法定量化將學生分層的難題，還可將分層結果作為學科能力等級評定的參考依據.

（3）憑借聚類分析結果的特點，教師可組建學生學習小組、互助小組等，既有利于創設良好的學習氛圍，又能培養學生的協作精神，還可增強學生的自信心.

參考文獻：

[1]魯慶云，劉兆崗.聚類分析在分層教學中的應用[J].山東教育，2022（17）：32-33.