堅持開放創(chuàng)新，考查關(guān)鍵能力

新高考數(shù)學(xué)命題在積極貫徹《總體方案》要求，充分滲透核心精神，堅持開放創(chuàng)新，合理通過“舉例問題”“組合搭配”“結(jié)構(gòu)不良問題”“存在問題”等的開放與引入，巧妙設(shè)置，很好考查學(xué)生的關(guān)鍵能力，體現(xiàn)高考的選拔性與區(qū)分度．

1 “舉例問題”靈活開放

對于此類“組合搭配”問題，往往提供不同的搭配所構(gòu)建的多組正確答案，可供不同學(xué)生從不同視角加以合理選擇、組合.通過知識、思想方法和能力之間的巧妙應(yīng)用，很好地考查對應(yīng)的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力等．

3 “結(jié)構(gòu)不良問題”適度開放

創(chuàng)新型“結(jié)構(gòu)不良問題”是根據(jù)題目條件先完善題目信息再求解，或先建立題目條件與結(jié)論再分析等，可根據(jù)自身合理選擇，再結(jié)合所選擇的題目來正確求解，給不同層次的考生提供發(fā)展空間．

例3 （2021年高考數(shù)學(xué)甲卷理科第18題）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；③a2=3a1．

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．

分析：根據(jù)題目條件以及“結(jié)構(gòu)不良問題”的要求，先確定一個明確的結(jié)論，另外兩個自然成為條件.抓住等差數(shù)列的概念、通項公式以及前n項和公式等加以變形與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)確定結(jié)論的證明與應(yīng)用．

解析：選擇①③為條件，②為結(jié)論．

證明：由a2=a1+d=3a1，得d=2a1，則Sn=na1+n（n－1）2d=na1+n（n－1）2×2a1=n2a1.

故Sn－Sn－1=na1－（n－1）a1=a1，即數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列．

選擇①②為條件，③為結(jié)論．

證明：等差數(shù)列設(shè){an}的公差為d，則有S1=a1，S2=a1+（a1+d）=2a1+d，S3=a1+（a1+d）+（a1+2d）=3（a1+d）.

由{Sn}為等差數(shù)列，得S1+S3=2S2.

即（a1+3（a1+d））2=（22a1+d）2，整理得d=2a1.故a2=a1+d=3a1．

選擇②③為條件，①為結(jié)論．

證明：由S2=a1+a2=4a1，得S2=2a1，則數(shù)列{Sn}的公差為d=S2－S1=a1.

故Sn=S1+（n－1）d=na1.

當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=n2a1－（n－1）2a1=（2n－1）a1；當(dāng)n=1時上式也成立.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=（2n－1）a1.

由an+1－an=[2（n+1）－1]a1－（2n－1）a1=2a1，可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

對于此類“結(jié)構(gòu)不良問題”，往往是根據(jù)題目給出的若干個條件（一般是兩個到三個），按明確要求構(gòu)建一個合理且完整的數(shù)學(xué)問題，再進行證明或求解．這在很大程度上給了考生充足的選擇空間，充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)與內(nèi)涵，極具開放性與創(chuàng)新性．通過“結(jié)構(gòu)不良問題”的適度開放性，發(fā)散思維，培養(yǎng)能力，也進一步引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，重視基礎(chǔ)性、思想性與能力性，不搞題海戰(zhàn)術(shù)，不搞“機械刷題”．

2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題第（2）問，從兩個條件中選一個，再去證明f（x）有一個零點，體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)不良問題”的適度開放性，引領(lǐng)高考數(shù)學(xué)命題的科學(xué)性與素養(yǎng)導(dǎo)向以及能力為重的基本原則.考查能力，落實創(chuàng)新，倡導(dǎo)開放，有利于高考的選拔，也有利于考生發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)水平．

4 “存在問題”有序開放

“存在問題”是根據(jù)題目條件來確定結(jié)論的存在性，通過具體的解題分析，最終對問題的存在性加以判定.由于最終結(jié)論是未知的，所以考生無法確定自己判斷的真假情況.有序開放此類問題，對學(xué)生知識、思想方法和能力等方面要求較高．

例4 （2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第18題）在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若b=a+1，c=a+2．

（1）若2sin C=3sin A，求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

分析：（1）根據(jù)題目中含角的正弦值的關(guān)系式，結(jié)合正弦定理加以轉(zhuǎn)化，進而確定邊長，然后利用余弦定理以及平方關(guān)系來確定一內(nèi)角的正弦值，結(jié)合三角形的面積公式加以求解；（2）根據(jù)條件確定三邊長的大小關(guān)系，進而確定最大邊以及對應(yīng)的角，通過余弦定理確定對應(yīng)角的余弦值，通過解不等式來確定對應(yīng)邊的取值范圍，綜合邊的取值范圍限制以及三角形的性質(zhì)建立不等式，進而確定正整數(shù)的存在性問題．

解析：略．

例4以解三角形為問題背景，綜合解三角形、三角形的性質(zhì)等來確定相應(yīng)的存在性問題.基于高中數(shù)學(xué)課程標準，對“存在問題”進行有序適度開放，全面有效考查學(xué)生的“四基”與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等，在體現(xiàn)開放創(chuàng)新的同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的準確性與有序性．

2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題第（2）問探求兩直線的斜率之和，也是有序開放問題探索的內(nèi)容之一，借助開放情境融入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本思想與基本能力等，全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力．

隨著新高考改革的不斷推進與深入，以及“雙減”政策的進一步落實和高考數(shù)學(xué)《總體方案》中要求的繼續(xù)積極貫徹、適度加大此類數(shù)學(xué)創(chuàng)新開放題的力度，創(chuàng)設(shè)“舉例問題”“組合搭配”“結(jié)構(gòu)不良問題”“存在問題”等新穎題型，真正考查不同層面學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)基本能力等，以吻合高考的選拔與區(qū)分功能，倡導(dǎo)改革創(chuàng)新，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．