基于部分觀測識別非線性高層剪切框架結構參數與未知地震作用

戚鋮愷， 吳嘉敏， 黃金山， 楊 寧

(1. 廈門大學 建筑與土木工程學院，福建 廈門 361005； 2. 廈門大學 航空航天學院，福建 廈門 361005；3. 科廷大學 土木與機械工程學院，澳大利亞 珀斯 6102)

實時掌握結構狀態信息和地震激勵信息是進行結構抗震安全評估和優化振動控制的前提[1-8]。地震信息通常可以從地震臺網或安裝在結構上的健康監測(structure health monitoring，SHM)系統獲取[9]，但是傳播介質可能影響監測系統的測量精度[10]，而且并非所有被監測的結構都安裝了測量基底激勵的加速度計。過去已有很多學者提出了利用結構響應的實測值反演未知激勵的方法[11-15]，但這些方法多適用于非地震荷載的識別。這是因為結構在地震作用下的運動方程為相對于地面坐標系下的相對運動方程，現行方法的實現依賴于結構相對響應的觀測值[16-19]，而SHM系統測得的是結構的絕對響應，在未知地震動下無法直接轉換為相對于地面的響應，給地震激勵的識別帶來困難。因此，基于絕對坐標系下建立運動方程的識別方法受到關注。Zhao等[20-21]在絕對坐標系下建立運動方程，利用所有自由度的全部響應觀測值同時識別結構參數和未知地面荷載。但隨著現代結構日益大型化和復雜化，獲取全部響應信息是不現實的。Li等[22-23]結合模態方法，在絕對坐標系中建立動力學方程以避免將絕對加速度觀測值轉換為相對模態加速度的困難，但僅限用于結構參數已知的情況下進行未知地面激勵的識別。此外，此類在絕對坐標系下建立運動方程的識別方法往往需要建立近似假設，故只適用于剪切型建筑的識別。最近，Huang等[24]和Lei等[25]提出了未知激勵下的卡爾曼濾波(generalized Kalman filter with unknown input，GKF-UI)方法和未知激勵下的擴展卡爾曼濾波(generalized extended Kalman filter with unknown input，GEKF-UI)方法。這些方法在相對坐標系下建立運動方程，觀測量為部分自由度的絕對加速度，有效地實現了結構參數與未知地面激勵的同時在線識別，且克服了需要建立近似假設的問題。但是，GEKF-UI基于傳統擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)方法的框架推導，需要每一時間步都計算雅可比矩陣，當結構自由度增多時，會增加識別困難，甚至無法得到識別結果，因此不適用于自由度較多的結構，尤其是未知地震激勵下的高層建筑識別。

地震作用下采用部分觀測結構響應對高層建筑進行識別一直是許多學者研究的重點。高層建筑因其多自由度的特點，往往存在計算過程復雜，識別誤差易累積等問題。當地震激勵較強時，高層建筑結構將出現非線性變形，現有的模態展開方法將難以適用。子結構方法的“分而治之”思想給高層建筑的識別提供了另一種思路。Koh等[26]將大型結構劃分為若干子結構，提出了基于EKF的子結構識別方法，但需要觀測子結構界面上所有加速度、速度及位移響應。另外，Koh等[27]改進了該方法，同樣將大型結構劃分為若干子結構，僅采用部分加速度觀測值實現未知激勵下大型結構的識別，但該法同樣需要子結構邊界處的加速度響應觀測值。國內外一些研究者亦將子結構方法運用到非線性工況中，Kumar等[28]運用遺傳算法與神經網絡濾波算法的結合算法，觀測子結構的邊界響應識別結構參數及非線性阻尼系數。陶冬旺等[29]將整體結構劃分為線性子結構和非線性子結構，通過EKF和無跡卡爾曼濾波進行識別。Al-Hussein等[30]先選取一個子結構運用未知激勵下的最小二乘法進行識別，然后利用已被識別的子結構信息識別整體結構，該法也難以避免誤差累積。

作者所在的課題組也已針對高層建筑結構系統識別和未知地面激勵識別做了一些研究。在結構參數已知方面：Huang等提出了在絕對坐標系下建立運動方程，結合模態展開的方法識別未知地面激勵；Huang等還提出了GKF-UI方法，實現了在相對坐標系下建立運動方程，基于絕對加速度響應量識別未知地面激勵。在結構參數未知方面：文獻[31]中提出了將模態展開與GEKF-UI相結合的方法，降低了識別過程中結構狀態的維度且不增加未知地面激勵的維度，避免了誤差累積的問題，從而提高了高層建筑結構系統識別的效率與精度，但該法僅適用于線性工況；文獻[32-34]的基本思想是將EKF和子結構方法相結合，文獻[32]中基于部分觀測信息實現對未知地面激勵下線性高層建筑結構的識別，文獻[33]中將方法推廣到結構損傷識別的應用中，文獻[34]中考慮高層建筑結構在非線性工況下的識別，雖然上述方法識別結果都較好，但是存在相鄰子結構之間狀態識別信息傳遞的情況，造成識別誤差累積。

本文的目的在于進一步將子結構方法運用到非線性高層剪切框架結構的狀態、參數與未知地震作用的識別上，克服目前大多數方法仍存在需要子結構邊界處觀測信息、無法獨立并行識別、存在累積誤差等不足。為此，本文在對整體結構劃分后，把相鄰子結構之間的作用視為子結構的附加未知激勵，并根據受力情況將地震作用下的剪切框架子結構進行分類分析，各子結構基于內部的部分觀測量運用GEKF-UI方法識別子結構的狀態、參數和未知激勵。通過一個12層的非線性剪切框架來驗證該方法的有效性。

1 方法提出

1.1 子結構在相對坐標系下的運動方程

地震作用下n自由度非線性結構的運動方程可寫為

(1)

第一類子結構(圖1 Sub.1)

(2)

式中：下標“u”為未知；下標“S”為子結構，其包含的自由度為s(s≤n)；IS為s×1的單位向量；fS,u，ηS,u分別為未知激勵矩陣(np×nt)和未知激勵定位矩陣(s×np)，其中np為未知激勵數，nt為采樣時間維度；fSB為未知邊界力，其大小等于該子結構上部樓層的層間力，相應于圖1 Sub.1，則有fSB=fq+1，其余子結構類似；ηSB為未知邊界力定位矩陣。

第二類子結構(圖1 Sub.2～Sub.m-1)

(3)

第三類子結構(圖1 Sub.m)

(4)

圖1 子結構劃分示意圖Fig.1 Substructure division

1.2 子結構狀態方程的建立

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

在對未知激勵進行線性化時，采用了Ding等提出的一階保持假定,則將狀態方程線性化和離散化后可表示為

Zk+1=AkZk+BkfS,u,k+Bk+1fS,u,k+1+gk |k+wk

(9)

式中：Ak=eGk | kΔt，Δt為采樣間隔；wk為均值為0，方差為Q的模型誤差。

gk |k=(Ak-IS)(Gk |kΔt)-1·

(10)

(11)

1.3 子結構觀測方程的建立

三類子結構因受力情況有差異，其觀測方程的表達方式亦有區別。

(1) 第三類子結構只在底部受到激勵，只需觀測子結構中的部分絕對加速度，觀測方程可表示為。

(12)

(2) 第一類和第二類子結構不僅受到地震激勵，還在邊界處有上部子結構對其產生的邊界作用力，因此在識別這兩類子結構時，觀測方程中除絕對加速度外，還需融合部分層間位移數據防止識別結果的漂移，于是觀測方程可寫為

(13)

將式(12)觀測方程線性化后可表示為

(14)

式中：vk+1為均值0,方差為R的觀測誤差

(15)

由于本文觀測的是絕對加速度響應，且不觀測子結構邊界處響應，所以Dk+1 |k實際上是一個零矩陣，即輸入與輸出之間無直接饋通。

1.4 基于GEKF-UI的識別過程

限于篇幅，本文簡要給出GEKF-UI方法的主要公式，詳細的推導過程可參考Lei等的研究。

首先進行結構狀態估計

(16)

(17)

(18)

(19)

然后對誤差運用加權最小二乘求解未知激勵

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

誤差矩陣計算如下

(24)

(25)

(26)

誤差協方差矩陣計算結果如下

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

傳統的剪切型子結構識別過程中往往會將某一子結構已識別得到的結果用于下一子結構的識別中，上一子結構已識別得到的結果與真實值之間的誤差就會傳遞給下一子結構，從而出現誤差累積。子結構與GEKF-UI相結合的方法將子結構間的相互作用作為子結構的附加未知激勵識別，也即各子結構成為獨立的待識別體，識別結果互不傳遞，可實現子結構的并行識別，避免識別誤差的累積。

2 數值算例與分析

高層結構變形模式受高寬比控制，高寬比較小的框架結構(H/B≤3)的變形模式以剪切變形為主，本文的算例模型是基于高寬比較小的剪切型框架。為驗證提出的方法識別非線性剪切框架結構的有效性，設計了一12層剪切框架，每層質量，剛度及阻尼參數分別為mi=3.2×105kg，ki=2.5×108N/m，ci=5.2×105N·s/m,i=1, 2,…,12。該結構受到El-Centro地震波的N-S分量激勵， 地面峰值加速度為0.3g。本算例的地震激勵幅值較強，極有可能在底層產生非線性變形。假設第i層非線性滯回分量zi符合Bouc-Wen模型

(32)

(33)

αi為結構第i層柱屈服后與屈服前剛度之比；在本算例中，結構非線性參數取值：βi=4 000 m-2，γi=2 000 m-2，ni=2，αi=0.1(i=1,…,4)。

將該12層剪切框架劃分為兩個獨立的子結構，第1層～第6層為子結構1，屬于第一類子結構；第7層～第12層為子結構2，屬于第三類子結構。子結構的識別流程圖，如圖2所示。

圖2 子結構識別流程圖Fig.2 Flow chart of substructure identification

2.1 子結構1

在識別子結構1時，非線性層的位置未知，假設每層都發生非線性變形，通過識別的非線性模型參數大小判斷是否發生非線性。該子結構受到未知地震激勵和未知邊界力。僅觀測第1、第3、第5層的絕對加速度和第1、第2、第4層的層間位移，所有觀測數據均加上2%均方根(root mean square,RMS)水平的噪聲。地震激勵識別圖，如圖3(a)所示。為了更清晰展示識別值與理論值的對比，圖中僅列出了前15 s的地震激勵時程，總體符合程度較高。邊界力識別圖，如圖3(b)所示。其識別效果要好于地震激勵，可以看到，識別值與真實值高度吻合。結構的第4層位移、第6層速度和第1層恢復力滯回曲線識別圖，分別如圖3(c)～圖3(e)所示。識別結果均很好。

圖3 未知地震作用和邊界力作用下子結構1識別結果Fig.3 Identification of the substructure 1 under unknown seismic excitation and unknown boundary force

第3層剛度識別，如圖4(a)所示。識別值能快速收斂且誤差小。第3層阻尼系數識別，如圖4(b)所示。識別值誤差較小，但收斂速度比剛度識別慢。非線性參數的識別圖，如圖5所示，其收斂速度較快，其中γ的識別誤差比β大，但仍在可接受范圍內。

圖4 第3層剛度和第3層阻尼系數識別對比Fig.4 Comparison of the identified stiffness and damping coefficient of the 3rd floor

圖5 非線性模型參數β和γ的識別對比Fig.5 Comparison of the identified non-linear modal parameters β and γ

子結構1所有樓層的剛度、阻尼系數和非線性參數的識別情況，如表1所示。剛度識別誤差不超過2%，阻尼系數識別誤差基本在3%以內；第5層和第6層的非線性參數識別值近似為0，表明只有第1～第4層發生了非線性變形。

表1 子結構1剛度、阻尼系數及非線性參數識別情況Tab.1 Comparison of identified structural stiffness, damping coefficients and non-linear parameters of the substructure 1

2.2 子結構2

在地震作用下，剪切框架結構下部的剪切變形大于上部，較容易進入非線性。由子結構1的識別結果可知，非線性行為發生于底層1～4層，第5、第6層仍處于線性狀態，所以剪切框架的7～12層也為線性體，因此將子結構2作為線性結構識別，但本文提出的方法也同樣適用于結構下部和上部均發生非線性的情況。

根據式(4)，該子結構只受到在底部輸入的第6層絕對加速度引起的未知激勵。僅觀測第7、第8、第11層的絕對加速度，所有觀測數據均加上2%RMS水平的噪聲。可以看到，圖6中的未知激勵以及結構第9層與第8層的層間位移、第12層與第11層的層間速度識別值與真實值均符合好。

圖6 子結構2識別結果Fig.6 Identification results of the substructure 2

第8層和第12層剛度識別圖，分別如圖7(a)、圖7(b)所示，兩者識別誤差均很小且收斂速度很快。

圖7 第8層和第12層剛度的識別對比Fig.7 Comparison of the identified stiffness of the 8th and 12th floors

第9層和第10層阻尼系數的識別圖，分別如圖8(a)、圖8(b)所示，收斂速度較快，識別誤差分別為-2.03%和2.23%。

圖8 第9層和第10層阻尼系數的識別對比Fig.8 Comparison of the identified damping coefficients of the 9th and 10th floors

子結構2所有樓層的剛度和阻尼系數識別情況，如表2所示。剛度識別誤差均在3%以內，阻尼系數識別誤差均在7%以內，總體而言，剛度的識別誤差要小于阻尼系數。

表2 子結構2剛度和阻尼系數識別情況Tab.2 Comparison of identified structural stiffness and damping coefficients of the substructure 2

由算例結果可知，在僅觀測部分絕對響應的條件下，無需其他子結構和邊界處的觀測信息，可以獨立地識別每個子結構的參數、狀態及輸入，證明提出的子結構與GEKF-UI相結合的方法可有效應用于未知激勵及高層非線性結構的識別中。此外，本文采用的觀測數據在進行識別時沒有進行前處理，而是直接輸入所提方法框架中，由此可見所包含的噪聲水平已經能很好地驗證所提方法的魯棒性。

3 結 論

本文采用實際工程中直接采集的結構絕對響應部分觀測值，針對未知地震作用下的非線性剪切框架結構，提出子結構與GEKF-UI相結合的方法同時識別未知的地震激勵及系統狀態與參數，并通過數值算例驗證。主要得到了以下結論：

(1) 所提方法的運動方程均在相對坐標系下建立，避免了建立近似假設，且識別過程基于結構的絕對加速度響應的部分觀測量，符合實際要求。

(2) 重點分析了地震作用下剪切框架的三類子結構受力情況，針對第一、第二類子結構采用數據融合的方法防止識別結果的漂移，第三類子結構的識別僅需采用絕對加速度的部分響應即可。

(3) 提出的子結構與GEKF-UI相結合的方法避免了以往剪切型子結構識別過程的誤差累積，實現了獨立并行識別。非線性剪切框架的數值算例表明，在不需要觀測邊界處響應、各子結構觀測信息及識別結果不互相傳遞的情況下，結構的狀態、參數以及未知地震作用的識別值均與真實值符合較好。

值得指出的是，識別結果依賴于傳感器的位置以及個數，國內外一些學者已對傳感器優化布置問題做了較多研究，本文限于篇幅沒有對此討論。此外，本文所提方法只針對地震作用下的剪切框架結構進行了討論驗證，未來還需研究推廣至其他更為復雜結構的系統識別與未知激勵識別，也需開展試驗驗證工作。