分布與端部激勵下懸索瞬時相頻特性對比

孫測世， 李 聰， 鄧正科， 譚 超

(1. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074； 2. 湖南城市學(xué)院設(shè)計研究院有限公司，長沙 410005)

索結(jié)構(gòu)在超高壓輸電線、大型體育館及大跨徑橋梁中應(yīng)用廣泛，且多數(shù)結(jié)構(gòu)以多索形式共同承載[1]。索結(jié)構(gòu)是一種柔性結(jié)構(gòu)，極易在外激勵作用下，產(chǎn)生各種不同大幅振動，進(jìn)而引發(fā)一系列損壞[2-4]。其中大幅振動與索間相位差引起的碰撞問題隨著超高建筑、超大跨徑橋梁的發(fā)展愈加突出，全球的多座橋均發(fā)生過拉索碰撞事件[5-7]，給橋梁帶來非常大的危害。

大振幅[8]和相位差是索發(fā)生碰撞的根源，前者是幅頻特性的反映，后者是相頻特性的反映。索碰撞的必要條件是相頻特性差異，相頻特性是指響應(yīng)與激勵的相位差隨激勵頻率的變化。相關(guān)研究表明響應(yīng)與激勵的相位差與激勵頻率有關(guān)[9-10]，且在多模態(tài)下，結(jié)構(gòu)不同模態(tài)之間的相位差也受激勵頻率的影響[11]。目前，對相頻特性或相位差的關(guān)注已不少，如Rega等對橫向荷載作用下懸索的研究表明響應(yīng)滯后于激勵，其相位差與激勵頻率有關(guān)。Bossens等[12]進(jìn)行了大規(guī)模的主動控制模型試驗，他們給予懸索的主動端部振動與懸索索力的相位差也隨激勵頻率變化。Baicu等[13]對一端施加橫向激勵的水平懸索進(jìn)行試驗，發(fā)現(xiàn)其相頻曲線是一條具有一正一負(fù)兩個峰值的曲線。Zhao等[14]進(jìn)行考慮溫度作用下的懸索非線性振動研究，發(fā)現(xiàn)其調(diào)諧相位圖中存在多值。Kim等[15]的研究則表明施工過程中斜拉橋的最大懸臂端的豎向振動與斜拉索振動也有相位差存在。

可見，懸索相頻特性與激勵及其頻率密切相關(guān)。但上述研究中的相頻特性均指方程線性解中的相移值，當(dāng)激勵頻率不變時，該相移值為恒定常數(shù)。而在非線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)響應(yīng)不僅包含其線性項，還有多個高階近似項。當(dāng)高階項對響應(yīng)的影響較大時，將使得響應(yīng)相位隨時間呈周期變化[16]，即：系統(tǒng)某個瞬時的相位在逐漸變化。

分布激勵和端部激勵是兩種典型的激勵形式。為探明兩種激勵下懸索的瞬時相頻特性的異同，本文分別建立了面內(nèi)分布激勵和端部激勵作用下的懸索模型。采用多尺度法求解系統(tǒng)在不同參數(shù)下的響應(yīng)，利用Hilbert變換得到瞬時相位，進(jìn)一步對比分析響應(yīng)的激勵相位差幅值在λ2-Ω平面內(nèi)的分布規(guī)律。

1 力學(xué)模型

1.1 基本假定

懸索簡化模型,如圖1所示。研究懸索分別在分布激勵和端部激勵下非線性振動的相頻特性。假設(shè)分布與端部激勵的激勵頻率大小一致，考慮到精簡符都采用激勵頻率Ω。懸索模型中設(shè)分布激勵幅值為F；端部激勵面內(nèi)橫向激勵幅值為ub，豎向激勵幅值為vb，端部激勵的面內(nèi)橫向位移Ub(t)，豎向位移Vb(t)，取索長l和垂度d。考慮到懸索振動方向與端部激勵方向的一致性，此處僅需建立局部振動坐標(biāo)系o-xy(見圖 1)，其中：坐標(biāo)原點o為左端錨固點；x為懸索的索向坐標(biāo)；y為索面內(nèi)垂直索向下的坐標(biāo)。另外，各方向?qū)?yīng)位移分別用u，v表示。假設(shè)：①懸索的抗彎剛度足夠小以至于可以忽略不計；②懸索只承受拉力；③懸索在振動過程中的軸向應(yīng)變足夠小；④只考慮幾何非線性，不考慮其他非線性。

圖1 水平懸索動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of horizontal suspended cables

1.2 動力平衡方程

考慮懸索的幾何非線性及懸索兩端鉸接，基于Hamilton變分原理，考慮懸索的垂度，得到運動方程。在準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)下，忽略u軸向加速度和速度項，即不考慮軸向振動，其后考慮邊界條件得到位移u(x,t)[17]，對方程進(jìn)行約化可得到其面內(nèi)分布激勵非線性動力平衡方程[18]為

其中用到的無量綱變換如下(為書寫方便*已經(jīng)省略)

式中：“′”為對坐標(biāo)x求導(dǎo)；“·”為對時間t求導(dǎo)；m為拉索單位長度質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；H為拉索索力；E為彈性模量；A為截面積；y=4(d/l)x(1-x)為拉索靜態(tài)構(gòu)型。

同理，可得到其面內(nèi)端部激勵非線性動力平衡方程[19]為

其中

U(t)=ubcosΩt×cosθ-vbsinΩt×sinθ

式中，θ為拉索的傾角，但是因懸索中的傾角為0，式(2)可進(jìn)一步化簡只跟軸向激勵有關(guān)項，即

U(t)=ubcosΩt

1.3 離散化模型

1.3.1 分布激勵

分布激勵下振動模型如圖 1(a)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=0

在分布外激勵作用下，懸索振動位移被認(rèn)為是由純模態(tài)振動產(chǎn)生，因此令

(3)

式中：Φk為懸索第k階振動模態(tài)；qk為懸索面內(nèi)振動的第k個廣義時間坐標(biāo)。其第k階面內(nèi)正對稱和反對稱模態(tài)函數(shù)[20]為

(4)

式中，h為附加索力軸向分力。

利用Galerkin方法可得

其中

1.3.2 端部激勵

端部激勵下振動模型如圖 1(b)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=Vb(t)

端部激勵作用下，懸索振動位移被認(rèn)為是由純模態(tài)振動與靜位移產(chǎn)生，因此令

(6)

利用Galerkin方法進(jìn)行模態(tài)截斷得到

(7)

其中

Δ=2A(t)+L2(t),A(t)=U(t)=ubcosΩt，

2 攝動分析

2.1 分布激勵

基于多尺度法求得近似解并令其為

q(t,ε)=εq0(T0,T1,T2)+ε2q1(T0,T1,T2)+ε3q2(T0,T1,T2)

(8)

(9)

(10)

可解得式(8)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(11)

將式(11)代入式(9)，同時令長期項為零[21]

D1A=0

(12)

可解得

(13)

其中

將式(13)和式(11)代入式(10)得到關(guān)于q2的長期項

式(5)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(16)

2.2 端部激勵

同理采用多尺度法求解端部激勵下面內(nèi)振動微分方程。按照ε的冪次進(jìn)行整理，得面內(nèi)方程。

(17)

(18)

(19)

可解得式(17)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(20)

將式(20)代入式(18)，同時令長期項為零得到[22]

-2iωkD1A1+feiσT1=0

(21)

式中，f為與端部激勵相關(guān)的項

且得到高階近似項為

(22)

將式(20)和式(22)代入式(19)得到q2的長期項

(23)

同理，結(jié)合式(21)與式(23)，可得平均方程

式(7)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(25)

3 數(shù)值分析

為研究在漂移項及高階項存在的情況下懸索相頻特性，利用MATLAB軟件對懸索在分布激勵和端部激勵下進(jìn)行數(shù)值分析，取索參數(shù)如表1所示。

表1 索參數(shù)[23]Tab.1 Cable parameters

3.1 分布激勵

3.1.1 時程曲線

為使結(jié)果一般化，取無量綱分布激勵頻率Ω=1.0，激勵幅值F=0.01。參照以往理論的取值范圍，然后從小到大依次取索力為5 500 kN，6 500 kN，7 500 kN，8 500 kN和9 500 kN，相應(yīng)的垂跨比為0.013 1，0.011 1，0.009 6，0.008 5，0.007 6。為使結(jié)果更具有一般性和代表性，引進(jìn)與垂跨比相關(guān)的λ2參數(shù)。圖 2中給出與上述5組垂跨比對應(yīng)的λ2值5.07，3.91，3.07，2.68，2.00，并且繪畫出相關(guān)λ2值懸索的響應(yīng)時程曲線。

從圖 2(a)中可以看出在λ2為2.68，2.00時的響應(yīng)時程曲線比較接近，并且不難發(fā)現(xiàn)，圖 2中各λ2下時程曲線均存在向下漂移，這是因為近似解中的漂移項所引起的。對比圖 2(a)中各λ2下時程曲線線型，可明顯觀察到當(dāng)λ2=5.07和λ2=3.91時，時程曲線下波峰線形發(fā)生變化。圖 2(a)中λ2=2.68，λ2=2.00和λ2=5.07，λ2=3.91的曲線相比，后兩個λ2的曲線下波峰段較為平緩。在圖 2(b)λ2=3.07時響應(yīng)曲線線型變化更為明顯，時程曲線整體下移至負(fù)軸，下波峰段向上突起，這是因為這3個λ2參數(shù)下的二倍頻項對懸索振動響應(yīng)產(chǎn)生較大影響所致。

圖2 不同λ2下的時程曲線圖Fig.2 Time history curves for different λ2

當(dāng)時程曲線線型發(fā)生改變，瞬時相位也會受到影響。因二倍頻項在λ2=5.07和λ2=3.07下對懸索振動響應(yīng)產(chǎn)生不一致的影響，為進(jìn)一步分析原因，分別對其的響應(yīng)與激勵的時程曲線進(jìn)行Hilbert變換得到瞬時相位，再對同一時刻的響應(yīng)瞬時相位與激勵瞬時相位做差得到響應(yīng)與激勵的瞬時相位差值。考慮差值在[-π, π]變化，以無量綱時間為橫坐標(biāo)，瞬時相位差為縱坐標(biāo)，繪制出如圖 3所示瞬時相位差的時程曲線。

圖3 瞬時相位差時程曲線Fig.3 Instantaneous phase difference time histories curve

為求得響應(yīng)瞬時相位，且體現(xiàn)其一般性，定義無量綱參數(shù)為

(26)

式中，Δp為拉索響應(yīng)瞬時相位與激勵瞬時相位之差。

瞬時相位差時程曲線的周期與時程曲線的周期相同。由圖 3可知，響應(yīng)與激勵瞬時相位差隨著時間不再是一個定值，這是受近似解中二倍頻項與漂移項的影響。當(dāng)λ2=5.07時，瞬時相位差波動峰值僅為0.26，且變化波形較為平緩；當(dāng)λ2=3.91時，峰值接近0.96，即瞬時相位差值接近π，同時峰值附近瞬時相位差具有明顯突變。圖 3中的瞬時相位以原平衡位置為基準(zhǔn)，瞬時相位差較大值出現(xiàn)在上波峰處，由于漂移項的影響使得響應(yīng)與激勵的振動中線分離，從而進(jìn)一步導(dǎo)致瞬時相位差的增大。

通過求解空間點的運動軌跡來獲得懸索的運動情況，取圖 2中較為典型的3個不同的λ2參數(shù)，這3個參數(shù)具有較大的差距時程曲線，即對λ2=3.91，λ2=3.07和λ2=2.68的q(t)進(jìn)行Hilbert變換。通過繪制復(fù)平面圖和瞬時相位差幅值的時程曲線圖來分析激勵與響應(yīng)的瞬時相位差的變化特性以及最大瞬時相位差的原因，如圖 4所示。

圖4 復(fù)平面圖及瞬時相位時程圖Fig.4 Complex plane diagram and instantaneous phase time histories graph

對應(yīng)點隨著時間的變化繞著響應(yīng)曲線轉(zhuǎn)動，瞬時相位具有周期性。圖 4(a)為λ2=3.91的復(fù)平面圖及瞬時相位差時程曲線圖，由于響應(yīng)振動存在較大的漂移，從而使得響應(yīng)投影曲線向左移動，進(jìn)而引起瞬時相位差的產(chǎn)生。如圖 4(b)所示，當(dāng)λ2=3.07時復(fù)平面圖中響應(yīng)投影曲線左端出現(xiàn)小“圓環(huán)”，對應(yīng)著響應(yīng)時程曲線的下波峰，可見這是受二倍頻的影響，當(dāng)二倍頻系數(shù)越大，小“圓環(huán)”越明顯。同時響應(yīng)投影曲線向左平移至二三象限使得響應(yīng)與激勵的瞬時相位在右端點上產(chǎn)生較大的相位差，瞬時相位差時程曲線出現(xiàn)突變點。如圖 4(c)所示，當(dāng)λ2= 2.68時，最大瞬時相位差小于0.2π，可見此參數(shù)下響應(yīng)與激勵不會產(chǎn)生較大的瞬時相位差。

3.1.2 最大瞬時相位差的分布

為便于進(jìn)一步對p的幅值進(jìn)行研究，再定義一個新的無量綱參數(shù)

(27)

式中，Δpmax為懸索響應(yīng)瞬時相位與激勵相位之差Δp的幅值。后續(xù)分析中均考察pmax的分布規(guī)律用以討論不同參數(shù)下的懸索的瞬時相頻特性。

采用MATLAB軟件對懸索在分布激勵下的主共振響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析。通過改變懸索的λ2與激勵頻率Ω獲得對應(yīng)的時程數(shù)據(jù)，其中λ2變化范圍為1～6，間隔為1.0；激勵頻率Ω的變化范圍為0.90～1.35，間隔為0.01。對不同參數(shù)下的時程數(shù)據(jù)和激勵時程數(shù)據(jù)分別進(jìn)行Hilbert變換來得到兩者的瞬時相位差。

圖 5為分布激勵下最大相位差pmax在λ2-Ω平面內(nèi)分布的等高線圖。其中，圖 5(a)為λ2在1～6內(nèi)的整體圖像，圖 5(b)為λ2在2.81～3.37內(nèi)的局部放大圖，為保證圖像的準(zhǔn)確性，數(shù)值計算時對點進(jìn)行了加密計算。由整體圖可知，pmax在λ2≈3.0的狹小區(qū)間內(nèi)有突變，數(shù)值接近1，即相位差接近π；而在其他區(qū)間pmax數(shù)值均在0.5以下。由局部放大圖可知，等高線圖以λ2=3.06為界，其左右兩邊的pmax變化趨勢大致成反對稱分布。當(dāng)λ2<3.06時，同一λ2參數(shù)下pmax隨Ω增大而增大；而在λ2>3.06時，變化趨勢相反。另外，由局部放大圖還可看出，pmax接近1的區(qū)域會隨λ2和Ω的關(guān)系而變化，大致以Ω=-0.96λ2+4.06和λ2=3.06兩條直線的交點為中心(對應(yīng)Ω=1.12)，沿Ω=-0.96λ2+4.06逐漸變寬。

圖5 分布激勵下λ2-Ω平面內(nèi)的pmax等高線圖Fig.5 pmax contour map in λ2-Ω plane under external excitation

為更清楚的進(jìn)行對比，取Ω=0.95，1.10和1.25時pmax隨λ2參數(shù)的變化曲線繪于圖 6。由圖 6可知，3種激勵頻率Ω下Pmax在λ2=3.06附近時均突然增大，且其峰值隨Ω增大而往λ2負(fù)方向移動。

圖6 分布激勵作用下的pmax-λ2曲線Fig.6 pmax-λ2 curves under external excitation

3.2 端部激勵下的最大瞬時相位差

類似的，對端部激勵下的時程數(shù)據(jù)進(jìn)行Hilbert變換，得到最大瞬時相位差隨λ2及激勵頻率Ω的變化曲線圖，如圖 7所示。相比分布激勵，端部激勵下的pmax在λ2-Ω平面上的所有區(qū)域內(nèi)的數(shù)值均較小，其最大值僅約為0.3，且僅集中出現(xiàn)在λ2≈3.0且Ω≈1.12附近的很小區(qū)域內(nèi)。將λ2在2.59～3.39的區(qū)域加密再局部放大，得到右側(cè)的局部放大圖如圖 7(b)。可見，pmax≈0.3的區(qū)域很小。pmax的等高線圖變化趨勢也大致關(guān)于λ2=3.06呈反對稱分布。

圖7 端部激勵下λ2-Ω平面內(nèi)的pmax等高線圖Fig.7 pmax contour map in λ2-Ω plane under end excitation

圖 8為無量綱端部激勵頻率為1.00，1.12和1.27時的瞬時相位差幅值隨λ2參數(shù)的變化曲線。由圖 8可見，僅在激勵頻率Ω=1.12的pmax曲線出現(xiàn)突增，峰值接近0.3，其他激勵頻率下pmax數(shù)值變化較小，最大值不超過0.1。

圖8 端部激勵作用下的pmax-λ2曲線Fig.8 The pmax-λ2 curves under end excitation

3.3 對比分析

從以上pmax的等高線圖來看，無論分布激勵還是端部激勵，在λ2-Ω的參數(shù)平面內(nèi)，響應(yīng)與激勵的瞬時相位差幅值均會在λ2≈3.0附近某一個狹小的區(qū)域內(nèi)發(fā)生突變，且從局部看均存在反對稱分布規(guī)律。不同之處在于，分布激勵下pmax整體上大于端部激勵下的情形，前者最大值約為1，后者最大值僅為0.3；前者分布于λ2≈3.0的一個狹長的帶域附近，而后者分布在λ2≈3.0且Ω≈1.12的一個點域附近。另外，結(jié)合等高線圖和pmax-λ2曲線圖還可以看出，懸索受不同類型激勵作用時，激勵頻率變化對瞬時相位差產(chǎn)生的影響并不同。

從解析式表達(dá)式來看，分布激勵和端部激勵的近似解式(16)和式(25)的形式是一致的，導(dǎo)致兩者響應(yīng)及其相位差不同的原因是：分布激勵和端部激影響了長期項的形式，從而導(dǎo)致響應(yīng)幅值的變化。這可以由式(12)與式(21)看出，式(21)中多了與端部激勵相關(guān)的項feiσT1；同時，式(14)與式(23)對比，式(14)中多出0.5FeiσT1一項。因此，分離實、虛部后的方程不同。得到的頻率響應(yīng)方程式(15)和式(24)雖在結(jié)構(gòu)上類似，但右邊項不同，所以響應(yīng)振幅a不同，導(dǎo)致高階近似解的漂移項和二倍頻項不同，進(jìn)而出現(xiàn)不同的相頻特性。

3.4 討 論

(1)瞬時相頻特性本質(zhì)上是非線性效應(yīng)對系統(tǒng)固有頻率的調(diào)制作用，即：系統(tǒng)非線性固有頻率隨時間變化，因而響應(yīng)的頻率并非時時等于激勵頻率，體現(xiàn)為“瞬時”性和“周期”性。

(2)瞬時相頻特性對時間的一階導(dǎo)數(shù)，便是瞬時頻率，而后者與懸索瞬時索力間存在確定性關(guān)系。因此，兩種類型激勵下，懸索瞬時相頻特性pmax在λ2-Ω平面內(nèi)分布上的差異，可能對其動態(tài)最大索力的研究有借鑒意義，值得后續(xù)開展深入研究。

(3)由于瞬時相頻特性是各個時刻相位的真實反映，因此其也是研究斜拉橋等結(jié)構(gòu)中具有相近參數(shù)拉索間的相對運動的基礎(chǔ)。

4 結(jié) 論

(1)考慮高階近似項的影響后，響應(yīng)與激勵瞬時相位差不再是與時間無關(guān)的定值γ，而是隨時間成周期變化。

(2)瞬時相位差產(chǎn)生的原因，一是漂移項導(dǎo)致復(fù)平面偏移，從而影響瞬時相位差最大值；二是二倍頻的存在導(dǎo)致復(fù)平面曲線圈線形發(fā)生改變，從而影響瞬時相位變化規(guī)律。

(3)懸索在分布激勵與端部激勵作用下，響應(yīng)與激勵的瞬時相位差幅值pmax均會在λ2≈3.0且Ω≈1.12為中心的局部范圍內(nèi)突然增大，且近似在λ2-Ω平面內(nèi)呈反對稱分布。但是，前者突變的范圍呈現(xiàn)在λ2≈3.0的狹長帶域內(nèi)，而后者集中在該中心點附近。另外，量值上分布激勵下的pmax約為1，而端部激勵下僅為0.3。