具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構動力學行為研究

趙雨皓， 杜敬濤， 張樹奇， 劉 楊， 陳依林

(1. 哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院, 哈爾濱 150001; 2. 北京京能國際能源技術有限公司, 北京 100041)

軸向載荷梁作為一種基本單元廣泛應用于船舶軸系結構振動分析中，其中軸向載荷通常由動力設備引入。在工程中，軸向載荷梁結構在外部激勵下發生不利振動。為降低軸向載荷梁結構的過大振動，研究其動力學行為與振動控制方式就顯得尤為重要。

近年來，眾多學者采用傅里葉級數研究不同邊界條件下梁結構振動特性和動力學行為[1-7]。在船舶軸系振動分析中，支承軸承通常被簡化為旋轉、平動支撐剛度。傳統傅里葉級數由于其邊界不連續性難以應用于具有一般邊界軸系結構的振動特性分析中。為提高傅里葉級數的工程適用性，Li[8]提出邊界光滑傅立葉級數用于研究具有一般邊界約束的梁結構振動特性。在此基礎上，眾多學者采用光滑邊界傅里葉級數研究了彈性邊界約束梁結構的振動特性[9-11]?？紤]到工程中軸向載荷的存在，Xu[12-13]等利用邊界光滑傅里葉級數和能量原理建立具有一般邊界約束的軸向載荷梁結構的振動特性分析模型。

非線性能量阱作為一種有效的被動振動控制手段由Vakakis[14]提出。非線性能量阱具有輕質、寬頻以及能量靶向傳遞特性，自提出以來受到了國內外學者的廣泛關注。Georgiades等[15]研究了具有非線性能量阱的Euler-Bernoulli梁動力學行為。Samani等[16]通過最大振動幅值和耗能估計非線性能量阱的吸振性能。Ahmadabadi等[17-18]研究了具有非線性能量阱的懸臂梁結構非線性控制。Kani等[19-20]研究了具有非線性能量阱和經典邊界條件梁結構振動控制問題。Zhang等[21]研究了具有非線性能量阱的軸向運動梁結構振動控制，表明非線性能量阱對梁結構振動抑制具有良好的效果。Fang等[22]設計了一種單穩/雙穩非線性能量阱控制具有阻尼層懸臂梁結構的振動。李響[23]、王闖[24]和賀騰[25]分別采用解析與數值方法研究了非線性能量阱對梁結構的振動控制效果。魯正等[26]結合現有研究，綜述了非線性能量阱技術在振動控制中的應用與優勢。姚永玉等[27]分析了非線性能量阱對懸臂梁結構的振動抑制特性。Zhang等[28]研究了邊界非線性能量阱對梁結構自由、強迫響應的振動抑制效果。值得注意的是上述研究多是在特定邊界下開展，忽略梁結構邊界處旋轉約束，當邊界條件改變時，需對模型進行重新建立。此外，上述研究未考慮工程中常見的軸向載荷且未充分研究非線性能量阱對梁結構動力學響應、減振效果的影響規律。因此，建立具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構振動分析模型具有重要意義。

本文研究具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構動力學響應與減振特性規律。采用Galerkin截斷法(Galerkin truncation method，GTM)預報具有非線性能量阱的軸向載荷梁結構動力學響應。在Galerkin離散化過程中，具有線彈性邊界的軸向載荷Euler-Bernoulli梁結構的模態函數作為Galerkin截斷法的權函數和試函數。采用諧波平衡法(harmonic balance method,HBM)驗證Galerkin截斷法的計算結果。在上述基礎上，研究非線性能量阱對梁結構動力學響應、減振效果的影響。

1 理論模型

如圖1所示，考慮具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構橫向振動問題。在梁結構兩端引入約束彈簧對邊界條件進行模擬；kL與kR分別為左、右邊界平動剛度；KL與KR分別為左、右邊界旋轉剛度；CL與CR分別為左、右邊界黏性阻尼。梁結構模型為Euler-Bernoulli梁；E，L，ρ，I與S分別為其楊氏模量、長度、密度、慣性矩及截面積；P為作用在梁結構上的軸向載荷，其中拉力載荷為負，壓力載荷為正；F(x,t)為作用在梁結構上的外部激勵，在本文研究中，外部激勵為簡諧激勵力，其形式為F(x,t)=δ(x-xF)·F0sin(ωt)。其中xF為外部激勵作用位置，F0為外部激勵幅值。非線性能量阱由黏性阻尼CNES，質量mNES與非線性剛度knNES組成。本文考慮具有慣性效應的非線性能量阱，非線性能量阱的有效慣性質量(bN)為慣性系數(bc)與非線性能量阱質量(mNES)的乘積。u(x,t)與uNES分別為梁結構的橫向振動位移與非線性能量阱的振動位移。

圖1 具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構振動分析模型Fig.1 Vibration analysis model of an axially loaded beam structure with a nonlinear energy sink and elastic boundary restraints

根據牛頓第二定律推導梁結構、非線性能量阱的動力學控制方程與振動系統邊界條件。梁結構左端點邊界條件為

(1)

(2)

右端邊界條件為

(3)

(4)

式(5)為非線性能量阱的動力學控制方程；式(6)為梁結構動力學控制方程。

knNES[uNES-u(xNES)]3=0

(5)

本文采用Galerkin截斷法預報具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構的動力學特性。在Galerkin截斷法中，選取一組滿足邊界條件的函數作為權函數與試函數，實現梁結構系統動力學控制方程的離散?？紤]到邊界阻尼的存在，通過狄利克雷函數將邊界阻尼引入梁結構動力學控制方程中此時邊界條件與梁結構動力學控制方程被改寫為式(7)、式(8)與式(9)。由式(7)與式(8)可知，梁結構振動系統具有線彈性邊界條件，因此具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結構系統的模態函數被選取為Galerkin截斷法中的權函數與試函數。

2 Galerkin截斷法與求解

在本文分析中，根據模態疊加原理，梁結構振動系統的橫向振動位移展開為如下形式

(10)

式中：φi(x)為具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結構振動系統的第i階模態函數；N為截斷數；具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結構振動系統的模態函數通過邊界光滑傅里葉級數與能量法求解得到。

在上述基礎上，將式(10)代入式(5)，得到非線性能量阱動力學方程的具體表達形式，如式(11)所示。將式(10)代入式(9)，并對其進行Galerkin離散，得到梁結構振動系統的殘差方程，其中第m階殘差方程的形式如式(12)所示。

(11)

(12)

將梁結構振動系統的第m階殘差方程簡化為如下形式

Rm1+Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9=0

(13)

式(13)中各項的具體形式為

(14)

(15)

(16)

(17)

Rm5=ψm(xF)F0sin(ωt)

(18)

(19)

(20)

(22)

將式(13)中的加速度項移至等式的另一側，式(13)改寫為

Rm1=-(Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9)

(23)

根據式(14)，Rm1可以展開為

(24)

在上述基礎上，將梁結構振動系統的殘差方程整理為矩陣的形式，即

(25)

將式(11)與式(25)整理為標準矩陣形式，即

(26)

式中，RNES的具體表達式為

(27)

式(26)可通過4階龍格-庫塔算法直接求解，將求解結果代入式(10)即可得到具有非線性能量阱與彈性邊界約束的軸向載荷梁結構振動系統任意點的動力學響應。

3 數值結果與分析

按照上述理論推導，對具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構振動系統進行編程仿真。首先驗證本文模型在預報梁結構振動系統動力學響應時的準確性和可靠性。在此基礎上，研究非線性能量阱參數對梁結構振動系統減振、動力學特性的影響規律。

3.1 模型驗證

本節采用Galerkin截斷法預報具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構的動力學響應。采用諧波平衡法所得到的梁結構動力學響應與Galerkin截斷法所得結果進行對比，驗證本文模型的正確性。在此基礎上，研究截斷數對Galerkin截斷法所得結果的影響。表1列出了梁結構材料參數、幾何參數與邊界約束彈簧剛度值。表2給出了非線性能量阱的參數值。外部激勵幅值F0=10 N，外部激勵位置xF=0。

表1 梁結構材料、幾何與邊界參數值Tab.1 Material, geometric and boundary parameters of beam structure

表2 非線性能量阱參數值Tab.2 Parameters of the nonlinear energy sink

首先驗證基于Galerkin截斷法所構建模型的正確性。Galerkin截斷法的計算參數取為N=M=2。為消除瞬態響應，選取0～420Te為計算域，其中Te為簡諧外激勵作用周期。選取400～420Te的結果作為穩態周期結果。4階龍格-庫塔算法的初始值取為

(28)

圖1為采用諧波平衡法與Galerkin截斷法得到的具有非線性能量阱與梁結構振動系統端點處的動力學響應。由圖1可知，兩種方法所得結果吻合良好，驗證了Galerkin截斷法在求解本文模型時的正確性。

圖2 梁結構穩態幅頻響應曲線Fig.2 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure

圖3給出當截斷數分別為2，4和6時梁結構的穩態幅頻響應曲線。由圖3可知，當截斷數為4和6時，梁結構的動力學響應結果已經收斂。因此，在后續研究中，選取Galerkin截斷法的截斷數為N=M=4。

圖3 不同截斷數下梁結構穩態幅頻響應曲線Fig.3 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure with different truncated terms

3.2 非線性能量阱與激勵位置對梁結構振動行為的影響

本節研究非線性能量阱以及激勵位置對梁結構振動行為的影響。梁結構邊界條件取值為kL=50 000 N/m,kR=500 N/m,KL=10 000 Nm/rad,KR=100 Nm/rad,CL=CR=0。梁結構參數、外部激勵參數與3.1節中相同。

首先研究非線性能量阱參數對梁結構動力學響應的影響。圖4研究非線性能量阱對梁結構端點處穩態響應的振動抑制效果。非線性能量阱參數取值為kNES=1×109N/m,CNES=1×10 Ns/m,mNES=0.001 kg,xNES=0.2 m。由圖4可知，非線性能量阱的存在能夠有效抑制梁結構在第2階、第3階主共振區振動。在第2階主共振區處非線性能量阱對左、右端點的吸振效果分別為41.9 %與46.3%；在第3階主共振區處非線性能量阱對左、右端點的吸振效果分別為66.0%與65.9%。

圖4 knNES=1×109 N/m3時梁結構兩端穩態響應的減振效果Fig.4 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×109 N/m3

圖5研究了當knNES=1×1010N/m時，非線性能量阱對梁結構端點處穩態響應的減振效果。其他參數與本節前述部分一致。由圖5可知，此時非線性能量阱對梁結構振動系統端點處的吸振效果較knNES=1×109N/m時增強，但在第2階主共振區處出現復雜動力學行為。上述現象說明非線性能量阱對梁結構端點處的振動狀態影響顯著。為深刻揭示非線性能量阱對梁結構動力學響應的影響規律，提高梁結構的減振效果，研究其非線性剛度、阻尼以及位置對梁結構動力學響應的影響規律就顯得尤為重要。此外，根據工程經驗，外部激勵位置亦對梁結構的動力學響應具有顯著影響。因此，在本節后續研究中，研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵位置對梁結構動力學響應的影響規律。

圖5 knNES=1×1010 N/m3時梁結構兩端穩態響應的減振效果Fig.5 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×1010 N/m3

圖6研究非線性剛度對系統端點處動力學響應的影響。非線性剛度由1×108N/m3變化至1×1012N/m3。外部簡諧激勵頻率為48 Hz。其他參數與本節前述部分相同。由圖6可知，幅值-非線性剛度響應曲線存在兩個不穩定區，在不穩定區內系統呈現復雜的動力學行為。在一定范圍內增加非線性能量阱的非線性剛度對系統的減振具有有益的影響。

圖6 梁結構兩端幅值-非線性剛度響應曲線Fig.6 Amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of beam structure

圖7分析了非線性能量阱阻尼變化對系統端點處動力學響應的影響。非線性能量阱的剛度取為1.5×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由9 Ns/m變化至25 Ns/m。外部簡諧激勵頻率為48 Hz。其他參數與本節前述部分相同。由圖7可知，當非線性能量阱阻尼較小時，幅值-阻尼響應曲線存在一個不穩定區，在不穩定區內梁結構呈現復雜的動力學行為。增加非線性能量阱的阻尼能夠抑制梁結構的復雜動力學行為且對端點處減振具有有益的效果。

圖7 梁結構兩端幅值-阻尼響應曲線Fig.7 Amplitude-damping response curves at both ends of beam structure

圖8研究非線性能量阱位置變化對梁結構端點處動力學響應的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。非線性能量阱位置由0.1 m變化至0.9 m。外部簡諧激勵頻率為48 Hz。其他參數與本節前述部分相同。由圖8可知，當非線性能量阱靠近較硬側邊界時，幅值-NES位置響應曲線呈現穩態單周期狀態。當非線性能量阱靠近較軟側邊界時，幅值-NES位置響應曲線出現一個不穩定區。在不穩定區內梁結構呈現復雜的動力學行為。合理的布置非線性能量阱的位置能夠避免梁結構出現復雜的動力學行為且對端點處的減振具有有益的效果。

圖8 梁結構兩端幅值-NES位置響應曲線Fig.8 Amplitude-NES-position response curves at both ends of beam structure

圖9研究激勵位置變化對梁結構振動系統端點處動力學響應的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。外部簡諧激勵位置由0變化至1 m，外部簡諧激勵頻率為48 Hz。其他參數與本節前述部分相同。由圖9可知，幅值-激勵位置響應曲線存在3個不穩定區，在不穩定區內梁結構呈現復雜的動力學行為。合理的布置外部激勵位置能夠有效抑制梁結構的復雜動力學行為且對其端點處的減振具有有益的效果。

綜上所述，合適的非線性能量阱參數能夠有效抑制梁結構端點處第2階、第3階主共振區的振動。在一定條件下，非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵位置均能夠顯著改變梁結構的動力學響應特性。

3.3 非線性能量阱對梁結構端點處減振率的影響

在工程中，梁結構受到的外部簡諧激勵通常由動力設備引入。當動力設備、梁結構安裝完成后其位置難以變更。梁結構所受的外部簡諧激勵位置亦難以變化。特別的，在船舶工程中，船舶軸系往往被簡化為軸向載荷梁結構進行振動特性分析，其所受的外部簡諧激勵通常作用于軸系結構端部。此外，非線性能量阱的布置通常取決于結構的剩余空間且非線性能量阱的質量調節范圍有限。綜合考慮工程實踐，本節研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對梁結構減振率的影響。在本節計算中，梁結構參數、外部激勵幅值、外部激勵位置以及非線性能量阱質量、位置參數與3.2節中相同。外部激勵頻率選取為12 Hz，46.4 Hz，103.8 Hz，分別對應于線性系統的前3階固有頻率。定義梁結構左、右端點處的減振率為

(29)

(30)

式中，uW(·)為無非線性能量阱時具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結構振動系統的橫向振動位移。

圖10研究當外部激勵頻率為12 Hz時非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響。非線性能量阱非線性剛度由1×107N/m3變化至1×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由10 Ns/m變化至200 Ns/m。由圖10可知，12 Hz下梁結構端點處的減振率隨著非線性能量阱的非線性剛度、阻尼的變化在小范圍內波動。非線性剛度、阻尼的變化對梁結構振動系統較軟側邊界處的減振率微弱。對于外部激勵為12 Hz的情況，改變非線性能量阱的非線性剛度與阻尼對梁結構端點處減振率的提升效果有限。

圖10 12 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響Fig.10 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 12 Hz

圖11研究外部激勵頻率為46.4 Hz時非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響。由圖11可知，46.4 Hz下梁結構端點處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠提高梁結構振動系統端點處的減振率。非線性能量阱的非線性剛度對梁結構端點處減振率的影響存在剛度敏感區。在剛度敏感區內增加非線性剛度能夠顯著增加梁結構端點處的減振率。對于本節所研究的梁結構參數而言，其非線性剛度敏感區為1×109N/m3至1×1010N/m3。非線性能量阱的阻尼對梁結構端點處減振率的影響存在臨界值。當阻尼超過臨界值時，梁結構端點處的減振率顯著提高。

圖11 46.4 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響Fig.11 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 46.4 Hz

圖12研究外部激勵頻率為103.8 Hz時非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響。由圖12可知，103.8 Hz下梁結構端點處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠顯著提高梁結構振動系統端點處的減振率，其最佳減振效果能達到90%以上。與圖11的分析類似，非線性能量阱的非線性剛度對梁結構端點處減振率的影響存在敏感區。在剛度敏感區內增加非線性剛度能夠顯著增加梁結構端點處的減振率。非線性能量阱的阻尼對梁結構端點處減振率的影響存在臨界值。當阻尼超過臨界值時，梁結構端點處的減振率顯著提高。值得一提的是，103.8 Hz外激勵頻率下的非線性剛度敏感區、阻尼臨界值與46.4 Hz外激勵頻率下的非線性剛度敏感區、阻尼臨界值重合。

圖12 103.8 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結構端點處減振率的影響Fig.12 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 103.8 Hz

綜上所述，當激勵頻率為線性系統第1階固有頻率時，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結構端點處隔振率的影響微弱。當激勵頻率為線性系統第2、第3階固有頻率時，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結構端點處隔振率的影響顯著。在其他條件一定時，合適的非線性剛度與阻尼的組合能夠顯著提高梁結構振動系統端點處的減振率。在工程中，對于軸向載荷梁結構，在進行非線性能量阱的非線性剛度、阻尼進行優化時，首先應確定被控對象受到的外部激勵頻率。之后，研究非線性能量阱非線性剛度的剛度敏感區與阻尼臨界值。在上述基礎上，選取與被控對象振動特性匹配的非線性剛度與阻尼參數，實現軸向載荷梁結構的振動控制。

4 結 論

本文建立了具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構動力學預報分析模型。利用Galerkin截斷法求解梁結構動力學響應，并與諧波平衡法所得結果進行對比，驗證了本文方法的正確性，探討了Galerkin截斷數對結果穩定性的影響。在此基礎上，研究了非線性能量阱參數與激勵位置對梁結構動力學響應、減振效果的影響規律。主要結論如下：

(1)基于Galerkin截斷法所構建模型能夠準確預報具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結構動力學響應，當截斷數為4時梁結構動力學響應趨于收斂。

(2)非線性能量阱的引入能夠有效抑制梁結構兩端頻率響應曲線第2、第3階主共振區內的振動。

(3)非線性能量阱參數及激勵位置對梁結構振動狀態影響顯著。非線性能量阱非線性剛度在一定范圍內使得梁結構端點處呈現復雜動力學行為；非線性能量阱阻尼增加能夠有效抑制梁結構的復雜動力學行為，并對梁結構減振具有有益作用；合理的布置非線性能量阱的位置以及外部激勵位置能夠避免梁結構出現復雜的動力學行為且對梁結構端點處的減振具有有益的效果。

(4)當激勵頻率為線性系統第2階、第3階固有頻率時，非線性能量阱剛度、阻尼參數的增加可以改善梁結構端點處的減振率；合適的非線性剛度、阻尼參數能夠顯著提高梁結構端點處的減振率。