基于H2范數的彈性基礎上接地負剛度動力吸振最優參數研究

劉 冬， 蘇智偉,2， 鄭智偉， 楊 詠， 張嘯涵， 李 楊， 黃修長,

(1. 上海交通大學 先進技術與裝備研究院 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240； 2. 五邑大學 智能制造學部，廣東 江門 529020; 3. 船海特裝和動力系統國家工程中心，上海 200240)

將負剛度單元引入系統并經合理匹配設計后，振動系統能具有固有頻率低、隔振帶寬寬、隔振效果好等優點。接地負剛度動力吸振技術是其中之一。接地負剛度動力吸振最早由Antoniadis等[1-2]于2015年提出，即在常規吸振器的吸振子與地基之間引入一個負剛度單元。相比于常規動力吸振，接地負剛度動力吸振經合理的參數優化匹配后，可在不需要較大吸振質量的前提下，在特定頻段內實現無諧振峰寬頻帶振動控制，有效解決常規動力吸振的振動控制效果與吸振質量間的矛盾。

國內外學者對接地負剛度動力吸振的最優參數開展了相關研究。Shen等[3-4]提出了多種接地負剛度動力吸振形式，采用數值方法或解析法獲得了最優阻尼比和最優頻率比等參數。研究結果表明，相比于常規動力吸振器，接地負剛度動力吸振器在簡諧激勵和隨機激勵下對主系統位移傳遞率的控制效果均表現得更加良好。Zhou等[5]針對兩種構型的接地負剛度動力吸振，利用不動點法和穩定性最大準則分別推導了系統的最優參數，并結合穩定性條件給出了負剛度值的取值范圍。Li等[6]將負剛度動力吸振與慣容單元相結合，提出了新形式的動力吸振模型，并推導了模型的封閉解，結果表明慣容單元和負剛度單元在系統中均發揮了放大質量效應。為進一步降低低頻段內共振峰的幅值，代晗等[7]將時滯反饋控制引入接地負剛度動力吸振，并進行了等峰參數優化。陳杰等[8]利用慣容負剛度動力吸振器抑制梁的橫向振動，推導了最優系統參數，并討論了質量比對系統最優參數的影響。

國內外學者針對工程實際中的接地負剛度開展了動力學建模。Zhou等[9]將接地負剛度動力吸振應用于浮置板軌道減振，建立了浮置板軌道的有限元模型，利用接地負剛度動力吸振對浮置板的一階彎曲模態進行控制。Liu等[10]采用接地負剛度動力吸振來降低壓載軌道的振動與聲輻射，計算結果表明相比于常規動力吸振器，采用接地負剛度動力吸振能有效提高軌道的振動能量和聲輻射衰減。Kapasakalis等[11]將接地負剛度動力吸振應用于風機的減振，仿真結果表明其能顯著增加系統的有效阻尼，降低風載作用下風機的動力學響應。Lin等[12]基于接地負剛度動力吸振提出了一種新形式的力學超材料構型，用于指導設計地震隔震系統。Sapountzakis等[13]開展了接地負剛度動力吸振用于地震波激勵下橋梁結構的抗震分析，分析過程中考慮了橋墩的貢獻，結論表明基于接地負剛度動力吸振的減震方案在理論上能有效替代傳統的橋梁隔震支座。

以上關于接地負剛度動力吸振的研究集中在理論建模獲取最優參數以及簡單模型應用方面，理論建模時考慮接地負剛度動力吸振在剛性基礎上的情況。而實際工程中往往是彈性基礎，彈性基礎與主系統的耦合會改變主系統固有特性，以及接地負剛度動力吸振的動力學特性，使得基于剛性基礎得到的最優參數不再適用。本文針對實際工程中常常出現的彈性基礎，基于H2范數推導了接地負剛度動力吸振的最優參數。

1 動力學建模及最優參數推導

1.1 彈性基礎接地負剛度動力吸振動力學模型

彈性基礎上的接地負剛度動力吸振系統動力學模型可表示一個三自由度系統，如圖1所示。Mp和kp為彈性基礎的等效模態質量和等效模態剛度。MA為主系統質量；ks為主系統剛度；m，ke和c分別為Voigt型動力吸振器的質量、剛度和阻尼；kn為負剛度元件的負剛度(假設kn不隨頻率和相對位移幅值變化)；F為施加在主系統質量MA上的外激勵力；FT為傳遞到彈性基礎的力；x和y分別為MA和m的位移響應；z為彈性基礎質量相對地面的位移響應。

圖1 考慮彈性基礎的接地負剛度動力吸振動力學模型Fig.1 Dynamic modelling of DVA with negative stiffness considering flexible foundation

對圖1所示模型建立運動微分方程

(1)

引入負剛度比p、吸振質量比μ、基礎質量比μp、吸振頻率比ν、基礎頻率比νp以及阻尼比ξ等無量綱參數

假設系統的穩態響應為[x,y,z]T=[X,Y,Z]Tejωt，代入運動微分方程，可求得X,Y,Z的響應表達式為

(3)

定義到基礎的力傳遞率為傳遞至基礎的作用力與主系統外激勵力的比值

(4)

Γ=λ4μ-λ2μ2v2-λ2μv2-μμpλ6+λ4μ2v2μp+λ4μv2μp+

1.2 基于H2范數優化準則的參數優化

對于彈性基礎上的動力吸振最優參數問題，由于基礎的阻抗為頻率的函數，與主系統相關的不動點處的幅值不再和頻率無關，此時無法采取常規不動點法對主系統進行動力吸振匹配設計。以力傳遞率的H2范數最小為優化目標，可得彈性基礎上接地負剛度動力吸振的最優參數。力傳遞率T的H2范數可定義為

(6)

(7)

將無量綱力傳遞率表達式代入可得

(8)

利用留數定理，可將積分表達式化簡為多項式表達式(系數a0～a4，b1～b5及后續推導過程可詳見附錄A)，如式(19)所示

(9)

為得到彈性基礎負剛度動力吸振的最優頻率比vopt和最優阻尼比ξopt，令式(9)分別對v和ξ的偏導等于0，得到最優頻率比vopt和最優阻尼比ξopt的表達式

(11)

(12)

(13)

可見，以控制外激勵到基礎的力傳遞率為目標，接地負剛度動力吸振的最優阻尼比和最優頻率比僅與吸振質量比μ和基礎剛度比np有關，與基礎質量比無關。

1.3 穩定性分析

對于彈性基礎上的接地負剛度動力吸振，由于負剛度單元的存在，系統存在穩定性問題。采取剛性基礎中穩定性分析的方法，根據Routh-Hurwitz判據來進行判別。當系統所有極點均處于復平面左側時(具有負實部)，系統穩定。將力傳遞率的分母多項式改寫為

D(s)=q0s6+q1s5+q2s4+q3s3+q4s2+q5s+q6,s=jλ

(15)

其中

q0=μμp,

q1=2μ(μ+1)vξμp,

(16)

結合Routh-Hurwitz判據，以及式中根號內表達式大于0的條件，經推導得到的系統穩定性條件如下

(17)

將多個關于p的不等式取交集，可得關于負剛度比p的穩定性條件為

(18)

可見當優化目標為傳遞到基礎的力傳遞率時，關于負剛度比p的穩定性條件僅與吸振質量比μ有關，與基礎的特性無關。

2 參數影響規律分析

圖2(a)和圖2(b)分別給出了μ=0.01，p=-0.02時最優頻率比vopt和最優阻尼比ξopt隨基礎剛度比np的變化規律。可見，接地負剛度動力吸振的最優頻率比隨著基礎剛度比的增加而增加，最優阻尼比隨著基礎剛度比的增加而減小。接地負剛度動力吸振的最優吸振剛度要大于Voigt型動力吸振的最優吸振剛度，而當基礎剛度比040時，接地負剛度動力吸振的最優阻尼略大于Voigt型動力吸振。隨著基礎剛度比的進一步增加，最優參數基本保持不變，且接近剛性基礎情況下通過固定點法推導得到的最優參數。這是由于基礎剛度比越大，基礎越接近與剛性，此時彈性基礎對主系統的影響近似可忽略。圖2(c)和圖2(d)分別給出了μ=0.1，p=-0.1時最優頻率比vopt和最優阻尼比ξopt隨基礎剛度比np的變化規律。可見，當質量比和負剛度比絕對值較大時，最優參數隨著基礎剛度比的變化規律保持不變。與此同時，當基礎剛度比較小時，負剛度動力吸振的最優參數的數值變化范圍要遠小于Voigt型動力吸振，說明接地負剛度動力吸振的最優參數對彈性基礎的變化更不敏感，因此更適用于不同場合。

圖2 最優參數隨基礎剛度比的變化規律Fig.2 Optimal parameters of vopt and ξopt with varying np

為對比彈性基礎上接地負剛度動力吸振的振動控制效果，圖3給出了接地負剛度動力吸振和Voigt型動力吸振在最優參數下的H2范數優化的目標函數Ia的對比，其中Ia表征著整個頻段內振動總能量。圖3中橫坐標為基礎和主系統的剛度比np，縱坐標為Ia/Ia_nodva(定義為Ia幅值下降相對量)，即控制后和控制前目標函數Ia的比值。對比圖3(a)、圖3(b)兩圖可知，增大吸振質量比和負剛度比絕對值，能增強Voigt型動力吸振和接地負剛度動力吸振的振動抑制效果。不同負剛度比和質量比情況下，接地負剛度動力吸振的振動抑制效果要遠優于Voigt型動力吸振，且負剛度動力吸振對應的幅值下降相對量幾乎不受基礎剛度比變化的影響。這說明當考慮彈性基礎時，接地負剛度動力吸振在最優參數下的振動抑制效果對基礎剛度比的變化不敏感。當基礎的狀態發生較大改變時，接地負剛度動力吸振仍可實現極佳的振動抑制效果。Voigt型動力吸振在0

圖3 最優參數下目標函數Ia隨基礎剛度比的變化規律Fig.3 Performance index Ia under optimal parameters with varying np

盡管給定質量比μ、負剛度比p時，最優參數下的目標函數Ia值僅與基礎剛度比np有關，但對于本文的控制目標，即彈性基礎上外激勵到基礎的力傳遞率，依然同時取決于基礎質量比μp和基礎頻率比vp。為進一步驗證在考慮不同基礎質量比和頻率比時，基于H2范數最小推導得到的最優參數是否依然成立，并綜合分析基礎的動力學特性對力遞率特性的影響，圖4～圖6給出了不同基礎質量比和頻率比下的力傳遞率幅頻曲線，并將結果與推導得到的Voigt型動力吸振最優參數下的結果進行了對比。

圖4給出了基礎質量比μp=10，基礎頻率比vp=2時的力傳遞率曲線，此時基礎剛度比np=40。這組參數下基礎的固有頻率遠離主系統固有頻率(λ1=0.98，λ2=2.02)，兩個系統耦合小。當質量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.980和0.093，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為1.721和0.097；當質量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.920和0.172，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為1.349和0.228；由于兩個系統耦合小，因此傳遞率的結果和剛性基礎的結果類似，接地負剛度動力吸振在最優參數下能大幅降低主系統共振區域的振幅，且拓寬了吸振帶寬，有著近似無諧振峰的控制效果。且接地負剛度動力吸振的性能對吸振質量不敏感，當吸振質量比較小時，接地負剛度動力吸振相較于Voigt型動力吸振的優勢更加明顯。

圖4 μp=10, vp=2時，最優參數下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.4 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=10, vp=2

圖5給出了當基礎質量比μp=5，基礎頻率比vp=1時的力傳遞率曲線，此時基礎剛度比np=5。這組參數下基礎的固有頻率與主系統固有頻率相同，兩個系統耦合強。當質量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.906和0.229，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為1.682和0.145；當質量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.850和0.275，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為1.313和0.259。由于基礎和主系統的固有頻率相同，對應耦合系統的兩個固有頻率均離主系統固有頻率較遠(λ1=0.79，λ2=1.24)。此時Voigt型動力吸振的控制效果有限，力傳遞率曲線未出現明顯的雙峰特征，但接地負剛度動力吸振依然有著較好的振動抑制效果，且隨著質量比和負剛度比的絕對值增加，抑振能力增加。當質量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，在主系統共振段依然體現出了近似無諧振峰的特征，同時在基礎共振頻段內也有著較好的控制效果。

圖5 μp=5,vp=1時，最優參數下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.5 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=5,vp=1

圖6給出了基礎質量比μp=0.5，基礎頻率比vp=0.8時的力傳遞率曲線，此時基礎剛度比np=0.32。這組參數下基礎剛度小于主系統剛度，且基礎質量小于主系統質量。由于基礎和主系統串聯，耦合系統的動力學特性主要取決于小剛度系統，即彈性基礎對耦合系統的力傳遞率特性有較大影響。當質量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.488和0.887，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為2.093和0.218；當質量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為0.458和0.917，接地負剛度動力吸振的最優頻率比和最優阻尼比分別為1.140和0.402；此時，在基礎的質量和剛度均小于主系統時，Voigt型動力吸振在所給的兩種吸振質量比情況下均幾乎已無控制效果，接地負剛度動力吸振雖控制效果略有所折扣，但依然能同時有效降低耦合系統兩個共振頻段的峰值。綜合圖4～圖6的結果可知，基于H2范數優化準則得到的彈性基礎上接地負剛度動力吸振的最優參數，在考慮不同基礎力學特性時均能有效抑制主系統共振段幅值。

圖6 μp =0.5, vp=0.8時，最優參數下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.6 Comparison of the force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp =0.5, vp=0.8

圖7 不同基礎質量比和剛度比下隨機激勵傳遞力時間歷程對比Fig.7 Comparison of the time history of transmitted force between DVAGNS and Voigt type DVA under different characterisitcs of the flexible foundation

3 結 論

采取H2范數優化準則對彈性基礎上的接地負剛度動力吸振器進行了參數優化，獲得了其最優參數解析表示式。開展了參數影響規律分析，在簡諧激勵和隨機激勵下驗證了接地負剛度動力吸振器的吸振性能。得到以下結論：

(1)考慮彈性基礎時，以控制外激勵到基礎的力傳遞率為目標時，通過H2范數優化準則得到的彈性基礎上的接地負剛度動力吸振最優參數僅取決于吸振質量比和基礎與主系統的剛度比，而與基礎的質量比無關。

(2)考慮彈性基礎時，最優參數下接地負剛度動力吸振同樣能以小質量比的代價在主系統共振頻段和基礎共振頻段內實現較好的振動傳遞控制效果。且當基礎與主系統耦合強時，接地負剛度動力吸振依然能實現有效控制，但此時Voigt動力吸振已基本失效。

附錄A最優參數推導過程

正文中式(8)分子分母的系數如下

a0=1,

b1=2(μ+1)vξ,

(A.1)

為保證系統的穩定性，b1～b6應均為非負值。式(8)的分母可改寫為

IaDen=(λ+jλ1)(λ+jλ2)(λ+jλ3)(λ+jλ4)(λ+jλ5)(λ+jλ6)·

(λ-jλ1)(λ-jλ2)(λ-jλ3)(λ-jλ4)(λ-jλ5)(λ-jλ6)

(A.2)

不妨假設駐點λ1～λ6均為正。將式(A.2)展開，并與式(A.1)對比可得

b1=λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6，

b2=λ1λ2+λ1λ3+λ1λ4+λ1λ5+λ1λ6+λ2λ3+λ2λ4+λ2λ5+

λ2λ6+λ3λ4+λ3λ5+λ3λ6+λ4λ5+λ4λ6+λ5λ6，

b3=λ1λ2λ3+λ1λ2λ4+λ1λ2λ5+λ1λ2λ6+λ1λ3λ4+λ1λ3λ5+λ1λ3λ6+λ1λ4λ5+λ1λ4λ6+λ1λ5λ6+λ2λ3λ4+λ2λ3λ5+λ2λ3λ6+λ2λ4λ5+λ2λ4λ6+λ2λ5λ6+λ3λ4λ5+λ3λ4λ6+λ3λ5λ6+λ4λ5λ6,

b4=λ1λ2λ3λ4+λ1λ2λ3λ5+λ1λ2λ3λ6+λ1λ2λ4λ5+λ1λ2λ4λ6+

λ1λ2λ5λ6+λ1λ3λ4λ5+λ1λ3λ4λ6+λ1λ3λ5λ6+λ1λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5+λ2λ3λ4λ6+λ2λ3λ5λ6+λ2λ4λ5λ6+λ3λ4λ5λ6,

b5=λ1λ2λ3λ4λ5+λ1λ2λ3λ4λ6+λ1λ2λ3λ5λ6+λ1λ2λ4λ5λ6+

λ1λ3λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5λ6,

b6=λ1λ2λ3λ4λ5λ6

(A.3)

式(A.2)存在12個極點，即式(A.2)等于0時λ所取的值。復平面上半平面存在6個孤立奇點(滿足b1,b2,b3,b4,b5,b6>0的情況下)

λ=iλ1,iλ2,iλ3,iλ4,iλ5,iλ6

(A.4)

由留數定理可求無窮積分

(A.5)

各個極點的留數為

Res[fn;iλ1]=(λ-iλ1)fn(iλ1)=

Res[fn;iλ2]=(λ-iλ2)fn(iλ2)=

Res[fn;iλ3]=(λ-iλ3)fn(iλ3)=

Res[fn;iλ4]=(λ-iλ4)fn(iλ4)=

Res[fn;iλ5]=(λ-iλ5)fn(iλ5)=

Res[fn;iλ6]=(λ-iλ6)fn(iλ6)=

(A.6)

將式(A.6)代入式(A.5)可求得無窮積分

(A.7)

其中

將式(A.3)與式(A.1)代入式(A.7)，目標函數表達式(9)中的分子和分母可以表示為

式(9)分別對v和ξ求偏導等于0，即

(A.8)

可得出如下方程組

(A.9)

求解方程組(A.9)，可得彈性基礎上接地負剛度動力吸振的最優頻率比vopt和最優阻尼比ξopt的解析表達式，如式(10)、式(11)所示。