類比，讓學(xué)生對抽象的知識掌握更容易
——以《平方根》第一課時教學(xué)為例

丁 穎

(江蘇省常州市戚墅堰實驗中學(xué)，江蘇常州，213000)

類比，就是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性，通過比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對象的知識推移到另一種新的特殊對象上去，從而對另一事物做出假定性說明的推理方法.本文從《平方根》的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程設(shè)計入手，談?wù)勵惐冉虒W(xué)法在初中數(shù)學(xué)抽象知識中的應(yīng)用.

1 “類比”在《平方根》教學(xué)中的應(yīng)用

1.1 分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

本章在有理數(shù)和勾股定理等知識的基礎(chǔ)上，進行數(shù)系的第二次擴張，引入無理數(shù)，將有理數(shù)擴充到實數(shù)范圍，使學(xué)生對數(shù)的認識進一步深入.從有理數(shù)擴充到實數(shù)是第三學(xué)段數(shù)系擴張的最后一個階段，中學(xué)階段有關(guān)數(shù)的問題多是在實數(shù)范圍內(nèi)進行討論的，同時實數(shù)也是一元二次方程、函數(shù)等后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

本節(jié)內(nèi)容共計2個課時，本節(jié)課是第1課時，主要是平方根的概念和性質(zhì)的教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求：對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程.

1.2 類比教學(xué)法的過程設(shè)計

(1) 與學(xué)生的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)經(jīng)驗進行類比，引出本節(jié)課的“教學(xué)目標(biāo)”

師：一個陌生人，你最想了解他(她)什么？重點了解他什么？最難了解的是他的哪方面？

學(xué)生：了解他(她)叫什么名字？了解他(她)與我們周圍熟悉的人有什么關(guān)系？了解他(她)具有什么性格？最難了解的是他(她)的性格，需要漫長的過程.

師：說說看“平方根”知識，你想了解它什么？

學(xué)生互相說說，教師及時點撥引導(dǎo)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)上.

(2) 與舊知識進行類比，引出平方根與平方互為“逆運算”

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些運算呢？它們中互為逆運算有哪些呢？

學(xué)生：加法、減法、乘法、除法、乘方等五種運算.加法與減法互逆、乘法與除法互逆.

師：乘方有沒有逆運算呢？我們先來看下面的問題：

問題一：一個正方形邊長為6厘米，那么這個正方形面積為——

這是已知底數(shù)、指數(shù)，求冪的乘方運算.

問題二：如果一個正方形的面積為100平方米，那邊它的邊長為多少？

解：設(shè)正方形邊長為X米，則

這是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)的問題.正與上面的乘方運算相反，我們雖然不知道這是什么運算，但我們通過口算很容易求出X=10.

(3) 將“樹根”“草根”等生活中事物名稱與平方根概念進行類比，引入平方根的概念

我們來看下面的問題：

探索 發(fā)現(xiàn)

設(shè)計目的：這是引入平方根概念的切入點，要讓學(xué)生充分地進行思考和比對.知道“兩個互為相反數(shù)的平方等于同一個數(shù)”，為平方根的引入作準(zhǔn)備.

(4) 概括：x2=a(a≥0)

因為x2≥0，所以a≥0，求x就是幫a找源頭，即幫a找根子，是什么數(shù)平方得到a的？

類比：樹有樹根，草有草根，要知道是什么根子，就看根子上方長什么梢子.

因為x的右上方指數(shù)是2，所以x是a的二次方根，也就是說x是a的平方根.

平方根概念：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根.

根號的書寫：先寫左邊勾號，寫好被開方數(shù)后，再寫上面的一橫.

平方根史話：以古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的守舊與其學(xué)生西伯斯的創(chuàng)新進行類比，讓學(xué)生了解根號的由來，激發(fā)學(xué)生勇于創(chuàng)新，不局限于已有結(jié)論.

(5) 與生活中人的“戴帽”進行類比，講解如何求一個非負數(shù)的平方根

這個定義，可以簡記為：一數(shù)平方根，根號頭上戴，正負莫丟掉.

開平方：求一個數(shù)平方根的運算，叫開平方.

(6) 開平方與乘方類比，理解新舊知識之間的區(qū)別和聯(lián)系

開平方是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)，與平方運算正好相反，所以開方與乘方是互為逆運算.由于平方與開平方互為逆運算，因此可以通過平方運算來求一個數(shù)的平方根，也可以通過平方運算來檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根.

求一個數(shù)的平方根方法：

練習(xí)1：0.09的平方根記作

i.被開方數(shù)是完全平方數(shù)的開平方方法：被開方數(shù)要出來，先變完全平方數(shù)，去掉平方去根號，符號寫在底數(shù)旁.

ii.被開方數(shù)不是完全平方數(shù)的開平方方法：不能寫成平方數(shù)，根號里面長期住.

練習(xí)2：41的平方根是多少呢？

④ 因為？2=-36，“？”不存在，因此負數(shù)沒有平方根，所以-36沒有平方根.

通過分類討論，使學(xué)生對有理數(shù)的平方根有一個全面的認識，進一步深化了平方根的概念，加深了對符號意義的理解和對平方根概念的靈活應(yīng)用，這是平方根知識的重點和難點.

2 類比教學(xué)材料的編寫與制作方法

2.1 類比前的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)

在這個環(huán)節(jié)中，主要是促使學(xué)生發(fā)散思維，在原有的知識結(jié)構(gòu)中尋找與新知識(靶問題)匹配的類比源，也就是我們所說的“源問題”.這個過程應(yīng)該讓學(xué)生主動搜尋建構(gòu)，但所用時間較長，容易誤入歧途，或者根本找不到類比源.可能學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)過程中沒有這種類比的思維習(xí)慣，也不知道如何搜尋類比源.為了讓學(xué)生順利找到類比源，教師必須發(fā)揮好主導(dǎo)作用，通過設(shè)計問題串來引導(dǎo)學(xué)生找到相應(yīng)的類比源.如本節(jié)課我設(shè)計了以下問題，串起本節(jié)知識點：① 與學(xué)生的生活經(jīng)驗“了解一個陌生人”進行類比，引出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；② 與舊知識進行類比，引出乘方與開方互為“逆運算”，理解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；③ 與“樹根”“草根”等生活中事物名稱與平方根概念進行類比，引入平方根的概念；④ 以古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的守舊與其學(xué)生西伯斯的創(chuàng)新進行類比，讓學(xué)生了解根號的由來，激發(fā)學(xué)生勇于創(chuàng)新，不局限于已有結(jié)論.⑤ 與生活中人的“戴帽”進行類比，講解如何求一個非負數(shù)的平方根.

2.2 類比的實施環(huán)節(jié)

類比，最核心的目標(biāo)就是找到“有效的類比條件”，順利實現(xiàn)由舊知識向新知識的類比.所謂“有效的類比條件”，就是類比實施的突破口，找到它就相當(dāng)于找到了一把打開類比大門的鑰匙，這是類比實施的中心環(huán)節(jié)，也是類比教學(xué)的難點.為了突破這個難點，就需要教師對數(shù)學(xué)知識本身的體系要有較為深刻的認識，對各部分知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系有充分地了解，善于發(fā)現(xiàn)知識間的類比關(guān)系，做好長期的學(xué)習(xí)、思考和積累.

2.3 類比結(jié)果的驗證

并不是每種形式的類比都需要有此過程，有很多情況，此環(huán)節(jié)就已經(jīng)蘊含在類比實施的過程中了.對于類比結(jié)果的驗證有兩點好處：一方面可以檢驗類比的正誤，重新判斷一下這個類比的可信度；另一方面，如果類比是正確的，通過驗證可以進一步加深學(xué)生對新知識的理解，從而達到鞏固類比所得到新知識的目的.

2.4 多元評價

課堂上要對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所學(xué)知識效果情況進行評價.這種評價不斷指導(dǎo)著學(xué)生的情感態(tài)度和價值觀，指導(dǎo)著學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略，保證教學(xué)目標(biāo)的順利實現(xiàn).

一方面，可以進行學(xué)生之間的自評和互評.課堂上每學(xué)完一個知識點我就讓學(xué)生進行自評和互評一次，培養(yǎng)學(xué)生的自尊心和正確評價自我的能力，提高其自信心.評價標(biāo)準(zhǔn)就是根據(jù)回答的準(zhǔn)確性和回答的速度分為A、B、C三等.學(xué)生通過自評和互評可以發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過程中所取得的成績和不足，不斷地調(diào)整自己.

另一方面，可以進行教師評價.學(xué)生的自評和互評，都必須與老師的評價結(jié)合起來，在對學(xué)生進行評價時，教師的作用是展示優(yōu)秀學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和評價方法，幫助學(xué)生學(xué)會自評.多采用一些鼓勵性的評價語言.教學(xué)評價能夠幫助教師及時掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，便于修改或調(diào)整教學(xué)活動計劃，獲得更加理想的教學(xué)效果.