定弦定角在解題中的運用

王 黎，馬紹文

(云南師范大學數學學院，云南昆明，650500)

定弦定角問題：動點對某條長度恒定的線段張成的角固定不變，即動角的大小恒定不變，該線段稱為“定弦”，定弦所對的角稱為“定角”.

預備知識：

知識點1如圖1，以AB為直徑的⊙O上有一動點，則∠ACB恒為90°；反之當∠ACB=90°時，點C一定在以AB為直徑的圓上.

圖1

知識點2如圖2，在⊙O中，弦AB一定時，則該弦所對應的劣弧(或優弧)上的圓周角∠ACB就一定；反之當∠ACB為一定值時，點C一定在以AB為弦的圓上.

圖2

1 求最值問題

例1(2021廣東中考)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，點D為平面上的一個動點，∠ADB=45°，則線段CD的最小值為( )

圖1-2

圖1-1

例2如圖2-1，已知正方形ABCD以BC為腰向正方形內部作等腰△BCE，其中BE=BC，過點E作EF⊥BC，點P是Rt△BEF的內心，連接AP，若正方形的邊長為2，求AP的最小值.

圖2-1

圖2-3

點E是動點，Rt△BEF也隨之改變，則內心P也隨之改變，CB所對應的圓周角為135°，因此所對應圓心角為90°，作CB的垂線可以找到圓心，即可找到點P的運動軌跡.

圖2-2

2 路徑長問題

例3如圖3-1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是AB邊上的動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為F，當點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑長為( ).

圖3-1

解析：由題目可知，在點E的運動過程中，∠BFC=90°始終成立，即定弦BC的對角是定角，構成定弦定角模型.因此點F的運動軌跡是以BC為直徑的圓弧.需要確定點F的起始位置和終點位置.如圖3-2，起始位置是點A，E重合，此時點F是菱形ABCD對角線的交點O，終點位置是點B，E重合，此時點F是點B.所以點F的運動軌跡是以BC為直徑的圓上的劣弧BO.

圖3-2

∠CGO=∠ABC=60°.

例4如圖4-1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC中點，當P點沿半圓從點A運動到點B時，點M運動的路徑長是( )

圖4-1

解析：如圖4-2所示，設O是AB的中點，分析可得OM垂直平分于弦PC，所以∠CMO=90°.

圖4-2

3 定弦定角求面積最值

例5如圖5-1，已知四邊形ABCD滿足BC=CD，∠BCD=60°，∠BAD=90°，AC=6，則四邊形ABCD面積的最小值是( )

圖5-1

圖5-2

圖5-3

解析：三點共線問題，首先把△CBA繞點C逆時針旋轉，此時△CBA?△CDE，求四邊形ABCD面積最小轉化為求四邊形CADE面積最小.

∵△CBA?△CDE?CA=CE，∠BCA=∠DCE，∠CAB=∠CED.

∴∠ACE=60°?△CAE是邊長為6的等邊三角形.

SACDE=SCAE-SADE，SCAE是已知的，當四邊形CADE面積最小時即SADE最大.

∠ADE=∠ACD+∠DCE+∠CAD+∠CED=90°+60°=150°.

∠ADE是固定的，AE的長也是固定的，可轉化為一個定弦定角問題.

弦AE對應圓周角是150°，所以對應圓心角是60°.

點D的運動軌跡是一段以O為圓心以AO(OE)為半徑的圓弧.

4 “手拉手”模型與定弦定角

“手拉手”定義：兩個頂角相等且共頂點的等腰三角形形成的圖形.因為共頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，左手拉左手，右手拉右手，所以被稱為“手拉手”模型.

“手拉手”全等(圖6-1)：AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.

圖6-1

圖6-2

例6如圖6-3，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=4，AC為邊作正△ACD，連接BD，求BD的最大值.

圖6-3

圖6-4

解析：由∠ACB=90°，AB=4可知(弦AB的對角是定角，構成一個定弦定角)，點C在以AB為直徑的圓上，弦AB是不變的就以AB為邊作正△ABF，易得∠DAB=∠CAF，構成一個手拉手模型.

容易證明出：△DAB?△CAF，∴BD=CF.

當CF過圓心M時最大.

5 求邊長數量關系問題

例7(2018廣州中考)如圖7-1，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.連接BD，探究AD，BD，CD之間的數量關系.

圖7-1

解析：連接AC，由∠B=60°，AB=BC，易得出△ABC為等邊三角形.由∠D=30°，AC是確定的，可以得到這是一個定弦定角問題.作點B關于線段AC的對稱點B′，然后再以點B′為圓心，AB′為半徑作圓弧，則點D可以是圓弧上的任意一點.

圖7-2

如何探究這三條線段之間的數量關系，我們發現這三條線段是分散的，可以通過旋轉作全等變換，把分散的線段集中起來.

將△BCD繞點B逆時針旋轉60°得到△BAE，所以△BCD?△BAE.

得出CD=AE，BD=BE，∠BCD=∠EAB.

∵BD=BE，∠EBD=60°.

∴△EBD是等邊三角形.∴BD=ED.

∵∠EAD=360°-(∠EAB+∠BAD)

=360°-(∠BCD+∠BAD)=360°-270°=90°.

∴EA2+AD2=ED2.∴AD2+CD2=BD2.

總之，定弦定角問題都有一個固定的解題方法，其解題思路其實是一樣的，需要學生在認真分析問題的基礎上，通過定弦定角找到“隱圓”.也可進行反向思考，要想得出答案，就必須具備什么樣的條件，在猜測的基礎上一步步找出題目給出的隱含條件，幫助解決問題.希望以上定弦定角的應用方法和策略能夠為初中數學教師和學生起到良好的理論指導作用，幫助學生更快速、更便捷地解決這部分的問題.