新課標下高中數學課堂教學中數學建模素養滲透方法與策略

孫 峰

(樂山師范學院,數理學院,四川 樂山 614004)

數學是一門研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的學科。數學與人類生活和社會發展緊密相關，在人類歷史發展和社會生活中，數學發揮著不可替代的作用，它是各門科學和技術的基礎和工具，在自然科學、工程技術、系統科學、管理科學及社會科學等領域起著舉足輕重的作用。正如著名數學家華羅庚教授所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學?！盵1]數學的應用已經滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面。然而，作為一門基礎的自然學科和一種精確的科學語言，數學又是極為抽象的，它是如何應用于實際問題，并非顯而易見。數學如何用，是需要一定的技巧和手段的。數學建模在實際問題與數學之間架設了一座橋梁，是運用數學的語言和方法解決實際問題的一種強有力的數學手段。數學建模不僅能加深學生對數學的理解，還能提高學生學習數學的興趣。對于中學生而言，不僅要“學數學”，還要“用數學”。《普通高中數學課程標準( 2017 年版2020年修訂)》[2]中將數學建模列為高中數學學科六大核心素養之一，足見數學建模的重要性。但是，從高中生數學建模素養調查研究[3-6]發現高中生對數學建模的認知不足，數學建模素養普遍不高，數學建模能力較差。提升高中學生的數學建模素養是必要的。在本文中，我們將探討高中數學課堂教學中數學建模素養的滲透。

一、數學建模素養及其意義

數學模型是對實際問題的一種數學模擬，是針對具體實際問題，為了特定目的，簡化、抽象得到的一個數學結構(包括數學公式、圖形或算法等)。數學建模就是建立數學模型解決實際問題的全過程，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫實際問題的模型并加以解決的一種數學手段。粗略來說，數學建?？梢苑殖扇蟛糠郑簩嶋H問題轉化為數學問題，數學問題的解決，數學結果返回實際。根據姜啟源等的經典著作[7]，數學建模的具體步驟包括：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗和模型應用。數學建模在現實問題與數學之間架設了一座橋梁，其重要性是不言而喻的?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準( 2017 年版2020年修訂)》[2]中將數學建模列為高中數學學科六大核心素養之一，并介紹到“數學建模素養是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題”。

在高中數學課堂中滲透數學建模素養，提高學生的數學建模能力，具有以下意義：

(1)有助于加深學生對數學的理解，實現從“學數學”到“用數學”的轉變。在以往的教育中，學生往往只關注數學理論知識的學習，忽略數學的應用，不清楚數學知識到底有何用，只知道埋頭學習。在注重“素質教育”的今天，課堂中滲透數學建模素養后，學生知道數學是如何具體地作用于現實問題，知曉數學有用，并知道如何用。有了數學建模在現實問題實踐中的支持，學生對數學理論知識的理解將會更加深刻，并且逐步形成“用數學”的能力。

(2)有助于提高學生學習數學的興趣。在數學課堂教學中加入一些和實際生活相關的數學建模案例，因為案例貼近生活，不像數學知識那般抽象枯燥，所以這些案例的引入，能充分調動學生的探索欲和求知欲，從而激發并調動學生學習相關數學知識的興趣。在實際問題的有效解決后，學生更加折服于數學的實用性，對數學的學習興趣會進一步提高。

(3)有助于學生積累數學實踐的經驗，提升實踐能力。數學建模是學生運用數學知識解決實際問題的實踐活動，學生經歷一系列的數學建?；顒樱皩W以致用”可得到充分體現，數學實踐經驗不斷累積，實踐能力逐步提升。

(4)有助于學生增強創新意識和創新能力。數學建模旨在用數學解決生活中的實際問題。這些問題往往沒有現成的解決方法，需要學生根據實際問題做出抽象簡化。另外，這些實際問題的解決往往沒有統一的標準答案，只要言之有理都是可行的，這鼓勵學生提出各種各樣的解決辦法，包括一些打破常規的想法和思路，這對學生創新意識和創新能力的提高有促進作用。

二、數學建模素養培養現狀

數學建模素養寫入《普通高中數學課程標準》已經有一段時間，但是相關調研[3-6]發現，高中生的數學建模素養并不高，存在以下問題：

(1)對數學建模的重視程度不夠。部分高中生仍處于“應試”模式，以高考為目的，如果高考中對數學建模不作要求，就不會重視數學建模相關案例。

(2)對數學建模的認知水平整體不高。大部分高中生對數學建模的含義、步驟等方面理解不夠清晰，對數學建模的知識內容涉及較少，沒有表現出對數學建模的興趣。

(3)缺少數學建模的全過程教學。數學建模教學存在“應用題”化的教學，把數學建模等同于應用題，缺少對實際問題的剖析和提煉，缺少如何把實際問題數學化的過程，沒有實現數學建模的全過程教學。

(4)數學建模的實踐較少。部分高中生沒有參與過數學建?；顒?，在日常生活中也很少運用數學知識來解決實際問題。

(5)數學建模能力普遍不高。根據《普通高中數學課程標準》中數學建模水平的劃分，大部分高中生主要集中在水平一和水平二。大多數學生只能在熟悉情境中利用已經學過的數學模型解決問題，對于適當修改模型以解決類似問題方面的能力稍有欠缺。

三、高中數學課堂中滲透數學建模素養示例

《普通高中數學課程標準》中將課程內容分為“函數”“幾何與代數”和“概率與統計”等主題。數學建模素養應在各個主題中得到培養和提升。在日常的教學中滲透數學建模素養，在相關數學知識學習完后講解相應的數學建模案例，加深學生對知識的理解，讓學生掌握數學知識的運用。下面我們將介紹數學建模素養在一些數學專題中的滲透示例。

(一)函數專題中的建模示例

案例1 商鋪租金問題——某商鋪租金一年2萬元，房東為鼓勵租客提前交付租金，承諾提前交付的租金可按照銀行一年期存款利率予以抵扣。租客欲租10年，并提前一次性交付租金，那么租金多少？

模型分析：提前交付的租金按照一年期存款利率采取復利方式計算，提前交付的租金連同其利息收入抵扣當年租金。

模型假設：租金每年2萬元維持不變；存款利率不變，按照當前一年期利率(2%)計算；租戶一次性交付10年租金。

模型建立：設S為一次性交付的租金，xi為第i年提前交付的租金，第i年的租金提前了i-1年交付，本息和為xi(1+2%)i-1，因提前交付租金本息和抵扣該年租金，故

xi(1+0.02)i-1=2，

從而

由此可知，一次性交付的租金為

結果解釋：租戶一次性交付10年租金的話，只需要交18.32萬元。

注意，教師在講解等比數列求和的相關知識后，可介紹該案例。教師在講解時，應以學生為主，引導學生分析。在計算利息時，我們采取的是復利計算，當然也可以采取單利計算的方式。另外，學生在分析時可能會有這樣的思路：租戶按每年2萬元提前交付租金，房東將提前交付租金產生的利息補償給客戶，以2年租期為例，提前交付租金共計4萬元，有2萬元提前一年交付，產生的利息為0.04萬元，退還后，租戶實際交付租金為3.96萬元，但按照上述模型計算，交付租金大于3.96萬元。教師要引導學生發現問題，這種計算方式的漏洞主要在于利息本應到期后才獲得，提前支付不會有那么多。對于學生的不同思路，教師要積極肯定，鼓勵并引導學生找出新的解決方法。

案例2 客房的定價問題——某賓館有客房200間，營業一段時間后，經理得到客房定價和住房率的大致信息：定價280元/間，住房率約50%；定價240元/間，住房率約60%；定價200元/間，住房率約70%；定價160元/間，住房率約80%。欲使賓館每天獲得最高收入，每間客房應定價多少？

模型分析：從所給數據信息看，房間定價每降低40元，入住率增加約10%，由此假設出定價和入住率的關系，進而根據收入最高，確定客房定價。

模型假設：隨著客房定價的下降，住房率呈線性增長，即定價下降40元，入住率提高10%；房間定價最高480元(按照第一條假設，480元定價時，入住率為0)；每一間房間的定價相等。

模型建立：設住房總收入為y元，房間定價為x元/間，根據假設相應的入住率為

入住的房間數為

住房收入總收入為

y=0.5x(480-x),0≤x≤480。

模型求解：根據一元二次函數的最值，求解得到x=240,y=28 800。

結果解釋：住房定價為240元/間時，住房收入可取得最大值28 800元。

(二)幾何與代數專題中的建模示例

案例3 包湯圓問題——同等重量的湯圓粉，包大湯圓和包小湯圓，哪種用餡兒更多？

模型分析：湯圓可以近似看成球體，由湯圓粉做成的外皮和中間的餡兒組成。同等重量的湯圓粉加工得到的湯圓外皮重量是一樣的，如果大小湯圓的表皮厚度一樣，則大小湯圓外表皮的面積是一樣的。因此問題主要在于對比表皮面積相同的大小湯圓的總體積。

模型假設：假設大小湯圓的外皮厚度一樣；包湯圓時不對表皮拉扯，保證外皮厚度不變；大小湯圓的規格一致，所有大湯圓都是一樣的，所有小湯圓都是一樣的；大小湯圓近似看成球體，湯圓餡填充滿湯圓內部；湯圓餡大皮薄，忽略表皮的厚度。

模型建立：假設一個大湯圓的表面積S，體積為V，半徑為R，共有N個大湯圓；一個小湯圓的表面積s，體積為v，半徑為r，共有n(n>N)個小湯圓。湯圓近似看成球體，可得到大小湯圓的表面積和體積為

因大小湯圓外皮厚度一樣，故大湯圓和小湯圓總的表面積一樣，即ns=NS。從而有

n·4πr2=N·4πR2，

于是可知大小湯圓的半徑滿足

進一步，大湯圓與小湯圓總體積比為

結果解釋：同樣重量的湯圓粉，包大湯圓的個數N必然小于小湯圓的個數n，因此小湯圓用的餡兒會更多。若這些湯圓粉可包成大湯圓50個，小湯圓100個，也即是說一張大的湯圓皮可變為厚度相同的兩張小湯圓皮，則小湯圓用餡兒的總量將大約是大湯圓用餡兒總量的1.4倍左右。

注意，教師在講解球的表面積和體積的相關知識后，可介紹該案例。注意引導學生分大小湯圓兩組對比考慮。另外，模型相對粗糙，在計算時，忽略了湯圓表皮的厚度。

(三)概率與統計專題中的建模示例

案例4 擲骰子游戲問題——某公園有一個擲骰子的“有獎游戲”攤位，玩家2元可擲骰子一次，若兩骰子點數之和為7，則獲得獎勵5元，否則無獎勵。試問該游戲對玩家公平嗎？

模型分析：需要計算出玩家的期望收益，如果為0，說明玩很多次，將會不輸不贏，游戲是公平的；如果小于0，說明對玩家不公平。

模型假設：骰子沒有任何問題，擲出點數1到6的概率都是均等的；游戲規則有效。

模型建立：兩骰子點數之和可為2到12之間的任何自然數，表1中給出了具體的情況。

表1 兩骰子點數之和

模型求解：玩家的期望收益為負，約為-0.83。

結果解釋：游戲對玩家是不公平的，如果玩100次，玩家就會輸掉大約83元。

注意，教師在講解概率及期望的相關知識后，可講解該案例。教師需要說明期望的含義。另外，教師還可以對案例進行拓展，讓學生考慮，公平的游戲，玩一次的費用或者獎勵金額應該如何調整。此外，還可以考慮中獎號碼為多個，獎勵金額不同的情況。

四、高中數學建模的教學建議

數學建模對高中生數學學科素養的提升和數學應用能力的發展是至關重要的。然而，數學建模素養的提升并非一朝一夕就可以實現，是循序漸進的。筆者建議教師在進行數學建模教學活動時注意以下幾點：

(1)集中講解與分散滲透結合。《普通高中數學課程標準》中建議“數學建?；顒优c數學探究活動”必修課程課時6學時，選擇性必修課程課時4學時。如果對“數學建模”專題集中講解，學生雖然對建模會產生一定的強化認識，但難免會忽略數學建模與其他主題相關知識的關聯。因此，筆者建議，在進行數學建模相關的教學活動時，既要有集中的時段進行專題講解，系統介紹數學建模的含義及步驟等相關知識，也要分散到各個教學主題中，在相關數學知識講解后介紹相應的建模案例，在日常教學中滲透數學建模素養。

(2)合理選題。數學建模的教學案例最好來自于學生的生活實際，是學生生活或學習中的現實問題，這樣的問題能有效調動學生的探索欲和求知欲。另外，案例不能過于復雜，是能夠解決的，涉及的數學知識應是學生已經學習并掌握的內容。如果案例過于復雜，學生無法接受，并不利于數學建模的開展。

(3)展現數學建模的全過程。數學建模與一般意義的應用題是不一樣的，應用題側重解決問題，而數學建模包括問題轉化及問題的解決等。數學建模素養是系統的，包括提出問題、分析問題、解決問題等。教師要按照數學建模的大致步驟操作，引導學生分析問題，詳盡展示生活實際是如何通過簡化抽象轉化為數學問題的，并將模型求解的結果返回生活實際。對于一些案例，進行必要的檢驗、參數分析、改進和拓展遷移等。讓學生在數學建模的全過程中提升素養。