善構造 巧分解 釋疑難
——例談帶電粒子在復合場中非勻變速曲線運動的求解

何曉文

(甘肅省禮縣實驗中學，甘肅 隴南 742200)

1 引言

帶電粒子在勻強電場和勻強磁場組成的復合場中當所受合外力的大小和方向隨著洛倫茲力的變化而發生變化時，粒子將做非勻變速曲線運動。這時粒子的運動過程較為復雜,其運動軌跡并非圓弧或拋物線，而是其它曲線，如螺旋線，輪軸線等[1]。這類運動盡管復雜，但其明顯的特征是具有運動過程的空間周期性和時間周期性。因此，抓住其運動特征，合理的構造（轉化），巧妙分解，一般都可以將粒子的運動分解為以個直線運動和一個勻速圓周運動兩個簡單的分運動，使許多復雜的問題迎刃而解。下面舉例說明：

2 突破常規、巧妙轉化

如圖1所示，空間存在足夠大，正交的勻強電、磁場。電場強度為E，方向豎直向下。磁感應強度為B，方向垂直紙面向里。

圖1

從電磁場中某點P由靜止釋放一個質量為m電荷量大小為+q的粒子（粒子受到的重力忽略不計），其運動軌跡如圖中虛線所示。

求①粒子運動的周期T和一個周期內的水平位移L；②粒子在運動過程中下落的最大高度H和運動過程中的最大速度。

析與解：此題若利用力和運動的關系以及能量轉化規律求解，幾乎無從下手，一個問題都解決不了。若在粒子剛釋放的瞬間，通過構造給粒子附加等值反向的水平速度,（未改變初始條件），且使得,這時粒子沿水平方向向右以勻速直線運動時分運動受到的洛侖茲力與電場力平衡，而以水平向左以速度開始的分運動，是僅在洛倫茲力作用下的勻速圓周運動。該曲線運動就可以分解為以水平向右的勻速直線運動和以（向左）從P點起僅在洛倫茲力作用下的勻速圓周運動，如圖2所示。

圖2

其圓周運動的半徑為R,由得得：，故知：。

而圓周運動的周期也就是粒子運動的周期,即。由運動的合成可知，粒子運動到最低點時，其合運動速度最大，。

一個周期內，勻速圓周運動的平均速度為0，因而粒子在一個周期內水平位移即為水平向右勻速運動的位移，故。

方法歸納：此類題目其解法要點是，通過構造（轉化）巧妙對速度進行分解，使洛倫茲力的一個分力（對應速度為）與粒子受到的其它恒力（如電場力，重力，或其合力）平衡，這樣粒子的運動就會分解為方向的勻速直線運動和以另一洛倫茲力的分力（對應的速度為）作用下的勻速圓周運動。其速度分解的原則有兩點：一是不能改變初始條件，二是要使其某一方向勻速直線運動受到的洛倫茲力與粒子受到的其它恒力或其合力平衡。

3 善于構造、靈活分解

如圖3 所示，空間存在—范圍足夠大的沿y軸正向、大小為E的勻強電場和垂直于xoy平面向外磁感應強度大小為B的勻強磁場，現讓質量為m，帶正電的粒子從O點以初速度沿Y軸正向射出后，粒子在運動過程中：

圖3

(1)證明：在任一時刻，粒子速度的X分量與其所在位置的Y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關；（2）求該粒子運動的最大速度值[2]。

析與解：此題，不僅考查了功能關系，向心力來源分析等知識，更重要的是要對題給出的信息進行加工和處理，挖掘其臨界情景，全面考察了分析綜合能力，是一道難得的好題。要解答上面的問題，我們仍可應用例1 中的方法。

通過構造（轉化），巧妙分解，將粒子的初速度分解為沿正X方向的分速度與斜向左上方的分速度，這樣粒子的運動過程就可分解為水平向右速度為的勻速直線運動與以速度，半徑為在紙面內沿順時針方向的勻速圓周運動（如圖4 所示），由運動合成知識可知，粒子在最高點初速度最大，其最大值為。

圖4

另外，任意時刻t，圓周運動速度的水平分量為為圓周運動角速度），其中，而，故粒子合運動沿x 軸方向的分速度，即可證明與y成正比且與E無關。（如圖5 所示）。而粒子在xoy 平面內運動的周期就是其一個分運動圓周運動的周期，其值為。可見用構造分解的方法，可迅速突破思維障礙使問題得到解決。

圖5

4 重視因果關系、用好極值條件

如圖6 所示，在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在O點由靜止釋放，小球的運動軌跡如圖中曲線所示，重力加速度為g，求：

圖6

(1) 小球運動到任意位置P(x，y)的速率；

(2) 小球在運動過程中第一次下降的最大高度；

(3) 若在上述磁場中加一豎直向上場強為E的勻強電場時，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率[3]。

析與解：第一個問題的求解，由功能關系可知粒子運動速率的變化由重力做功引起：

而其第二問，可將粒子的運動分解為沿著正X方向速度為的勻速直線運動與速度為、半徑為R沿順時針方向的圓周運動的合運動。由運動合成知識可知在第一次下降到最低點時其下降的最大高度為，其第三問，如圖7 所示亦可通過構造，將粒子的運動分解問沿x負方向以速度的勻速直線運動和以速度v2僅在洛倫茲力的作用下的順時針圓周運動的合運動，易知在其最高點速度最大，其值。此題由江蘇高考題改編，原題在題干部分加上了（軌跡最低點的曲率是其到x軸距離的2 倍）條件，借助曲率概念、功能關系、圓周運動知識等方可求解，至于附加條件中的結論因何而來考生不得而知，造成許多困惑。要解決上述困惑，也可以用例2 中方法去證明，在此不再贅述。

5 挖掘隱含條件、快速推理判斷

空間存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直于紙面（xoy平面）向里，電場的方向沿y軸正方向，一帶正電粒子在電場和磁場的作用下，從坐標原點O由靜止開始運動。下列四幅圖中，可能正確描述該粒子運動軌跡的是

析與解:通過審題可知,粒子僅在電場和磁場作用下運動,故粒子重力不計為隱含條件，重點考察考生挖掘隱含條件的能力。可通過構造使粒子時受到的洛倫茲力恰好與電場力平衡，這樣粒子的運動將分解為沿x 軸負方向以特定速度的勻速直線運動和以坐標原點為最低點沿逆時針方向與勻速直線運動速度大小相等速率的勻速圓周運動。粒子合運動速度的X 分量雖大小周期性變化，但方向始終沿X 軸負方向，因此粒子運動的軌跡只能為B 選項。此外，當帶電粒子以一定速度斜射入彼此平行、豎直方向的電磁復合場中運動時，粒子的運動可分解為豎直方向的直線運動和水平面內的圓周運動，其運動軌跡將是螺旋線（豎直方向受力平衡時是等距螺旋線，豎直方向受力不平衡時是不等距螺旋線）。

總之，當粒子在電、磁、重力三場并存的空間運動，且電場方向在豎直方向、電磁場彼此正交，并受三力（至少兩力，其中必須有洛倫茲力）共同作用而做非勻變速曲線運動時，我們可以通過構造，使洛倫茲力的一個分力與粒子受到的其它恒力（如電場力，重力，或其合力）平衡，這樣粒子的運動就可分解為兩個常見的分運動（直線運動和圓周運動）。利用題設條件，善于構造、巧妙分解，可破解此類難點問題。