相對論的天體物理學概論

李正禾，蔣騰慶

(1.中國海洋大學海洋與大氣學院，山東 青島 266100；2.中國海洋大學海洋與大氣學院，山東 青島 266100)

1 相對論天體物理學的學科架構

天體物理學是天文學的一個分支，天體物理學運用物理學規律來研究天體的物理學性質，其中的天體可以包含行星、星系、黑洞乃至宇宙等各種天體[1-2]。

天體物理學將物理學史中形成的不同分支運用到天文學中，形成許多天體物理學分支。研究相對論相關問題的天體物理學為相對論天體物理學，研究粒子物理為主要目標的方向稱為粒子天體物理學，研究原子核物理的分枝被稱為核天體物理。相對論天體物理學的發展是因為許多相對論所預言的現象或過程首先在天體上觀察到和得到證實。

2 理論物理史中的相對論

2.1 近代物理學的狹義相對論

相對論包含狹義相對論和廣義相對論。一九零五年，愛因斯坦提出了狹義相對論的兩個假設。對狹義相對論作出學科貢獻的，還有邁克爾遜、洛倫茲、龐加萊、麥克斯韋等物理學家。麥克斯韋的場方程基本與狹義相對論方程等效。

對于狹義相對論的物理貢獻，龐加萊印證了相對性原理的數論空間，并提出了基本的物理相對性原理。因此，在龐加萊和愛因斯坦之間在科學史上存在一定的爭論。但是，愛因斯坦之所以在狹義相對論方面的工作成為科學史中相對論的中心并為后人所知，很大程度上是由于愛因斯坦對狹義相對論方程進行了簡化，并用最簡單的數學語言表達出來。

2.2 狹義相對論基本原理

相對性原理(The principle of relativity)。愛因斯坦定義相對論為物理定律在一切慣性參考系中都有相同的形式[3]。這個定義在近代時期伽利略坐標變換和慣性系中已經有所運用。不過，在伽利略在坐標變換和慣性系的運用中時間與空間是完全隔離開來的。愛因斯坦則將時間與空間架構成一個統一的整體，在數論上運用洛倫茲坐標變換來描述，形成統一的時空結構。

光速不變性原理(The constancy of speed of light in vacuum)。在任何慣性參照系中，真空中的光速都是一個常數[4]，這樣一個速度成為自然界速度的上限。歐洲核子研究組織(CERN)曾在二零一二年時，提出中微子速度超越光速的實驗物理結論，這對物理學的理論基石具有極大的沖擊。不過，后來證實得出中微子超越光速的實驗物理結論是由于強穿透性的中微子將高能粒子加速器的橫截面探測器(cross-sectional calorimeter)的材料面擊穿導致。

狹義相對論在物體接近光速的高速運動過程中，相對論的物理效應(動鐘延緩、動尺縮短、質量增大)才會顯著。在嚴格意義上，研究動鐘延緩理論是運用洛倫茲坐標變換來擬合光速不變的原理。

圖1 加速環中Muon介子衰變模型

早在上個世紀，動鐘延緩效應實驗室中得到較好的檢驗。典型的實驗案例，就是高能粒子加速環中的Muon Decay。Muon介子釋放出Muon中微子后變成Muon W玻色子，Muon W玻色子衰變為正電子、反電子中微子和Muon中微子。在靜止的參考系下，Muon Decay的衰變周期為2.197微秒，衰變的周期十分短暫。

當高能粒子加速器在儲存環中將Muon粒子加速至0.9999倍的近光速，實驗測量粒子衰變時間延長至原來的兩百倍。這是狹義相對論的動鐘延緩效應發揮的作用。

圖2 狹義相對論的尺縮效應模型

洛倫茲坐標變換在相對論中的一般形式。從狹義相對論，可以推導出自由粒子的能量為

自由粒子的速度為

空間中的速度四矢量可以用時間和空間方向上的微分方程表達為

2.3 狹義相對論的時空關系

在求解狹義相對論時，一種方式是通過嚴格的洛倫茲坐標變換來做，另一種方式是四矢量，在粒子碰撞過程中，四矢量滿足標度不變，四矢度的縮并就是光速的平方。

一個靜止電子的彈性散射，滿足能量守恒和動量守恒，在初始時刻光子的矢動量加上電子的矢動量相等得出。如果入射光子的能量并不是很高，電子的能量和洛倫茲因子非常高，得到最后光子獲得的能量。低能量的光子經過高能量的電子氣體之后會額外獲取能量。

在天文學中，微波光子經過星系團這樣一個尺度的熱氣團，微波光子會被高溫的等離子體氣體不斷地反射使得微波光子獲得額外的能量。天體物理學經過長期觀測認為，微波背景輻射在這樣一個星系團的方向上，微波背景不斷減少，等離子體溫度會降低。取散射的低能電子進入初始坐標系，經過兩次洛倫茲坐標變換，將觀測的坐標系變換到與高速運行的電子同位的角度。

狹義相對論在科學史上取得巨大的成功，相對于伽利略傳統坐標系而言，時間與空間形成了統一的整體，時空性質和物體運動是緊密聯系的。狹義相對論證明了高速運動下的物體動鐘延緩、動尺縮短、質量增大的變化，所有的慣性系是平權的。

相對論推導出的粒子質能方程，在氫彈核武器投入實驗和戰爭中顯現出了巨大的威力。正如愛因斯坦所說[5]：“純科學不僅是一切自然科學的基礎，也是現代科學技術的源泉。”

狹義相對論也給出過荒謬的預言，比如孿生子悖論(Twin paradox)。狹義相對論存在的前提是物體慣性系，在無引力作用和勻速直線運動的條件下物體運動處于慣性系中。航天飛行器在離開地球后折返，必經歷了加速和減速的過程，因此會偏離慣性，在此狹義相對論無法解釋。愛因斯坦為解決這個慣性系理論問題，創立廣義相對論擴充物體運動到非慣性系中。

2.4 廣義相對論基本原理

廣義相對論是建立在等效原理和廣義協變要求基礎上的引力理論和宏觀物質的運動理論。一九零七年愛因斯塔提出假想的電梯實驗，有一個關鍵的洞見：墜落的觀測者不會經歷重力，他形容這是“我一生中最幸福的想法”[6]，這一見解促使愛因斯坦提出了等效原理。引力等效原理簡單來說就是引力質量與慣性質量等效。局部的慣性系與自由下落的引力場的坐標系無法區分，愛因斯坦用他著名的假想的電梯實驗解釋這一點。

慣性質量從牛頓第二運動定律引入，對物體施加力的作用，會使得物體偏離其相對靜止位置作慣性運動，物體的慣性質量越大，偏離的難度就越困難。因此，物體的質量與慣性直接相關。

愛因斯坦在廣義相對論中提出假想電梯實驗，假設兩種情況。一種情況電梯靜止在引力場中，人處在其中的感受與電梯向上作勻加速直線運動是等同的；另一種情況電梯在引力場中作自由落體運動，人處在其中的感受是遠離引力源時相對靜止是等同的。從而，愛因斯坦在一九零七年給出引力質量等于慣性質量的等效結論。

廣義相對論的協變原理(The Principle of covariance)物理定律的形式在一切參考系下都是不變的。牛頓在蘋果砸到頭上提出萬有引力定律之后，日常生活中人們常忽視的引力，開始在天文學揭示天體運動規律發揮巨大的作用。在牛頓的經典力學體系下，蘋果能夠掉落地面是由于受到地球對物體的引力導致，繞地球軌道運動的航天飛行器能夠處于受力平衡狀態是由于引力提供向心力。愛因斯坦則引入時空彎曲取代了引力的概念。時空是動態變化的過程，隨著物體質量的增加，空間的扭曲也隨之增加。

2.5 廣義相對論的時空彎曲

行星環繞太陽運行受到中心天體引力作用偏離慣性運動，沿著測地線(Geodesic line)形成了橢圓形的軌道。愛因斯坦用時空彎曲取代了引力場，從而揭示了實驗粒子和光子乃至天體在彎曲時空中沿著測地線運動的奧秘。

歐氏幾何是研究平直的平面空間的幾何學，可建立統一的直線坐標系，矢量具有確定的大小和方向，可以在任意位置定義。黎曼幾何是研究彎曲空間的幾何學，在彎曲空間中研究物理規律也必須建立坐標系，在某一點建立坐標系研究在點位區域的標量、矢量和張量。矢量的范數為

矢量線元如果時空中的任意矢量滿足A’2>0，則此空間稱為本征歐氏空間，否則稱為非本征歐氏空間。

引入時空線元之后，ds'2>0對應的是類時的時空，ds'2>0對應的是類空的時空。在ds'2=0為坐標軸的平面作出光速的圓錐面。愛因斯坦廣義相對論就引入這樣的時空線元來描述空間的幾何關系。

圖3 廣義相對論時空線元的光速圓錐面模型

愛因斯坦場方程可以用愛因斯坦張量減去黎曼張量來表示為

愛因斯坦場方程描述的是時空張量的幾何關系，Tuv對應的是描述物質在時空中分布的能動張量。愛因斯坦場方程告訴我們，時空是一個動力學過程，時空與內部存在的物質的運動狀態緊密相聯。

廣義相對論是一個非常成功的理論，愛因斯坦場方程將物體運動與時空擬合在一起。同時，廣義相對論具有理論的包容性，把牛頓經典理論和狹義相對論作為極限或特例包容在其中。在弱場近似下場方程可以退化到牛頓的引力Poisson方程。

愛因斯坦場方程預言了牛頓引力所無法預言的自然現象，如天文觀測中光線經過太陽發生偏折、PSR由于引力波輻射導致軌道偏差等天文學問題。

2.6 廣義相對論的空間衛星校準

GPS (Global Positioning System)衛星在空間軌道上相對地面運動速度較快，狹義相對論知GPS衛星相對于地面存在動鐘延緩效應。GPS衛星在空間軌道相對地面而言，速度更快，因而存在一定的動鐘延緩效應。GPS衛星發射信號至地面進行授時，在地面的引力場強，在空間中的引力場弱，因而GPS信號在空間傳輸至地面過程中發生延緩。

GPS衛星時間相對于地球每天延緩約70微秒。GPS對地面接收站發送授時信息，從引力場弱的宇宙空間到引力場強的地球表面，引力場強的地面導致GPS時鐘延緩約45微秒。因此，必須計算出一個校正系數，該系數可以有效地使時鐘每天倒轉38微秒，以產生準確的GPS數據。這也是廣義相對論所預言的時空延緩在空間探測中實際遇到的問題。

廣義相對論引力半徑的引入，地球的引力是一個球形對稱的引力，引力半徑引入來判斷物質逃逸處行星表面所需要的能量，物質的動能大于勢能時，物質才能逃逸處行星的引力環境。

在判斷天體的表面引力勢大小和引力半徑，需要考慮到廣義相對論修正。

3 相對論與天體物理學的關系

天體運行的環境為相對論效應的研究提供了許多的場所，包括致密星系、引力波天文學、相對論宇宙學、相對論天體力學等，這都是相對論天體物理學研究的范疇。

宇宙是一百三十七億年前大爆炸產生，從現在往前看，大約在四十五億年宇宙經歷了由減速膨脹到加速膨脹的過程，對于暗能量的探測，利用微波背景輻射、引力波以及聲波探測均指向相同的結果。天文學家預測宇宙膨脹是暗能量起作用的過程，這都是我們現在十分感興趣的天文學問題。

中子星、黑洞甚至宇宙等超質量天體都需要考慮到相對論效應。雙星繞轉系統也是需要考慮相對論效應，繞轉平衡的結構可以等效為兩個天體的引力能和軌道的動能相當。如果系統運行的速度很低，則用經典牛頓力學體系和經典天體物理學可以來描述，如果，繞轉系統的雙星之間距離很近、強引力場或者繞轉速度很快，則要引入相對論天體力學。中國目前也在大力發展空間科學和航天飛行項目，對于天體物理學的精度也是越來越強，相對論對于高能環境下的天體物理學研究的重要性也日益顯示出來。

3.1 相對論與天體物理學的關系

天體運行的環境為相對論效應的研究提供了許多的場所，包括致密星系、引力波天文學、相對論宇宙學、相對論天體力學等，這都是相對論天體物理學研究的范疇。

宇宙是一百三十七億年前大爆炸產生，從現在往前看，大約在四十五億年宇宙經歷了由減速膨脹到加速膨脹的過程，對于暗能量的探測，利用微波背景輻射、引力波以及聲波探測均指向相同的結果。天文學家預測宇宙膨脹是暗能量起作用的過程，這都是我們現在十分感興趣的天文學問題。

中子星、黑洞甚至宇宙等超質量天體都需要考慮到相對論效應。雙星繞轉系統也是需要考慮相對論效應，繞轉平衡的結構可以等效為兩個天體的引力能和軌道的動能相當。如果系統運行的速度很低，則用經典牛頓力學體系和經典天體物理學可以來描述，如果，繞轉系統的雙星之間距離很近、強引力場或者繞轉速度很快，則要引入相對論天體力學。中國目前也在大力發展空間科學和航天飛行項目，對于天體物理學的精度也是越來越強，相對論對于高能環境下的天體物理學研究的重要性也日益顯示出來。

3.2 相對論天體物理學的黑洞研究

黑洞是完全由引力占主導的天體，無量綱引力半徑為1。黑洞的結構比基本粒子(Elementary particle)還要簡單，經典黑洞在形成過程會產生引力波輻射，并喪失自身的所有信息。黑洞不保持形成它的物質所具有的任何復雜性質[7-8]，它保持的物理參數僅剩下質量、角動量和電荷，這是黑洞的無毛定理(No-hair theorem)。

它保持的物質參數只有質量、角動量和電荷。按照其物理參數劃分，黑洞被分為史瓦西、雷斯勒-諾斯特朗姆、克爾、克爾-紐曼黑洞。天文學家一般研究的黑洞是史瓦西黑洞和克爾黑洞。

黑洞的結構十分簡單，它有一個中心的奇點和矢界面，在矢界面外面還有一個光層，幾乎所有的物理規律在黑洞的中心奇點都會失效。黑洞外層還會形成一個潮汐力很強的吸積盤。

天文觀測到黑洞附近的吸積盤(accretion flows)，尤其是吸積盤十分接近黑洞的史瓦西半徑時，就需要考慮到相對論效應的修正。

一九七二年的時候，霍金就論證了黑洞的面積不減的定律[9]，黑洞的面積和黑洞的熱力學熵相互聯系，黑洞的面積可以用黑洞的質量、電荷和角動量來表示。

黑洞實際上是宇宙空間中能源轉化十分高效的區域，通過調節黑洞的電荷和角動量，黑洞的質量減少而從黑洞中攝取能量，黑洞或許會成為未來太空旅行中的加油站。

天文學家就曾設想過，快速旋轉的克爾黑洞可以形成能量循環的生態城市的能源來源。將生活垃圾傾倒入黑洞的能量層中，從能量層中逃逸出的能量為城市提供額外的能量供應，克爾黑洞成為一種生態型的能源供給源。

研究表明，黑洞表面的矢界面存在固定值的電阻。黑洞并非孤立的存在，黑洞的存在必然伴隨著吸積效應，吸積的星際物質一般溫度較高，通常是以等離子體的形式存在，等離子體具有磁凍結效應，等離子體將磁場拽到黑洞邊緣，并在黑洞的附近形成極強的磁場。旋轉并帶有一定電阻的黑洞轉子和凍結在吸積氣體內部的磁場形成高效率的導電回路。

旋轉黑洞形成的導電回路能夠將能量輻射出去，一部分能量來自中心天體旋轉的能量，一部分來自于吸積盤的能量，這種機制被稱為Blandford-Znajek Effect。天文臺在天體環境中觀測到許多類似高效的發電機制將引力能釋放轉化為動能的天體噴流現象。

黑洞與天文學中許多高能物理現象有關，黑洞是時空中無限深度的引力勢井，黑洞可以高效地提取吸積物質的質能。在天體物理觀測中，發現區域的能量嚴重短缺，天文學家第一直覺就是出現了黑洞。天文臺借助紅外波段的射電波段干涉來觀測黑洞的結構和熱斑。

克爾黑洞的成像研究直到上個世紀九十年代有所進展，我們可以通過觀測黑洞吸積盤中釋放物質的譜線輪廓來研究黑洞的特征。通過多普勒頻移效應可以定出黑洞旋轉的角動量和傾角。利用地面和空間的射電望遠鏡的強干涉獲取黑洞的高分辨率圖像，從而研究銀河系邊緣的黑洞行為。

3.3 相對論天體物理學的引力波研究

引力波天文學可以檢驗廣義相對論天體物理學的準確性。愛因斯坦廣義相對論預測了引力波的存在，愛因斯坦雖然給出了引力波方程的形式，但是從引力波理論從實驗上無法證實引力波的存在。銀河系中心出現中子星大小的天體掉入黑洞中，會出現引力波輻射導致時空的彎曲，時空的長度出現微小的波動。

二零一三年，澳大利亞東部的Parkes 射電望遠鏡觀測到中子星構成的雙脈沖星，不斷以引力波輻射的形式對外輻射能量。預測八千五百萬年后，兩顆雙子星合并，產生引力波暴。目前，天文臺的引力波探測器平均兩年可以觀測到一次引力波事件。

一九一七年，愛因斯坦將廣義相對論引力場方程應用于宇宙的結構，在假設宇宙是無限大、均勻的前提下，愛因斯坦發現方程的結論是不穩定的，表明宇宙必然處于膨脹或者收縮其中一種狀態[10-11]。求出引力場方程的均勻和各向同性的靜態解，愛因斯坦引入一個斥力作用“宇宙常數”項，得到一個靜態宇宙的模型。一九二四年之后，哈勃望遠鏡觀測到行星紅移而宇宙在做加速膨脹，愛因斯坦意識到“宇宙常數”的引入是一生中犯過最大的錯誤。

愛因斯坦在提出廣義相對論不久，就開始對宇宙學進行研究。將廣義相對論原理引入宇宙學后，發現宇宙空間要么膨脹要么塌陷。在哈勃望遠鏡認識銀河系和河外星系之前，愛因斯坦對宇宙學最初的提出是一種假設，空間方程代入愛因斯坦引力場方程：

可以得到兩個非零的Friedemann 場方程：

這兩個方程都是愛因斯坦場方程結合各項均勻理想流體導出的，Friedemann 方程與牛頓力學中的機械能守恒類似。假設球對稱的天體環境在做均勻的哈勃膨脹。

方程左邊類似于質元的加速度，按照牛頓第二定律，右邊為半徑為a 的球面上單位質量體元受到的力，于是有：

它描述了牛頓宇宙學下實驗粒子的減速運動。廣義相對論與牛頓引力理論不同的是，引力不僅僅由物質的密度決定，而且應該由能量-動量決定。現今，正如超越愛因斯坦計劃所指出的，宇宙空間還有許多未能解決的天體物理學問題，宇宙驅動的能量來源、黑洞附近的物理現象、引力波與宇宙膨脹、暗物質等，愛因斯坦相對論的引入對于天體物理學研究的深入更加重要。愛因斯坦也曾說過[12]：“我沒有出色的天賦，卻擁有強烈的好奇心”，或許我們經過長時間的天文學探索，能夠超越目前的地球之井的視線，發現一個嶄新而完全不同的天空。

4 結論

牛頓力學引入天體物理學，使得近地行星的軌道計算和觀測水平取得飛躍。但是，對于宇宙驅動的能量來源、黑洞附近的物理現象、引力波與宇宙膨脹、暗物質等大尺度的高能天體環境的物理學現象無法作出科學的理論解釋。相對論物理學的引入，為天體物理學的前沿學科發展創造了更加廣闊的發展空間。