后建構引領數學課堂學科素養培育
——以《有理數》后建構章節復習課為例*

陳 鋒

(江蘇省無錫市太湖格致中學 214125)

2017年和2018年，江蘇省青年教師優秀課(初中數學)比賽別出心裁地分別從“前建構”和“后建構”兩個不同視角確定賽題.賽后由蘇科版初中數學教材主編董林偉先生總結，創新性地提出了“后建構課”這一概念，由此引發了學界對“后建構課堂”這種新課堂組織形式的廣泛關注．

一般認為，“前建構課堂”指的是在建構主義理論指導下的課堂教學，多為新授課；而“后建構課堂”指的是在新認知情境中重組或再構學生已有知識基礎，局部深入，以達到重建新的更為完整的認知結構的課堂教學．近年來逐漸興起的關于初中數學后建構課堂的課例研究，給目前乏善可陳的課堂研究注入了新活力．鐘鳴等人對于后建構課堂的章尾復習課展開了一定的設計與應用[1]；薛鶯基于單元復習設計[2]和多元變式的應用[3]提出關于后建構課堂的思考．

不難發現，后建構課堂強調教師對知識的重新建構，即打亂原有的順序，重新建立知識體系，用一條主線將教師想要表達的內容串聯起來，后建構課堂在章節復習課中作用尤為明顯．因此，筆者以《有理數》章節復習的后建構課為例，借此探討并總結得出后建構課堂應用于初中數學章節復習課的一些思考．

1 基于核心素養的后建構課堂目標的設計

1.1 把握學科課程標準，優化教學內容

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出：教材內容要有利于調動學生的學習積極性和主動性，有利于教師進行創造性教學．后建構課堂依托于課程標準，教師應該在整合教材內容的基礎上進行教學，把教材看作一種資源，整合小學和初中的相關內容，形成系統性的知識體系，從而避免復習的零散化和碎片化．后建構課堂也可以打破學生“只見樹木、不見森林”的窄視思維限制，從而整體建構“數與代數”領域的概念和運算基礎，從思維層面建構“數形結合”的數學思想方法．因此，無論是從內容上還是從思想方法上來看，后建構課堂都對初中數學學習起著重要的作用．

1.2 關注教學基本要求，建構教學目標

蘇科版七年級上冊第二章《有理數》主要學習有理數的分類、絕對值與相反數、數軸等內容．因此，章節復習課的教學內容多、教學要求高，從知識的梳理開始，在讓學生感受問題的數學化、系統化、模塊化的同時，應注重培養他們的轉化能力、應用意識和創新意識．基于這樣的學科素養目標，本節課的教學目標設置如下：

(1)理解有理數的意義、運算法則以及相關概念：相反數、數軸、絕對值、倒數，會用合適的方法比較有理數的大?。?/p>

(2)體會分類討論、數形結合、化歸等數學思想方法；

(3)通過探究體驗，感知數學的價值，提高學習興趣和求知欲，同時在探究問題和解決問題的過程中，提升數學素養．

2 基于核心素養的后建構課堂教學實踐

2.1 利用開放性問題，從知識到網絡，搭設體系建構

師：我們今天來復習《有理數》這一章節的內容，在這一章節中你學了哪些知識？

生：學習了負數，因為數不夠用，所以產生了負數．

師：還有嗎？

生：知道了有理數和無理數的概念．

生：學了什么叫相反數和什么叫絕對值，以及絕對值的幾何意義．

生：學到了用畫數軸的方法可以直觀地表示數，我還會用數軸來比較數的大?。?/p>

生：學習了有理數的五種運算，知道有理數運算的法則．

師：這些知識之間有怎樣的關系？

師生共同建構章節知識網絡圖(圖1)．

圖1 有理數章節知識網絡圖

教學說明教師從學生已有的知識出發，利用開放性問題對本章的內容進行重新組合，不僅幫助學生梳理本章的知識內容，而且建構了知識點之間的聯系，這一環節讓學生將新授課時對知識的感性認識上升為理性認知，又將微觀的零散知識進行宏觀的系統化重構，讓學生體會整章知識之間的連貫性和系統性，從而建構整個單元知識體系．

2.2 利用探究性問題，從技能到方法，深度優化建構

問題1將下列各數填入相應的大括號里：

正分數{ … }，負有理數{ … }，整數{ … }，無理數{ … }．

師：請同學們思考一分鐘，回答具體分類．

師：這個題目里的數涉及到了哪些數？這些數可以怎么劃分？

生：可以分為有理數和無理數．

師：很好，那有理數可以分為什么呢？

生：有理數可以分為整數和分數．

師：很好，這是按照有理數的定義來分，可分為整數和分數.那么有理數還可以按照什么原則去分？

生：還可以按照符號來分，分為正有理數、0和負有理數．

師：非常好，那什么樣的數稱為無理數呢？

生：無限不循環小數稱為無理數．

師：非常好，這一道題考查有理數的分類．

教師出示如下問題：

問題2求值：若|x|=3，則x=．

師：這個題目怎么解？

生：x=3或-3．

師：很好，那如果把式子變成這樣(變式1)呢？

變式1 若|-x|=3，則x=．

生：跟原來一樣．

師：為什么？

生：因為絕對值的非負性，絕對值里面的正負號變化，結果不變的．

師：很好，那我再變．

變式2 若|-x|=|-3|，則x=．

生：還是一樣的．

師：為什么？

生：對后面|-3|先進行計算，等于3，就跟第一個變式一樣．

師：非常好，也就是說在做這一類題目時，能夠先運算的先進行運算，再觀察形式得出結果．

問題3在數軸上表示出-2,+(+3), -(-1.250),-5,4,50%．

師：請一個同學上黑板畫一畫．

學生上黑板畫圖，教師進行評講，并總結：

在畫數軸時要注意數軸的三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.在畫的時候還要注意數軸是一條直線，端點不能封死，標數字時，通常把數字標在直線下方．

師：很好，這是在畫數軸，數軸還可以起什么樣的作用？

生：比較大?。?/p>

師：那請同學將上述數用“<”連接起來．

師(針對生答)：你得出答案的依據是什么？

生：數軸上左邊的數小于右邊的數，數軸上的數從左往右依次變大．

師：很好，利用數軸我們可以直觀地觀察出數的大小關系，數軸對我們來說是一個非常有用的工具.這種方法將數和形進行結合，體現了數形結合的思想．

問題4計算：

-12+3×(-4)-(-8)÷(-2)．

學生上黑板板演，教師進行點評．

師：這道題考了什么樣的知識點？

生：考了有理數的混合運算．

師：那有理數運算遵循什么樣的順序呢？

生：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號內的；同級運算從左往右依次計算．

教學說明教學的目的不只是讓學生解題方法實現“程序化”，更是要讓學生解題方法實現“最優化”．優化學生的解題方法和解題技能是后建構課堂教學的教學重點，這一環節通過四個系列化問題引導學生對本章節的技能和方法進行回顧和優化探索，這樣的探索激發了學生渴求優化方法的強烈欲望[4]．為學生埋下了探索更優方法的種子，蘊含了思維生長的力量．

2.3 利用拓展性問題，從思想到素養，拓寬思維建構

圖2

問題5有理數a,b,c在數軸上的位置如圖2所示．

(1)用“>”或“<”填空：

b1，a1，cb；

(2)化簡：|b+1|+|a-1|-|c-b|．

思考兩分鐘，請學生闡述思路．

師：解決這個題目的原則是什么？化簡什么？

生：去絕對值！根據正數的絕對值等于其本身，負數的絕對值等于其相反數．

師：非常好，所以解決這類問題的第一步是什么？

生：判斷絕對值內式子的正負，判斷完了利用化簡原則進行化簡．

師：很好，觀察這個式子，我們如何判斷正負呢？將第二問和第一問聯系起來，同學們發現了什么嗎？

生：發現第二問里絕對值內的式子正是第一問里我們已經比較過大小的內容．

師：有沒有發現不一樣的地方？

生：|b+1|和另外兩個絕對值內部的式子不一樣．

師：同學們有什么想法嗎？

學生思考，并寫出|b-(-1)|的形式．

師：很好，這樣我們把三個絕對值內部的式子都統一轉化成了兩個數作差的形式．同學們思考一下，我們能迅速判斷出b+1的符號了嗎？為什么要化成作差的形式？

生：能判斷出|b-(-1)|里的式子是負數．原因是要和另外兩個保持一致．

師：還有其他原因嗎？從絕對值的定義來看呢？

生：絕對值的定義根本是表示距離．

師：很好，也就是說，在判斷絕對值內式子正負時，我們第一步干嘛？

生：化為作差的形式．

師：很好，也就是判斷絕對值內式子的正負時，首先要“變形”，這樣能幫助我們更好地判別絕對值內部的式子的正負．下面我們一起來總結一下絕對值化簡的解題步驟：①判斷絕對值內式子的正負時，首先要“變形”；②化簡；③去括號，要注意在將-|c-b|去絕對值號時，由于絕對值前面是“-”，去絕對值號后一定要把絕對值內部的“c-b”作為一個整體，寫成-(c-b)的形式，再去括號；④合并同類項．這道題根據數軸我們可以得到絕對值里式子的正負，所以可以直接化簡，但是如果沒有數軸，也沒有大小關系給你，當你不能判斷正負時，你又應該如何解決呢？

教學說明后建構課堂的本意就是讓學生能夠在復習的過程中自主建構，完善自己的知識體系，對知識的認知更加深刻，重點是讓學生理解知識的本質，而絕對值化簡的本質是判斷絕對值內式子的正負．

對于化簡|b+1|+|a-1|-|c-b|，首先要讓學生學會觀察，自主將絕對值內變為作差的形式，即|b-(-1)|+|a-1|-|c-b|．讓學生認識到判斷正負的前提是將絕對值表現為“距離”的形式，即絕對值符號內部是“作差”的形式：①|b+1|，學生不一定能一下判斷出絕對值符號內的正負，化成|b-(-1)|，能讓學生一目了然發現絕對值內部的這個式子是“小于-1的數與-1”作的差，以確定絕對值符號內是負數；②讓學生深刻地理解絕對值的本質是距離，表現為作差的形式，其實質就是絕對值的本質；③這個本質在下面的變式中也會用到，這樣就會有啟下的效果，后建構課堂的效果會更好；④另外也對應了這道題設置第一小問的原因，讓學生從已有的知識去求解未知的知識，也起到了承上的效果．

變式1 化簡：|x-1|+|x-3|．

師：思考一下，這道題該如何解決？

生：因為不知道x在哪里，我們可以對x進行分類討論．

師：分成幾類呢？能用數軸對數的區域進行分類嗎？

生：畫出數軸，并畫出3個區域．

師：很好，當我們將x限制在一個固定區域時，絕對值內的式子就能夠判斷正負并化簡了．

師(總結)：遇到字母位置不確定導致無法解決問題時，可以利用分類討論思想，對字母的范圍進行討論，這是常用的分類討論的思想．另外，雖然我們可以一下說出分類，但是借助數軸進行分類能夠更加直觀．以后在對復雜數分類時，我們都可以借助數軸，這樣不會出現漏分的情況．

教師板演分類討論格式和步驟，并總結：當遇到字母位置不確定導致無法解決問題時，可以利用分類討論思想，對字母的范圍進行討論．

師：解決了化簡問題，我們再來研究一下絕對值的和的最值問題．

教學說明在這個流程里就引入數軸：①提前為下面的變式2作鋪墊，同時也承上；②利用數軸將數進行分類，使學生的思路更清晰，不會出現少分類的情況；③在絕對值這個內容里，很多題目都會借助數軸來解答，可能題目給出的變式1比較簡單，看不出利用數軸將數進行分類的效果，但是對后面的變式3和變式4，將數分成的區域就會比較多，如果不借助數軸分類，漏分的情況可能會出現；④這四個變式都能與數軸建立聯系，以數軸貫穿這四個變式，學生對于將絕對值與數軸聯系起來的認知更加深刻．以后碰到類似這樣的題，看到絕對值，可以先畫個數軸，幫助解題．這樣更符合后建構課堂由點到面的一個結構，符合學生的認知．

變式2 |x-1|+|x-3|有最值嗎？如果有，當x取何值時有最值，最值是多少？

師：這個問題怎么思考？

生：可以借助數軸和絕對值的幾何意義來解決，這個式子可以看作是x到1的距離加上x到3的距離，借助數軸我們可以發現當x在1到3之間時，兩個絕對值的和最小，且最小值為2．

師：非常好，也就是說這種題目我們可以將數學式子轉化為數軸上的距離來解決，通過圖形能夠直觀地感受當x取何值時，和最?。?/p>

變式3 當x取何值時，|x-1|+ |x-3|+|x-4|有最值？最值是多少？

生：同樣借助數軸討論，觀察得出當x=3時，有最小值3．

變式4 對于|x-1|+|x-3|+|x-4|+|x-6|呢？你能否將這個規律進行推廣，當有若干個絕對值相加，求和的最值．

師：這個我們課后通過猜想、驗證去解決．

教學說明這里的思維提升著重在絕對值和數軸的相關問題上，通過數軸來解決絕對值化簡和絕對值最值問題，難度遞增．將數軸和絕對值結合在一起解決問題，讓學生積極參與到探究活動中，親歷“問題建模、問題分析、問題解決”的全過程，層層遞進，從易到難，由淺入深，讓學生在不斷思考中提升能力．

3 對后建構課堂教學的思考

3.1 教學設計的立意

后建構復習課要立足學生的認知，以問題為生長探究的載體，以“質疑—解構—再構”為探究路徑，以培養學生的核心素養為教學目標，注重知識的生長點和關聯性，使學生在探究過程中體悟技能方法的本質和思維的延續性，從知識間的表征關系到思維的內核品質，讓學生經歷知識的發展、方法的生成、思維的生長，從而提升學生的學科素養．

3.2 教學反思

(1)由點狀到體系，引導學生認知再彰顯，助化知識結構

后建構復習課要立足于章節整體框架，引導學生梳理回顧，將知識點串成線、連成片、結成網．學生的認知結構逐步完善，如何能讓學生靈活運用知識則必須使知識在學生頭腦中內化．要達到這一目標，一方面，在學生梳理溝通形成知識網絡時，教師要引導學生根據網絡圖進行反思，進一步理清知識間的聯系．另一方面，綜合練習中要針對知識間的聯系和規律設計練習，使學生在練習中內化．教師在課堂中起著主導作用，而不是主體作用，教師引導學生的思維方向，決定了學生的思維深度和廣度．

對于章節復習，教師要立足于在高觀點下看待初等數學，把課堂還給學生，幫助學生在已有知識基礎上對所學內容進行深度挖掘，以絕對值和數軸為背景，深入挖掘較為復雜的題目，促使學生進一步地掌握知識的同時突破難題，使對知識的理解以及自我思考解決問題的能力都得到進一步的提升．教師通過“本章學習了什么”這一開放式的問題，激發學生學習的興趣，調動學生主動思考，并給學生時間和空間去思考、總結、交流，鼓勵學生構建自己的知識網絡，完善認知結構．同時通過一組習題加強學生對知識的理解，讓學生體會章節知識的連貫性，形成知識體系．

(2)由典例到變式，激發學生能力再創新，優化方法結構

后建構復習課可以通過典型例題到變式的探究，從而掌握一般問題具有的共性表象特征，為了更好地掌握解決問題的技能和方法，我們往往需要從典型問題出發，抓住問題的本質，通過變式的比較、分析、探究，從而揭示問題的一般規律．

本節課中，變式提升著重在絕對值和數軸的相關問題上，通過數軸來解決絕對值化簡和絕對值最值問題，難度遞增，有效地將數軸和絕對值結合在一起解決問題，讓學生體會到數軸的重要性．變式例題選擇要有共性，符合知識產生順序和學生思維邏輯，由淺入深、由易到難，給學生足夠的時間思考、感悟、發現，自主歸納；除了注意例題之間的聯系外，例題還要具有啟發性，注重培養學生的創造性思維．最后一道綜合提高題，要融合所有知識點，讓學生體會知識之間的聯系，這樣從有典例到變式的探究能使解決問題的技能和方法明朗地凸顯出來，從而達到對問題的深入分析和重新建構．

(3)由策略到評價，強化學生素養再提升，內化思維結構

后建構復習課中，教師積極的評價和生生之間的評價能讓學生體驗到學習的獲得感．從某種意義上講，學生的多角度、多方向、多層次的思維方式、創新精神、創新能力不是學出來的，而是激發、鼓勵出來的．

本節課中，教師對于學生出現的問題適當評價，但不強行引導，做到“點到即可”．如通過開放式的形式來回顧本章內容和知識要點，其他學生再相互進行補充說明和點評，教師總結．“在這一章節中你學了什么知識？”用這種引導式的點評引導學生自動梳理這一章節的知識；接著以問題“它們之間有怎樣的關系？”這種點撥式的點評引導學生構建知識網絡；“這個題目里的數涉及到了哪些數？這些數可以怎么劃分？”用這種策略式的點評對學生解題的方法進行引導；“非常好，那應該怎樣做呢？”用這樣追問式的點評啟發學生找到解題策略；“解決這個題目的原則是什么？化簡什么？”引導學生的思維角度和方向，從而提升學生的數學學科素養．