強化解題思路 凸顯思維品質
——“圓錐曲線習題分析課”的設計及反思

趙士元

(江蘇省蘇州市吳中區教學與教育科學研究室 215104)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級重點高中，學習基礎較好，學生的邏輯判斷能力和運算能力普遍較強，但邏輯分析能力不足.

1.2 教材分析

《圓錐曲線》是高中數學選修二的主要內容，包括橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質，這些內容既是高中數學的重點又是高中數學的難點.由于三大圓錐曲線具有統一的定義，因此三者的性質之間必然具有高度的相似性，系統了解它們之間的相似性有利于學生從宏觀上把握三大圓錐曲線，使碎片化的知識點形成系列化的知識體系.

解析幾何的宗旨是代數法處理幾何問題，突出體現了數形結合的思想，而圓錐曲線作為解析幾何的主要內容，綜合性比較強，對學生的運算要求比較高，是學生必須牢固掌握的內容.

教學重點 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程、性質及其相互聯系.

教學難點 以導問的形式引導學生分析思考數學問題.

2 教學過程

2.1 熱身訓練

(5)點P在焦點為F的拋物線y2=2px(p>0)上，則PF=，如何推算出來的？若過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB=.

2.2 例題講解

(1)求橢圓C1以及拋物線C2的標準方程；

·教學設計

先解決第(1)題：

第一步 讀題

出示題目后學生讀題兩分鐘，而后教師逐步出示如下幾個問題，供學生相互討論交流：

問題1“M是橢圓與雙曲線在第一象限內的交點”隱藏著什么樣的信息？

問題3線段MF是什么？點M是橢圓和拋物線的交點，且它們有公共焦點，暗示了什么信息？

第二步 設計解題思路

①利用橢圓三個基本量本身的關系、橢圓和拋物線具有公共焦點、橢圓右焦半徑等于拋物線的焦半徑這三個條件列出關系式(可列三個)得到方程組；②求解這個方程組，求出a,b,c的值.

第三步 實施解題計劃

接下來研究第(2)題.

第一步 讀題

先弄清楚如下幾個問題：

問題5“是否存在”這一類探究性問題通常的格式是怎樣的？

留一定時間給學生思考并在草稿紙上書寫，而后讓學生明確應先求出A,B兩點的橫坐標的和與積.

第二步 設計解題計劃

第三步 實施解題計劃

2.3 課堂小結及作業布置(略)

3 教學反思

反思之一解決一個數學問題通常包含“審題”“設計解題計劃”“實施解題計劃”和“解題反思”這四個步驟[1].當然，對一個熟練的解題者而言并不一定要嚴格按這四個步驟執行，但在思考的潛意識里一定有這四個步驟.在平時解題教學中經常滲透這種思考模式，對提升學生數學學科素養和思維能力非常有用.

這一思路比較直觀，從特例(或極端情形)出發找出答案再進行驗證，于是將學生比較陌生的探究性問題轉化為如下一個比較熟悉的證明題：

反思之四遇到一個綜合性比較強的數學問題時，許多學生往往束手無策，這與平時的分析和訓練有關，遇到有一定難度的數學問題時如何幫助學生在題設和目標之間通過導問的形式架設若干階梯，將一個“大問題”分解為若干個“小問題”是教師在例題教學設計過程中必須用心思考的問題，這就是我們通常所說的“導問式教學設計”[2].或許有些教師會認為以導問的形式組織教學活動會影響教學進程，但是如果沒有平時規范化的思維訓練，怎么可能使我們的學生在考場上做到得心應手呢？有時，暫時的“慢”是為了更好的“快”.

反思之五課堂教學不能僅僅滿足于讓學生聽懂，而要追求讓學生從“學會”上升到“會學”，更要讓學生實現從“不好”到“好”的轉變.“聽懂”是課堂教學最基本的要求，從“不好”到“好”是課堂教學的最高目標，采用導問式教學設計可以引導學生從常規策略入手追求最佳解決問題的途徑，有利于活躍學生思維、提升思維品質.