數形結合，為數學插上“雙翼”
——小學數學教學中的“數”與“形”

福建省福州市江南水都小學 胡錦平

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）闡明了數學思想方法之于數學學習的重要性，并將數形結合作為數學學科三大思想方法之一。建構主義數學學習核心觀點指明，數學學習是學生遷移已有數學經驗，把握數學本質而主動建構的活動，“數”與“形”是數學本質的具體體現。因此，有效地應用數形結合法實施小學數學教學，可以在把握“數”與“形”關系的基礎上，引導學生自覺遷移學習經驗，深入探尋數學知識的幾何意義和代數意義，使學生在統一形象思維和邏輯思維的過程中，發現數學本質，加深對數學知識的理解，同時發展數學學習能力。

一、在小學數學課堂中實施數形結合教學的必要性

（一）增強學生數學學習興趣

小學數學教材中知識的邏輯性與抽象性特征比較強，要想讓學生精準理解、認知數學概念，需要學生具備較強的邏輯思維能力。而小學生自身的邏輯思維、認知素養有待增強，抽象、枯燥的數學概念很容易降低、打擊學生探索數學知識的熱情，數學課堂活動效率比較低。因此，通過開展數形結合教學活動，能夠借助于數、形把抽象難懂的數學概念清晰化展示出來，提升學生自身的數學認知水平、理解能力。比如，在講解、探究“分數的意義”數學課程知識期間，如果只是簡單闡述“分數是把整數1平均分為若干份”，學生只能記憶、背誦這句話，但是對于“整數1”缺乏深層次的認知。因此，教師可以采用“圖形涂色”的形式，實現數形的結合，讓學生明白“整數1”代表的是一個整體，并不是自然數1，讓抽象、復雜的數學概念轉化為直觀化的圖形，這樣學生更容易認知、理解，從而更加積極地參與數學課程活動。

（二）增強學生的數學學習能力

在小學數學課程中實施數形結合教學，能夠提高學生的數學學習能力，豐富學生的數學情感，讓學生更為自主地參與探究活動，對所學數學知識、概念、公式有更深刻的理解。數學主要是研究空間形式與數量關系的一門課程，在數學課堂活動中滲透數形結合思想方法，能夠指導、幫助學生解決數學問題，讓復雜的數學問題簡單化。借助于數學圖形來替代復雜、抽象的數量關系，能讓學生從中掌握更多的數學解題技巧和學習技巧，發展學生多項數學學科能力，如直觀思維、抽象思維等，促使學生綜合發展與成長。另外，在運用數形結合數學思想方法期間，能夠展示出數學圖形中的直觀美，讓學生借助理論知識解決社會生活問題，實現數學課程知識和生活的融合、關聯；能夠讓學生感知到探索、學習數學課程知識的意義，進而端正自己的學習態度。

二、在小學數學課堂中運用數形結合的現狀

（一）重視技巧、輕視方法

在當前的小學數學課程活動中，教師意識到了實施數形結合教學的意義、必要性，但是在具體落實期間，存在重視技巧、輕視方法的現象，無法展示出數形結合的教育價值和意義。出現以上現象的原因在于教師受到應試教育理念的影響，依然重視重復刷題、練習，忽視了讓學生自主學習、自主探究。同時，學生的知識認知處于一種螺旋上升的狀態之中，但是教師習慣于把數學課程知識直接展示給學生，忽視了利用數形結合思想、方法深度解析數學課程知識構成和形成的過程，無法發展學生數學邏輯思維。

（二）學生運用數形結合不夠熟練

通過實際調查能夠發現，當前很多學生會利用數形結合思想、方法來解決數學問題，但是對于數形結合的運用不夠熟練，缺乏獨立作圖的意識、能力。在解決復雜的數學問題期間，學生會嘗試用作圖的方式來解決問題，以此來梳理題意、思路，但是對于“數”和“形”的認知處于一種割裂狀態中，無法靈活轉換“數”和“形”，其發散思維能力有待提升。同時，部分學生存在惰性心理，認為運用數形結合方法、思想會浪費大量的做題時間，依然會選擇用“笨方法”來解決問題，以至于無法掌握運用數形結合的技巧和方法。

三、小學數學數形結合教學策略

（一）以形助數，直觀認知

以形助數是指利用直觀的“形”引導學生探究抽象的“數”，使學生直觀地掌握“數”的教學活動。在實施數形結合教學的時候，筆者以“數”為指導，挖掘“形”，并應用多樣策略將“形”展現給學生，驅動他們直觀地探究“數”。

1.引入實物，直觀感受“數”

眾所周知，空間觀念是學生參與數學教學必須具備的能力。在空間觀念的作用下，學生可以實現事物特征與幾何圖形的相互作用，深入掌握數學內容。幾何圖形具有直觀性，便于學生在形象思維的作用下，對其建立直觀認知，由此認識數學表象，為深入地理解數學做好準備。對此，在實施數形結合教學的時候，筆者根據“數”內容，挖掘有關實物資源，將其展現給學生，輔助學生建立“數”的表象。

以“長度單位”教學為例，引導學生在腦海中建立1cm、1dm、1m的表象是使他們理解長度單位內容的關鍵。在實施課堂教學的時候，教師利用長度為1cm、1dm、1m的木棒，引導學生觀察，在腦海中建立表象。接著進行測量，獲得具體數據，借此準確地將長度單位與實際事物的長度建立聯系，直觀認知長度單位，為深入探究做好準備。

2.引入線段圖，直觀理解問題

數形結合思想方法最為顯著的特點是化復雜為簡單，而直觀的圖形是化抽象為簡單的支撐。線段圖是數學直觀圖形的重要組成部分，是直觀展現抽象復雜的數量關系的工具。數學問題是數學學科的重要內容，是學生理解數學內容的載體。在實施數形結合教學的時候，筆者以數學問題為基礎引入線段圖，引導學生通過畫線段圖，直觀地展現問題條件，進而獲取解題思路，順利地解決問題，理解數學內容。

以“植樹問題”教學為例，教師在課堂上呈現如此問題：“園林局準備在一條長100m的小路一側種樹，每棵樹之間相隔5m。在兩端都要種樹的情況下，請問這條小路上一共會種多少棵樹？”在解決這個問題的時候，大部分學生會在兩端都栽樹的條件上犯難。基于此，教師鼓勵他們根據問題條件繪畫出線段圖，而且學生發現100m這個數據太大了，進而引發了從簡單數據入手的需求，部分學生以20m為例，畫出如圖1所示線段圖。

在線段圖的作用下，學生進行形象思維，發現兩端都栽樹的特點：當兩端都栽樹的情況下，栽樹的數量比間隔數多一。教師肯定學生的發現，同時鼓勵他們利用此發現建立數學模型，并應用數學模型解決課前的問題。實踐表明，學生輕松地沿著正確思路解決了數學問題，加深了對“植樹問題”的理解。立足學生的問題解決情況，教師改變問題條件：“如果是只一端栽樹或者兩端都不栽樹的時候呢？”進而引導學生繼續利用線段圖解決問題，建構并完善數學模型。如此做法，不僅使學生獲取了解決“植樹問題”的方法，提高了問題解決的能力，同時還使他們切實感受到了數形結合的魅力。

（二）以數解形，準確理解

以數解形是指利用具體的代數知識解決抽象的幾何問題。“數”具有形式化的特點，可以“直觀”地展現研究對象的表征，進而使學生準確地理解。在具體落實、應用數形結合理念期間，教師可以通過展示“數”來鼓勵、引導學生探究“形”，從中來感知知識邏輯結構的奇妙之處。

1.利用數的具體特征，全面滲透數學模型思想

在新課標之中具體表明，模型思想屬于需要重點研究的思想方法。通過運用、滲透模型思想，能夠用簡練的數學語言概括生活、社會問題，展示出最完整、清晰的數學知識結構。數學模型“直觀”地呈現了現實問題的表征和關系，便于學生準確理解數學問題。因此，在實施數學教學的時候，筆者根據教學需要滲透模型思想。

以“長方體體積”的教學為例，在課堂上，教師以探究長方體體積的計算公式（v=abh）為目的，先引導學生隨機地選擇幾個體積為1cm3的小正方體，用其拼湊出一個長方體。接著，在小組中分享各自拼湊出的長方體，數一數每個長方體使用的正方體個數，建立表格。通過拼一拼、數一數，大部分學生發現拼出的長方體的體積是使用的小正方體的個數。教師先肯定學生的發現，緊接著引導他們“測量”長方體的長、寬、高，并應用“測量”到的數據進行計算，探究其與長方體體積之間存在何種關系。通過合作探究，大部分學生了解到“長方體的體積=每行的個數×行數×層數=長×寬×高”。基于此，教師鼓勵他們用數學符號建構出數學模型：v=abh。由此可見，利用數的特點滲透模型思想，可以使學生經歷從特殊到一般的理解過程，逐步地總結出某一事物的特征，進而得出數學結論和數學模型，加深對數學知識的理解。在此過程中，學生不但鍛煉了數學探究能力和數學抽象能力，而且還積累了數學學習方法，提高了解決問題的能力。

2.活用數學公式，把握圖形關系

數學公式是數學學科的基礎內容。小學數學涉及的公式有很多，如周長、面積、體積的計算公式等。其實，很多數學知識點間都存在聯系，那就要求我們教師要引導學生融會貫通地學習、應用數學。對此，在實施數形結合教學的時候，筆者以公式為基礎，引導學生借此探尋圖形關系，順其自然地建構知識結構，實現有意義的建構。

以“多邊形的面積”為例，在自主探究的過程中，學生通過剪拼等活動，利用數形結合推導出了平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形的面積計算方法。事實上，平行四邊形、三角形和梯形三者的計算方法是相通的。對此，教師立足學生的自主探究所得，先利用課件展現圖2內容。

圖2

引導學生遷移學習經驗，描述梯形的面積計算公式：s=（a+b）h÷2。接著，教師對梯形進行操作，使其上底與下底相等。此時，學生眼前呈現出一個平行四邊形，如圖3所示。

圖3

在觀看操作的過程中，大部分學生積極思考，結合圖形變化情況，得出s=（a+a）h÷2=ah這樣的面積計算方法。然后，教師繼續操作，讓梯形的上底邊為0。學生發現梯形變成了一個三角形，如圖4所示。

圖4

結合圖形變化情況，學生輕松地發現，面積還可以這樣計算：s=（a+0）h÷2=ah÷2。此時此刻，無須教師多言，學生自覺地發現了平行四邊形、梯形和三角形的轉化關系，加深了對所學的理解。教師則立足學生的發現進行總結，如圖5所示。

圖5

這樣，學生在學習過程中不斷完善知識結構，發展空間觀念，提高學習能力。

3.進行數學表達，精準描述圖形

新課標明確要求教師培養學生數學表達能力。“數”具有精準性，是學生進行數學表達的“工具”。在利用“數”進行表達的過程中，學生會精準地描述出圖形所在的位置或運動情況，并在腦海中建立直觀圖像，發展空間想象能力。由此，筆者在實施數形結合教學的時候，會引導學生進行數學表達。

以“平移”教學為例，教師帶領學生玩游戲，在玩游戲的過程中，鼓勵學生毛遂自薦，到講臺上進行體驗并提出要求：“向右側跨一步，再向右側跨三步，之后向前跨兩步。”在如此要求的作用下，學生做出相應動作。根據學生做出的動作，教師在交互式電子白板上進行描繪。在描繪的過程中，大部分學生高度集中注意力盯著白板，尤其將剛才展示的移動現象與交互式電子白板上的數學圖像結合在一起，對平移建構直觀認知，同時積累進行數學表達的經驗。接著，教師在交互式電子白板上的方格紙上移動點，引導學生觀察移動過程，并利用數學語言進行描述。教師針對學生描述的內容進行點撥，使學生掌握正確的數學語言。如此教學，不僅使學生借助“數”理解“形”，加深對所學的理解，還使學生發揮自主性地鍛煉了數學表達能力，有利于提高數學學習水平。

（三）數形互助，解決問題

數形互助是根據數學問題，選用“以形助數”“以數解形”這兩種方法來解決問題的方法。數形互助是基于“以形助數”“以數解形”的。解決數學問題是數學學科的重要內容，新課標明文要求教師指導學生有方法地解決問題。

1.利用數形結合解決經典問題

以“雞兔同籠”為例，這是經典的數學問題，也是“數形互助”的典型代表。大部分學生在解決這個問題的時候，存在諸多的疑惑。正確的解題方法和技巧是有效解決問題的關鍵，所以在實施問題解決教學的時候，教師重點教給學生“數形互助”的解題方法。教師向學生呈現問題：“籠子里有若干只雞和兔，這些兔子和雞共有35個頭，94只腳。請問，兔子和雞各有多少只？”在提出問題后，教師先鼓勵學生自主思考，遷移數形結合經驗，使用適宜的方法解決問題。在巡視課堂的時候，教師發現部分學生嘗試應用畫圖的方法尋找答案。因此教師借機進行引導，可以用圓圈表示雞和兔子頭。接著，教師改變問題條件，引導學生探究：“假如籠子里都是雞，請問有多少只腳呢？”在此問題的作用下，學生在之前畫出的圓圈上畫出兩只腳，如圖6所示。學生發現現在一共有70只腳（35×2=70）。

圖6

立足此發現，不少學生產生了質疑：“原題目給出的條件是94只腳，為什么現在卻少了24只腳呢？”如此質疑的提出，一下子引發了學生的探究興趣。不少學生回顧解決問題的過程，發現是因為把兔子看成雞了，一只兔子比一只雞多兩只腳。在發現問題原因后，學生馬上將24只腳添加到圓圈上，表示兔子的數量：12只（24÷2=12）。那么雞的數量就是23只（35-12=23），如圖7所示。

圖7

學生在解決這個問題的過程中，始終將“數”轉化為“形”，并用“形”探究“數”，實現了“數形互助”，有效地解決了數學問題。同時，在解決問題的過程中，學生的思維始終發揮作用，有利于鍛煉思維能力。與此同時，不少學生還因為體驗這樣解決問題的活動，增強了對數形互助的認知，有利于積累解決數學問題的經驗，提高數學問題解決水平。在學生“數形互助”地解決了問題后，教師鼓勵他們繼續利用“數形互助”探究其他方法，借此掌握“雞兔同籠”解題技巧。

2.在實踐活動中運用數形結合思想

在小學數學課程活動中，要想利用“以形助數”“以數解形”解決問題，教師要積極組織實踐活動，讓學生在實踐活動中運用數形結合思想，實現數學理論知識和實踐活動的整合，讓自身的數學課程知識體系更加完整，培育學生良好的數學學科素養。首先，教師要鼓勵學生自主動手操作，增強學生的數形結合意識，檢驗學生是否真正掌握數形結合思想、方法，展示出數形結合的價值。比如，在講解“條形統計圖”數學課程知識期間，教師可以讓學生自主獲取、搜集數據，并且對數據進行分析、整理，讓學生感知到條形統計圖的便捷化、直觀化。又比如，在講解“因數與倍數”課程知識期間，教師可以讓學生以小組的方式來探究知識、問題，通過自己的努力把小正方形拼接為長方形，以此來探索、分析“乘數與積關系”和“因數與倍數關系”間的相同點，潛移默化鍛煉學生的知識探究能力，提高數學課程活動質量。另外，在小學數學實踐活動中，教師要對學生展開綜合評價，如學生是否可以熟練運用數形結合思想、學生的動手操作能力、學生的合作學習能力等，多表揚、肯定學生，讓學生獲得學習的自信心。

綜上所述，“以形助數”“以數解形”“數形互助”是數形結合思想方法在數學教學實踐中的具體表現，是推動學生掌握數形結合思想方法的“法寶”，有利于學生有方法地學習數學知識，解決數學問題，提高數學學習效果。所以，在實施小學數學教學的時候，教師不妨立足“數”與“形”的關系，以數學教學內容為基礎，應用多樣的策略融入數形結合思想方法，創設多樣的數形結合活動，使學生有效地探究數學內容、鍛煉數學學習能力、掌握數學思想方法，借此有方法地學習數學，提高數學學習效果，提升數學教學質量。