GeoGebra軟件在中學數學教學中的應用探究

◎周春燕 王 靜 吳小濤 毛雅茜

(黃岡師范學院，湖北 黃岡 438000)

一、研究背景

在如今的“互聯網+”時代，根據前期的教學實踐研究可以發現，對于信息技術軟件的適當、正確使用，學生的數學思維得到了有效提升，數學概念也得到了深入理解，如今的數學課堂在這樣的信息技術環境下得到了改善，有助于突破[1].研究發現，GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件是一款動態教學軟件，它功能豐富，能應對教與學兩方面、進行幾何板塊的作圖、代數板塊的運算和數據處理.更重要的是，在整個教學過程中，該軟件能滲透每個板塊的內容本質，幫助學生理解“抽象的數”“可見的形”之間的聯系橋梁，理解相關概念的本質，使得學生的思維得到相應水平的發展，改變以往課堂上對于數學概念“只可意會不可言傳”的抽象性[2].因此，將GGB軟件的直觀性優勢應用于實際數學課堂，達到數學課堂與信息技術的“深度融合”是許多教育研究者和教師的追求.

當今時代正在發生突飛猛進的變化，新課標的研究內容也發生著與時俱進的變化，表明教育事業需要不斷創新與發展.比如，在2019年的人教版高中數學教材中，GGB軟件出現在教科書中，成為當前信息技術軟件應用于數學教學的推薦軟件.在實際課堂教學中，GGB軟件的教學優勢是，將于書本上抽象的文字、概念等，通過直觀性的演示轉換成學生可以理解的清晰直觀的圖像、知識.這加深了學生對于知識的理解，學習興趣、學習積極性都得到提高，促進教學質量、教學有效性的提升，高效實施課堂教學目標[3].

二、GGB軟件簡介

GGB軟件是一款動態性的教學軟件，由于當前教學現狀以及軟件自身優勢可見，該軟件的應用頻率以及效果都有顯著提升.首先，該軟件在數學教學中對代數和幾何兩個板塊的內容教學時具有顯著作用，因此它的英文全稱GeoGebra由Geometry(幾何)的前三個字母geo及Algebra(代數)的后五個字母gebra組合而成.但該軟件的功能包含并不僅限于這兩個方面，如立體幾何、統計與微積分、立體幾何、平面幾何、列表、代數等.由于數學課堂中的大多數軟件都是非常抽象的，而處于該階段的學生的大多數思維的抽象性還不夠完善，導致對于集合、函數這樣高度抽象性教學內容的教學效果并不是太好.因此，通過相關研究可以發現，該軟件在數學教學中最顯著的優勢在于動態教學性，可以清晰實現數形結合，將其中抽象性的內容進行直觀展示，促使學生的思維形成形象的、動態的、具體的知識，使得概念得到深入理解[4].

三、GGB軟件在中學數學課堂中的應用探究

(一)在函數中的應用

在中學數學實際課堂中，函數是其中重要的一條主線，函數的相關內容是需要學生在學習的過程中主動概括理解.這一教學內容是抽象的、不直觀的，對于學生學習有一定的難度，學生常常感到無從下手.要想解決這些問題，需要幫助學生對這一內容進行直觀性地理解，加強學習的興趣[5].函數的圖像能清楚直觀地顯示出函數的性質，這就是函數數量關系中直觀性的“形”，這使數學規律得到了清楚的表達.在數學課堂教學中，教師可以通過有效的利用GGB軟件繪制函數圖像，將抽象的函數關系式直觀地表現出來，使其變活了，學生能夠直觀地理解其性質.同時，在利用數學知識解決有關實際問題時，根據需要的要求畫出函數圖像，靈活運用數形結合，能夠更加深入、有效、直觀地進行數學有關研究[6]，對問題能有更深入的理解.下面介紹幾個在函數教學中的案例.

1.繪制初等函數的圖像

指數函數y=ax和對數函數y=logax是高一學生接觸較早的兩大基本初等函數，在數學課堂上，通過教師的引導，學生在GGB軟件中可以清晰、簡單地繪制出它們的圖像，進而直觀深入地研究其性質(如圖1所示).

圖1 y=ax，y=logax的圖像

在該軟件中繪制y=ax，y=logax等類型的中學階段需要學習的函數，學生利用函數圖像，同時利用滑竿滑動改變數值a的大小，即可清楚、直觀地探究得到函數的性質.

2.繪制分段函數的圖像

圖2 分段函數的圖像

如圖2所示，可見在研究分段函數的性質時，該軟件的最顯著作用在于可以加強教學的直觀性.

在函數內容的有關教學中，GGB軟件的優勢在于可以動態展示函數圖像；還可以在教師教學時體現教師角度“動態教學”的效果，有效提升教師的教學效果.這樣進行教學設計的原因在于，能夠加強學生對函數知識更深入的理解，能更好地研究其性質，更好地研究與圖像的關聯.在以后的學習中，對函數能進行更直觀的刻畫，更好地進行教學，加強教學的直觀性，促進學生深入學習.

(二)在幾何中的應用

幾何是中學數學課堂中的另一重要主線，學習幾何，學生是學習幾何的結構和幾何形狀，然后對它們的關系和特點進行分析[7].學習幾何的難點在于需要將文字語言、圖形語言、符號語言這幾種語言進行相互轉化，以及將文字條件與圖形條件和符號進行相互轉化.這些難點對于學生而言是非常抽象的，正因如此GGB軟件應用于數學幾何教學中，由于它的直觀性，抽象的幾何問題也就迎刃而解了.

在慣性思維中，數學課堂是枯燥乏味的，學生存在著排斥意識，但將GGB在適當的教學板塊中，有效運用于數學課堂，可以增添學生的探究意識，讓學生自己動手動腦去操作，去親身“做數學”，鼓勵學生進行有趣的探究和實驗[8].下面介紹一個在幾何教學中的案例：圓柱切割的截面圖形有哪些？

圓柱可以截出4種截面，有圓形，有長方形，有橢圓形，有類似于橢圓一部分的圖形.在實際教學課堂中，學生運用頭腦想象出來是相當抽象的，下面運用GGB軟件的3D繪圖功能繪制其截面圖形，展示其直觀教學的優勢.

1.圓 形

當截面與圓柱體的底面平行時，截面為圓形，如圖3所示.

圖3 截面為圓形

2.長方形

當截面與圓柱體的底面垂直時，截面為長方形，特殊情況下截面為正方形，如圖4、圖5所示.

圖4 截面為長方形

圖5 截面為正方形

3.橢圓形(部分)

當截面與上、下兩底面的交線長不相等時，截面是類似于橢圓的一部分的圖形，如圖6、圖7所示.

圖6 過一底面，截面為橢圓形(部分)

圖7 過兩底面，截面為橢圓形(部分)

4.橢圓形

當截面與圓柱的底面成一銳角時，截面為橢圓形，如圖8所示.

圖8 截面為橢圓形

從以上案例可以看出，使用GGB的3D功能來繪制立體幾何，借助其形象生動具體的優勢解決有關問題，能激發學生學習數學的興趣，感受到數學的無窮魅力，吸引學生進行深入探索，讓抽象復雜的問題變得簡單易懂，鼓勵師生在今后的教學中有效運用該軟件.運用GGB軟件繪制幾何圖形的3D模型，讓原本抽象的立體幾何在學生的頭腦里清晰起來，產生了深刻的影響，有效提高了教學效果.

四、GGB軟件在教學中表現出的優勢

(一)GGB具有代數、幾何功能

在目前實際的中學數學課堂中，課堂上所需要的動態教學軟件應具有代數、幾何這兩大板塊的功能，GGB軟件正好符合.首先，該軟件名稱GeoGebra的前三個字母取自英文單詞幾何(Geometry)的前三個字母，后五個字母取自代數的英文單詞(Algebra).這就很形象地展示了GGB軟件的代數與幾何功能，一方面是關于代數的，也就是該軟件有可以處理數方面的功能，如函數的微分與積分；另一方面是關于幾何的，可以畫出點、線、面、多邊形、立體圖形等.

(二)可以讓學生親歷操作過程，參與數學活動

GGB軟件在教學上的優勢體現在兩個方面：一是GGB可以在短時間內達到動態演示，可以在動態的過程中測量角度、長度等，可通過滑竿工具，簡單快捷地變換圖形的形狀、大小等.這可以幫助學生不是抽象地接受教師傳遞過來的經驗，而是能夠自主“研究數學”，進行數學實驗.二是GGB提供的與傳統教學環境不一樣的理想的問題求解環境，可以促進學生根據自己的興趣愛好，自主探究解決更多的創造性問題.比如，像文中解決“圓柱體的截面圖形是什么”時，直觀的動態演示讓學生的理解更清晰，掌握起來更靈活.利用GGB軟件中的繪制立體圖形選項，可以快速繪制出一個圓柱體，然后根據題目要求，引導學生探究繪制截面圖形，可利用繪制點、線、 面等操作，按照一點的思維方式，直觀且清晰地顯示出截面圖形.學生的思維更加直觀，思考的空間也更加寬泛，能通過自己的探究得到問題答案.在這樣的學習條件下，學生的學習興趣能得到提高，創新能力、解決問題的能力、動手操作能力、思維理解力都能得到顯著提高.

(三)利用GGB動態展示教學內容，把抽象的數學教學變得形象直觀

初中階段對于學生而言是形象思維向抽象思維的轉變階段，而數學又是一門邏輯性強、抽象性大的主要學習科目，因此這個階段的數學學習新增了函數、立體幾何等抽象性較強的學習內容.在學習的初始階段，大部分學生是非常吃力的，并且厭學情緒會日益增長.因此，教師對學生的引導，以及教學方法、教學工具的使用就應該加以改進.因此，在當前的信息化教學日益高漲的教學情境下，教學研究者以及一線教師應多采用信息技術軟件，利用其視覺化、多樣化、形象化的優勢，應用其可視化的教學特點，對課堂進行創造性的設計，優化課堂.在這樣的教學過程中，數學概念尤其是抽象概念，能得到更好的形成與發展，真正展現出數學思維的實質以及具體的形成過程.重要的是，在這樣的一個動態教學的環境下展示抽象的數學問題和內容，能夠更加直觀、清晰、生動，將抽象的內容具體化，教學的趣味性也能夠得到提高，從而激發學生的學習興趣.

五、結 語

數學是一門研究事物本質的學科，是一種研究工具，它最大的特點也是它的最大難點，就是具有思維的抽象性、推理的嚴謹性和應用的廣泛性.通過本文以及相關文獻可發現，GGB軟件運用于課堂教學可增強教學直觀性，可為課堂教學提供直觀的觀察、視覺的感知、準確的數據等，這對于揭示數據需要傳遞的內在信息、幫助學生深入理解數學本質、培養數學思維品質、發展數學核心素養都具有重要的作用[9].

GGB軟件能處理代數、解析幾何、立體幾何、微積分與導數、概率與統計等中學數學課堂中的大部分教學內容，這相對于幾何畫板等常規數學教學軟件而言有著不容忽視的全方位優勢，這可能會帶來一場基于“數學可視化”方面的新變革，能逐步實現利用信息技術進行有效教學，實現信息技術與數學課堂的深度融合.教師應借助GGB軟件的“動態展示”“繪圖”“3D演示”等強大的功能，引導學生展開探究，加深學生的領悟，深入數學教學的內部，從而直觀地揭示數學的“廬山真面目”，豐富我們的課堂，使我們的教學更加智慧、有趣、形象、生動.