初中生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)的實踐與思考

山東省淄博市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)第一中學(xué) 劉 淼

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成的、具有數(shù)學(xué)學(xué)科特性的必備品格和關(guān)鍵能力。其中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“靈魂”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。下面筆者以4個教學(xué)片斷為例，說明初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略。

一、以數(shù)學(xué)核心概念形成根基

概念是思維的單元和細(xì)胞，重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實的是抓住數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)。選取學(xué)生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)抽象過程，在概念形成的教學(xué)中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象。

案例1 函數(shù)的概念課

（一）創(chuàng)設(shè)情境，初步形成概念

情境1：在旅途中偶遇某水庫，水庫的某處水深h（米）與蓄水量V（萬立方米），數(shù)據(jù)變化見表1。

表1

（1）在這個變化過程中，有幾個變量？

（2）這兩個量的數(shù)值是否發(fā)生變化？V的值隨h的值的變化而變化嗎？

（3）當(dāng)水深h確定時，該水庫蓄水量V是否確定？唯一嗎？舉例說明。

（二）歸納本質(zhì)，形成概念

本案例從“問題情境—抽象概括—解釋應(yīng)用”的線索展開，通過一組類似問題的追問，將學(xué)生對函數(shù)概念的理解由“變化而變化”遞進(jìn)至“確定而確定”，順勢歸納出概念。此后通過正反例的辨析從多角度理解概念。由此可見，本案例著力讓學(xué)生充分經(jīng)歷函數(shù)概念的發(fā)生發(fā)展過程，使得學(xué)生逐漸將抽象的函數(shù)概念具體化、清晰化，由此順利達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

二、以數(shù)學(xué)抽象概括能力形成為重點

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時進(jìn)行由特殊到一般——數(shù)學(xué)模型化思維是一個有效的策略。由特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象概括就是將“數(shù)學(xué)材料數(shù)學(xué)化，發(fā)現(xiàn)不同對象的共同特征”。這種抽象概括能力可以在知識的發(fā)生、發(fā)展過程的探究中形成。

案例2 探索勾股定理

問題1：在紙上作出若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，觀察三邊的平方之間有怎樣的關(guān)系？

問題2：如圖1①直角三角形三邊的平方分別是多少，它們滿足上面所猜想的關(guān)系嗎？你是如何計算的？圖1②呢？

問題3：對圖1③中的三角形是否還滿足這樣的關(guān)系？你又是如何計算的？

問題4：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，c，上面所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？你能利用圖1④說明其正確性嗎？

圖1

本探究過程力圖讓學(xué)生通過對大量直角三角形的測量活動（問題1），歸納出a，b，c之間的關(guān)系式：a2+b2＝c2。基于測量的誤差學(xué)生可能還難以確認(rèn)所猜想得到的平方關(guān)系，必然產(chǎn)生進(jìn)一步驗證的必要性。因此借助網(wǎng)格紙通過“割補(bǔ)法”驗證了特殊的等腰直角三角形推廣到一般直角三角形時，結(jié)論的正確性（問題2），同時驗證了該關(guān)系式的適用范圍——直角三角形（問題3）。至此學(xué)生利用合情推理得出了相關(guān)結(jié)論。合情推理得到的結(jié)論必須通過演繹推理證明其正確性。當(dāng)直角三角形兩直角邊的長度不再是整數(shù)時，跳出格點看圖，讓學(xué)生感受到勾股定理的一般性（問題4）。

教師在上述探究活動中注重培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)（從等腰三角形，到直角邊長為整數(shù)的直角三角形，到直角邊長為小數(shù)的直角三角形，進(jìn)而到直角邊長為a，b，c的直角三角形）。讓學(xué)生在活動中不斷提升概括能力。

三、以數(shù)學(xué)知識的溫故知新為途徑

數(shù)學(xué)具有逐級抽象的特點，較高一級的抽象要依賴于較低一級的抽象。數(shù)學(xué)的這種逐級抽象性反映著數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性。這種數(shù)學(xué)逐級抽象性的特點體現(xiàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，就要重視數(shù)學(xué)知識的“溫故知新”。

案例3 二元一次方程組的解法

二元一次方程組的解法既是“通法”又是“未知化已知”的典型課例。教材從一道應(yīng)用題出發(fā)，通過設(shè)元，列出方程組

由①得y＝x-2，然后由于方程組中相同的字母代表同一對象，所以方程②中的y也等于x-2，可以用x-2代替方程②中的y，得到一元一次方程，再引領(lǐng)學(xué)生解一元一次方程組。顯然上述解讀型的示范性教學(xué)沒有為新知的抽象創(chuàng)造必要的條件，不能較好地凸顯轉(zhuǎn)化思想的重要性，不利于學(xué)生體悟二元一次方程組的解法——代入消元法的真諦。因此在學(xué)習(xí)新知時，必要及時復(fù)習(xí)舊知，這即符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，又符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，既能加深對新知識的理解，又能從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)抽象的層次性，不斷提高數(shù)學(xué)抽象能力。

四、以數(shù)學(xué)實驗活動為驅(qū)動

從數(shù)學(xué)的發(fā)展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動。教師應(yīng)充分挖掘向?qū)W生展現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”的過程。通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、動手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗，并從中提升數(shù)學(xué)抽象能力。

案例4 三角形內(nèi)角和定理

課前準(zhǔn)備三角形紙片。

問題1：在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形內(nèi)角和等于180°。還記得當(dāng)時我們是如何發(fā)現(xiàn)和驗證這一結(jié)論的？請利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究。

問題2：從拼圖上看，3個角組成了平角，就能說明3個內(nèi)角的和一定是180°嗎？

問題3：我們撕下其中的兩個角移動到與第三個角湊成平角的位置，利用平角的定義，得出三角形內(nèi)角和180°的結(jié)論。如果不撕下兩個角，你能通過作圖的方法達(dá)到移動這兩個角的效果嗎？（或者：如果不移動這兩個角，能否做出某些輔助的先，實現(xiàn)這種移動呢？）

問題4：若果只能撕下一個角，是否也能得到上面的結(jié)論？

問題5：根據(jù)學(xué)習(xí)過的基本事實和定理，你能用自己的語言說所這一結(jié)論的證明思路嗎？請嘗試用簡潔的語言寫出這一證明過程？

圖2 展示拼圖

本案例中五個問題以“為什么內(nèi)角和180°→如何實現(xiàn)移動角的效果→如何進(jìn)行證明”為主線步步深入，緊緊圍繞性質(zhì)的發(fā)生、發(fā)展、形成進(jìn)行設(shè)計。通過拼圖活動，啟發(fā)學(xué)生對直觀模型進(jìn)行抽象提煉，對移紙片進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，得到三角形內(nèi)角和定理。搭建適切的、腳手架式的五個問題串，一步一步、環(huán)環(huán)相扣、由淺入深，在“最近發(fā)展區(qū)”讓學(xué)生處于“跳一跳”摘到“桃子”的狀態(tài)，促進(jìn)學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中提升抽象思維能力。