初中代數推理教學設計

江蘇省常州市第二十四中學天寧分校 徐志強

一、基本情況

（一）教材分析

本節(jié)課內容是蘇科版義務教育課程標準實驗教科書數學九年級下冊5.5用二次函數解決問題，是基于九年級學習的二次函數的圖像與性質和七八年級學習一次函數、反比例函數等內容學習的。本節(jié)課的內容主要是二次函數代數層面上的應用，所以屬于代數推理的范疇，它是后續(xù)學習二次函數數形結合的綜合應用的重要基礎。

這一節(jié)課的教學可以培養(yǎng)學生提出問題、觀察問題、分析并解決問題的能力，體會建模的數學思想。另外，通過范導式教學方式，在“范”“導”的過程中，發(fā)展和提升學生的核心素養(yǎng)。

（二）教學目標

（1）能根據實際問題中變量之間的關系，確定二次函數的表達式；

（2）熟練運用二次函數的知識求實際問題中的最值；

（3）經歷用二次函數表述數量變化及其關系的過程，體會二次函數是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型。

（三）教學重點

應用二次函數求實際問題中的最值。

（四）教學難點

找準等量關系，確定二次函數表達式。

（五）教學方法

小組討論、范導式學習法。

二、教學過程

（一）生活情境，引發(fā)思考

師：同學們，自李克強總理提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”后，常州積極響應，在新北區(qū)黃河路上建立了名為“嘉壹度”的眾創(chuàng)空間，成為眾多創(chuàng)業(yè)項目的孵化器。那么想入駐，要帶著有發(fā)展?jié)摿Φ捻椖?，請同學們與徐老師一起考察以下項目。

問題1.某種糧大戶去年種植優(yōu)質水稻360畝，設今年計劃多承租畝稻田。預計原畝稻田今年每畝可獲利潤x元，新增畝稻田今年每畝的利潤為（440-2x）元。該種糧大戶今年要多承租多少畝稻田，才能獲利158400元？

師：同學們，這個實際問題中，有幾個未知量？

生：1個。

師：可以用我們學習的什么數學模型來解決呢？

生：一元二次方程。

師：同學們，還記得用方程模型解決問題的步驟嗎？

生：審題→設未知數→找等量關系→列方程→解方程→檢驗→作答。

師：請同學們按照步驟嘗試解決一下。

師：（巡視發(fā)現一部分學生找不到等量關系）對這樣量比較多的問題，有什么好的工具嗎？

生：可以列表格（表1）。

表1 等量關系

師：（展示學生解答過程）如果你是老板，你會選擇多承租多少畝稻田呢？

生：既然不多承租稻田和多承租220畝稻田所獲利潤相同，那我會選擇不多承租稻田。

師：這就是最優(yōu)化方案，但是做生意總是要尋求利潤的最大化。如果你是老板，怎樣能獲得最多的利潤呢？利潤也變成一個未知量，現在這個問題中有幾個未知量？

生：兩個。

師：如果設總利潤為y，那么我們把一元二次方程中158400替換成y，一元二次方程就變成了y＝360×440+（440-2x）x。請同學們通過化簡，揭開它的神秘面紗。

生：化簡得y＝-2x2+440x+158400，是一個二次函數的解析式。

師：那今天我們一起來研究用二次函數解決銷售類最優(yōu)化問題。

設計說明：

從有趣真實的創(chuàng)業(yè)情境導入課堂，調動學生學習的積極性。這樣符合范導式教學的實施策略之一——創(chuàng)設真實性情境的要求。

以一元二次方程的應用類比學習二次函數的應用，這里前者就是范導式教學中的“范”。這樣范導式的教學方式首先消除了學生對二次函數應用的畏懼心理，其次也幫助學生理清了研究的思路，為后續(xù)研究奠定了基礎。

（二）知識準備，回顧復習

師：磨刀不誤砍柴工，請同學們回憶二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的相關性質。

設計說明：

引導學生復習二次函數的圖像與性質，為接下來運用圖像與性質解決問題做好準備。

（三）建立模型，解決問題

問題2.某種糧大戶去年種植優(yōu)質水稻360畝，設今年計劃多承租x（100≤x≤150）畝稻田。預計原360畝稻田今年每畝可獲利潤440元，新增畝稻田今年每畝的利潤（440-2x）為元。

（1）設今年總利潤為元，請你寫出y與x的函數關系式；

（2）該種糧大戶今年要多承租多少畝稻田，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若今年計劃多承租x（120≤x≤150）畝呢？

師：第一小問我們剛剛已經解決了，y與x的函數關系式為y＝-2x2+440x+158400。第二問求最值相信也難不倒你們，試試看！

生：法1：頂點公式；法2：配方法。

師：同學們真棒，可以用兩種方法求最值。那么同學們這里運用了二次函數的哪一條性質呢？

生：在頂點處取最值。

師：學生已經完整地利用二次函數解決了一個銷售類最優(yōu)化問題，你能總結一下經驗嗎？

生：（1）步驟。①審題→②設未知數→③找等量關系→④列二次函數表達式→⑤求最值（頂點公式或配方法）→⑥檢驗→⑦作答。

（2）可借助表格分析數量之間的關系。

（3）常用等量關系?？偫麧櫍絾挝焕麧檾盗俊?/p>

（4）注意自變量的取值范圍（最值不在取值范圍內時，利用函數的增減性來解決）。

（5）求函數值時一般代入化簡前的解析式計算更簡單。

師：同學們，正所謂學以致用，用你們積累的寶貴經驗嘗試繼續(xù)考察一下種地的項目吧。

（四）關鍵訓練，突破難點

師：從上述考察的過程中，同學們覺得哪一個步驟，你覺得比較難？

生：找等量關系，列二次函數解析式。

師：好的，那就圍繞同學們的痛點，我們進行關鍵點的訓練。今年由于新冠疫情的蔓延，市場行情有波動。

問題3：新承租的稻田每增加2畝，其每畝利潤比去年少5元。其余條件不變，求總利潤（元）與新增稻田面積（畝）的函數關系式。

師：（展示學生解答過程）看來同學們學習能力很強啊！那接下來，就請同學們作為市場行情的調控者，給你的同桌出題，檢查對方是否已經掌握。

師：同學們，我們知道目前國際矛盾多發(fā)，這也在一定程度上影響了我們糧食的市場行情。

（五）課堂小結，總結提升

1.通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識和技能？

2.感悟了哪些數學思想？

3.你能類比今天研究過程預習下一節(jié)課的內容嗎？設計說明：

課堂小結本節(jié)課學習的知識與技能，了解滲透的數學思想是基礎。但范導式教學還提出了更高的要求——能創(chuàng)造性地應用。

所以本環(huán)節(jié)精心設計了類比學習的任務，引導學生不僅要思考知識、技能層面的收獲，更要回顧知識、技能獲得的過程。在“范”的引領下，能“導”出更多的成果。

三、回顧與反思

（一）教學設計的立意

根據教學目標，筆者認為本節(jié)課的主要目的是克服對二次函數應用的畏懼心理，然后按步驟利用二次函數的性質解決銷售類最優(yōu)化問題。雖然八年級學習過一次函數、反比例函數，但是大多數學生對函數還是存在畏懼心理，要想學生真正掌握，首先要幫助學生擺脫心理上的障礙。

所以本節(jié)課把重點放在前，難點放在后。通過設計發(fā)展性的任務突破重點；通過多元性的意義協商翻轉課堂；通過類比的方式總結步驟；通過關鍵點的訓練消化難點；引導學生自主探究、自主解決，配合教師的示范與適時點撥，清晰學生研究思路，增強學生學習函數的信心。

（二）教學反思

范導式教學的范導性與建構性受康德哲學的啟迪，但又有自身獨特的內涵與要求。

如果康德把世界、自由和靈魂作為范導性概念而統領理想的探索、形成知識過程中指示的“目的與方向”的話。那么，在教學實踐領域，真實性情景、發(fā)展性任務、多元化意義協商和創(chuàng)造性應用則是引領教學改革方向，提升學生核心素養(yǎng)的范導性概念。

1.真實性情境呈現，激發(fā)學習興趣

范導式教學提倡情境的創(chuàng)設要有利于學生感受學科知識來源于生活的道理。

本節(jié)課要利用二次函數這個數學模型解決銷售類最優(yōu)化問題，但是實際問題中，往往并不是一個二次函數的數學模型就能解決的，所以這里要引導學生認識到本節(jié)課研究的是特定背景下實際問題。

在課堂伊始，筆者通過李克強總理提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”吸引學生注意力，激發(fā)學生學習興趣。緊接著通過常州“嘉壹度”眾創(chuàng)空間的真實案例導入本節(jié)課內容的學習。一方面有利于學生感受數學來源于生活，另一方面普及支持創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)的常州行動，增強學生的自豪感，實現學科育人。

在課堂后續(xù)教學環(huán)節(jié)中，眾創(chuàng)空間的真實情境一直在延續(xù)，并伴隨著新冠疫情、國際外交局勢等時事熱點。這些情境是真實的、貼近生活實際的，同時也是比較復雜的，市場行情受到這樣多種因素的影響，而這樣的影響，數學化表達之后就是不同的條件。在這樣的真實情境下思考、分析，能加深學生對生活和數學之間聯系的理解。

2.發(fā)展性任務驅動，鋪設探究臺階

發(fā)展性任務，是指教師根據課程標準的要求，從培育學科核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，在深度解讀教材的基礎上，把課堂教學中要達成的目標分解為若干梯度合理、結構鮮明、富有啟發(fā)性和生成導向的學習任務。

本節(jié)課學習的內容在考察時通常是以解答題的形式出現，對學生綜合能力要求還是比較高的。在新課教學過程中，不能操之過急，在學生的最近發(fā)展區(qū)上設置有梯度的發(fā)展性任務，為學生鋪設探究的臺階。

教師在突破重點時，可以設置在頂點處取最值和不在頂點處取最值兩個發(fā)展性的任務，引導學生通過自主探究，總結出要注意自變量的取值范圍的經驗。在突破重點時，通過一系列的變式，逐漸增加難度，進行關鍵點的訓練，在發(fā)展性任務的驅動下，幫助學生攻破難點。

在這樣發(fā)展性任務的驅動下，學生探究的積極性和信心得到了增強，充分發(fā)揮出學生的主體性。

3.多元化意義協商，產生真實學習

多元化意義協商，是指為了達成發(fā)展性任務而采取的靈活多樣的教學策略、學習途徑。

本節(jié)課筆者在設置問題時，避免了枯燥的“是不是”“對不對”的問題，而更多地設置了留白的問題，譬如“請同學們通過化簡揭開它的神秘面紗”“請同學們用你積累的經驗嘗試解決一下”等。在突破難點時，巧妙地設計了同桌互相出題的活動，由答題者轉變?yōu)槌鲱}者，學生更加積極地參與到課堂教學中來。

這樣師生、生生之間的“意義協商”，轉變了傳統的教師教、學生學的模式，助力真實學習的發(fā)生。

4.創(chuàng)造性應用實踐，助力思維提升

范導式教學提倡的創(chuàng)造性應用，具有豐富的內涵和表現形式，在數學教學中它可以是課堂上的回答問題、解題、基于證據的探究，也可以是課后的自主探究。

本節(jié)課筆者引導學生類比建立方程模型解決問題的研究思路來研究建立二次函數模型解決問題。在課堂最后總結環(huán)節(jié)，筆者還設計了引導學生類比這樣的研究思路，繼續(xù)研究后續(xù)小節(jié)的內容。通過這樣創(chuàng)造性的應用，能助力學生思維品質的提升。