古典概型教學中德育元素的挖掘和滲透

吉林師范大學

陳嘉楠

1 引言

在初中學習的基礎上，我們知道對某些事件概率的估計可以通過試驗或者觀察得到.但是通過試驗或觀察所得事件的概率只是近似值，而且此方法耗時較長.因此，在總結試驗的共同特點(如有限性、等可能性等)的基礎上，進而得到隨機事件概率的一個重要的數學模型，即“古典概型”[1].

古典概型的教學不僅可以幫助學生樹立辯證唯物主義的世界觀，還可以了解古典概型的相關數學史知識.本文中通過分析部分經典的古典概型的例題，挖掘和滲透題中蘊含的德育元素，使古典概型教學與德育教學有機結合，在培養學生解題能力的同時提高其思想水平[2].為此，可從以下幾個方面進行古典概型教學中的德育元素的挖掘和滲透.

2 古典概型中有關公平性的問題

例1某家超市搞活動，規定當天消費滿500元的顧客可以參與抽獎，符合要求的顧客共有6人，這6個人依次從6個標有從A到F字母的小球中不放回隨機抽取一個小球，抽到標有字母C的小球可獲得獎品，這樣公平嗎？

解：依題意可知，第一個人抽到C球的概率為

第二個人抽到C球的概率為

第三個人抽到C球的概率為

類似地依次下去，可得第六個人C球的概率為

綜上可知，每個人抽到C球的概率都是相同的，所以這個抽獎方式是公平的.

3 古典概型中有關垃圾分類的問題

例2當前環境問題是熱點話題.某地區為響應國家號召，主動對生活垃圾進行全方位的分類處理，將生活垃圾分為表1中所展示的三類.現對該地區居民的垃圾分類狀況進行調查，三類垃圾箱中總計1 000 t生活垃圾，數據統計如表1所示(單位：t).

表1 生活垃圾分類數據統計表 單位：t

(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率.

分析：首先例2的兩問均滿足樣本點有限，并且垃圾投放到三個垃圾箱是等可能的，所以屬于古典概型.本題考查了古典概型的概率和對立事件的概率計算.

解：(1)記M=“廚余垃圾投放正確”，則

(2)記A=“設生活垃圾投放錯誤”，則

在課堂教學中講解古典概型時，可引入垃圾分類等與生活密切相關的例子，通過垃圾分類試題的講解，能夠讓學生更加明確垃圾如何分類，了解垃圾分類的重要性，形成保護環境的意識[3].

4 古典概型中有關賭博性的問題

例3有一種賭博游戲叫做抓彩珠游戲，游戲規則是總共有27顆珠子，有3種顏色，每個顏色9顆，參與者從袋子里任意拿出9粒，按抓出珠子顏色個數的比例與攤主進行兌換.兌換規則如表2.(10元20次)

表2 游戲獎罰金額兌換規則

問：20次游戲后可能會輸掉多少元？

解：由于每個樣本點發生的可能性相同，并且樣本空間的樣本點只有有限個，于是此游戲滿足古典概型要求.可以計算得出

=6.400 9×10-7;

=1.036 9×10-4;

=0.034 8;

=0.091 5;

=0.121 9;

=0.009 0;

=0.020 3;

=0.487 8;

=0.001 7;

根據上述的計算結果發現，能夠中200元和300元的概率是極小的，基本沒有出現的可能.雖然在獎罰方面上表面呈現的絕大部分都是中獎，只有一個是罰款30元，但“罰款30元”從概率角度來說是比較高的，接近50%.因此，最終的獎罰總量上是罰錢占主導的[4].根據概率，可知每進行一次游戲獎(罰)金額均值為

N=300×6.400 9×10-7+……+0.487 8×(-30)+……+0.001 9×60≈-9.81(元).

也就是說，每次游戲可能會輸掉9.81元，則20次游戲后，將可能會輸掉196.2元.

因此，教師在進行古典概率教學時，應讓學生明白這場賭博游戲背后的科學道理，用科學的計算結果讓學生警惕這種以金錢為賭注的游戲，讓學生對賭博的認識從感性上升為理性，明白賭博對任何人都是無利的，培養學生正確的價值觀.

5 古典概型與數學文化

我國古代早在三千多年前就已經產生了與概率相關的思想，從《周易》中有關“卦”“爻”等內容追溯，書中有關于占卜、演算等內容.用現代的觀點看“卦”，其本質是一種隨機試驗[5].以我們最熟悉的拋硬幣試驗來類比，如果用硬幣“正面朝上”來表示“陽爻”，硬幣“反面朝上”來表示“陰爻”，連續進行3次試驗，其樣本空間有8個樣本點，即可畫出《周易》中的八卦圖；同理連續進行6次試驗，其樣本空間有64個樣本點，即可畫出64卦圖.由此可以看出《周易》中蘊涵深厚的古典概型思想，這是一種歷史唯物主義的辯證思想[6].

古典概型作為學生應用數學文化意識不可缺少的重要數學模型，逐漸進入了高考命題者的視野.以2019年全國卷理科數學選擇題第6題為例.

圖1

分析：這道試題的背景即是《周易》中有關我國古代古典概型相關思想的記載.要解決此題，先要明確試驗的條件及要觀察的結果，重卦的排列是由6個“爻”從下到上組成，在每個重卦中，有6個不同的位置，這6個不同位置的爻都有“陰爻”和“陽爻”兩種可能，符合古典概型的條件.

解：由每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻和陰爻，所以樣本空間中元素個數為

26=64，

即共有64種不同的結果.記A=“重卦中恰有三個陽爻”，則事件A包含的樣本點數為

故選擇：A.

從數學史研究和數學文化滲透的角度來賞析，這道題不僅對《周易》中的數學史料進行了挖掘，而且在一定程度上將古典概型同“卦”“爻”等內容相結合，有利于學生數學文化意識的發展和應用.同時，也啟發教育工作者在古典概型以及其他課程的教學中把數學史與數學文化知識恰當結合，使學生能夠更好地應對未來高考的變化，更深刻地理解數學模型的生成和應用過程，感受中國傳統文化的悠久歷史.

6 體育賽事中的古典概型問題

例5運動賽場上，某射擊運動員不受外界影響在同一條件下進行射擊[7]，其成績如下表3.

表3 運動員射擊成績分析

(1)計算表3中命中靶心的各個頻率，填入表中；

(2)估計該運動員射擊一次命中靶心的概率.

解：(1)表中應填入的頻率依次為0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

(2)由于填入表3中的頻率數據趨近于0.89這一常數，所以該運動員射擊一次，命中靶心的概率約為0.89.

人教A版數學必修第二冊(2019年版)第238頁練習1便是運動員飛碟射擊問題，教師可以由此擴展，引導學生關注奧運會的相關賽事.奧林匹克運動歷史悠久，是人類文明的寶貴遺產.教師應引導學生關注奧運會和國家大事，培養學生熱愛體育、熱愛生活的美好信念和自我驅動力.

7 結語

本文闡述了在古典概型教學中挖掘和滲透德育元素，使古典概型教學與德育教學有機結合，通過對古典概型在公平性問題、賭博性問題以及垃圾分類等方面的應用分析，學生在學習知識的同時，自身的思想道德水平也得到一定的提升.

此外，德育元素不僅可以融入古典概型教學中，還可以融入高中數學其他課程教學中.這需要教育工作者們不斷發掘課程中的德育元素，對教科書內容進行合理拓展，提出與時俱進的熱點與難點，以實現高中數學課程和德育教學的有機結合，進而有效達成知識傳授與德育滲透的更好融合.