新課標下高中數學教科書分析研究*
——以“函數的概念與性質”章節為例

湖南工業大學理學院

魏莉莎 湯瓊 閆旭 楊婕

1 引言

為落實全國教育大會及十九屆四中全會精神，體現新時代關于教育的新熱點和新要求，《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱新課標)對外發布.在基礎教育新課程實施過程中，課程標準是教學、考試以及編寫教科書的基本依據.教科書是上好一堂課的先決條件，是教師進行教學設計的重要來源.

通過查閱相關文獻發現，國內諸多學者對教科書的分析有不同的研究思路和方法，例如吳立寶[1]教材分析的八個策略、王光明[2]教材分析的五個視角等，但以函數內容為具體例子分析教科書的不多，以一章節的知識內容作為整體進行全面研究的更是寥寥無幾.筆者認真解讀新課標后，結合教學和學生實際，試圖以完整章節進行研究，為高中數學教師分析教科書提供有效方法.以下通過分析人教A版高中必修一數學教科書第三章“函數的概念與性質”內容，從明確課程要求、分層剖析結構、聯系生活實際、重視學生主體、比較教科書異同五個角度落實新課標要求，對本章節內容進行研究.

2 新課程標準改革的三大特征

2.1 “四基”“四能”的界定

新課標明確規定課程目標是通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”)；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”).舊課標[3]只提出了“雙基”，而新課標中提出的“四基”更加明確了教師的角色，強調培養創新型人才的重要性.比如，進行函數的概念教學時，在初中知識的基礎上，運用集合語言和對應關系刻畫函數，引進新符號y=f(x)，明確構成函數的基本要素，比較初中和高中對函數概念的兩種定義，提問學生有什么新的認識.在新舊知識的交叉結合中，讓學生自己學會總結和思考，發展更寬廣的知識觀和能力觀.

2.2 數學學科核心素養的倡導

數學學科核心素養對學生在數學上的全面發展起著決定性作用，依據新課程標準，數學學科核心素養主要為：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算和數據分析.高中數學教材要求教師，把核心素養的培養視作關鍵點融入到數學教學中，利用現代信息技術滲透數學文化，使學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界.比如，利用計算機軟件GeoGebra繪制函數圖象描述函數的基本性質.

2.3 整體提升數學教學的育人質量

教師的職責就是教書育人，教師應針對數學學科的特點，深入挖掘其育人價值.數學教學的育人功能是否落實到課堂教學的每個環節中，需要教師在備課、上課以及課后進行深入挖掘，使課堂教學有效提升育人質量.數學教材中任一個定理和公式的背后，都是一位人物及其思想和精神的體現.比如在學習幾何知識時，可向學生介紹笛卡兒打破歐氏幾何的局限，創立解析幾何的故事，學習笛卡兒勤奮探索的品質，傳遞“我思故我在”的精神文化，將古人和學生的思維做對比，找到共通點，激發學生學習數學的動力.

3 結合新課標對高中數學教科書分析研究

對高中數學教科書進行分析是教師必備技能，只有準確了解教科書編寫者的意圖和思路，做到全面而正確地把握教科書，才能有效改善課堂教學設計，提高教學效果.

3.1 明確課程要求

新課標指出，高中數學教師分析教科書的第一步是明確課標要求.教學目標是課程目標的具體體現，它反映了數學學科的特點和學習內容的本質，是教師進行課堂教學的首要目的，是學生學習和教學評價的依據.比如，“函數的概念與性質”章節的三維目標有理解函數的概念及表示，掌握圖象法、列表法、解析法，理解函數的單調性、最大(小)值、奇偶性，了解冪函數的概念及圖象的變化情況；通過觀察、歸納和討論交流等活動，提高抽象、概括、運算求解的能力，通過實例感受函數的應用意識，體會利用函數模型解決實際問題及數形結合思想的重要性；感受生活中數學的存在，體驗數學的探索性和創造性，充分激發對數學學習的積極性.

3.2 分層剖析結構

新課標高中數學是一門有體系結構的學科，從橫向來看，函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線相互關聯；從縱向來看，數學的內容是由易到難，螺旋向上的.高中數學教師可以從全局視角出發對課程結構、內容主線、教科書知識要點三個層次進行剖析.

厘清課程結構脈絡：從整體分析必修與選修課程、高中與大學乃至其他學段間的關聯，逐次梳理相應的課程結構內容.比如，“函數的概念與性質”章節與方程、數列、不等式、導數、隨機變量及選修課的大多數內容都緊密相關.在導數教學時，可利用導數研究函數的單調性、極值、最小值，設置例題“已知函數f(x)=ex+x3,討論f(x)的單調性”，等等.

熟知數學內容主線：高中數學課程標準明確了函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線.“函數的概念與性質”章節不僅是整個高中函數主線的基礎內容，而且與其他主線內容聯系緊密.在考查直線與橢圓的位置關系時，可以以向量為載體，涉及直線的方程、向量數量積、函數的值域等知識以及提參法等方法，提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等學科素養.

掌握教科書知識點：有層次地展示數學知識間的邏輯關系，有效提高學生的學習能力.教師分析教科書是一種靜態過程，在備課時應預設到課堂上的實際情境和動態教學.“函數的概念與性質”章節的主要知識點包括函數的概念、三種表示方法、單調性、最大(小)值、奇偶性，冪函數，函數的應用.函數的概念和三種表示法是高中學習的堅實基礎；單調性及奇偶性是函數的基本性質，可借助函數的圖象了解函數的作用和實際意義；冪函數是最基本、應用最廣泛的函數之一，可利用GeoGebra軟件作出幾類冪函數圖象，結合相關概念理論進行講解，效果更好；函數的應用，讓學生理解建構數學模型的過程，不僅僅是用函數解決數學問題，更重要的是解決實際問題.

3.3 聯系生活實際

新課標明確體現數學來源于生活，生活中處處有數學的思想.在分析教科書時，聯系生活實際可以從生活到數學和從數學到生活兩個方向進行探討.

從生活到數學，教師要充分發揮和運用學生的認知規律、已有的生活經驗和數學實際，把數學的本質從日常生活中提煉出來，并用數學方法進行解答.比如，在學習函數的概念時，通過復興號高速列車行進的路程和運行時間的關系、電器維修公司工人工資與工作天數的關系、北京市某天內任一時刻的空氣質量指數的值與對應時刻的關系等實例的引入，歸納得出函數的概念.在練習中，選用炮彈發射后距離地面的高度與時間的關系等問題，強調函數與生活之間的關聯，用學生所學的數學知識解答，并展現生活中變量關系的豐富多樣性.

3.4 重視學生主體

“有效的教學活動是教師教和學生學的統一”，教師要做好學生學習的組織者、引導者、合作者，學生是學習的主體.教師要時刻明白教育的主體是學生，學會換位思考，激活教科書，模仿學生當前的學習過程，反思自己學習的困惑，從學生的視角來剖析教學中的重點和難點.另外，還要看是否符合學生的生活實際、是否符合數學實際、是否吸引了學生的興趣，以及學生是否能夠正確地理解課本所展示的內容.比如，“函數的概念與性質”這一章的教學重點是掌握函數的概念，函數的基本性質，以及冪函數的概念.教學難點在于通過實例感受函數的應用意識及利用函數模型解決實際問題的重要性.例如，在“函數的應用”教學前，提前布置一項任務：讓每位學生了解上月家庭用水量、交納的水費及具體的計費方式.在課堂上，以某一學生調查的情況為例設置應用題：“為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行‘階梯水價’.計費方法為：每戶每月用水量不超過10 m3的部分，水價為3 元/m3；超過10 m3但不超過20 m3的部分，水價為6 元/m3；超過20 m3的部分，水價為9 元/m3.現學生某某查得家庭上月交納的水費為50元，求此學生家庭上月的用水量”.此題在實際情境中構建分段函數模型，將學生觸手可及的生活問題融入數學的學習之中，讓學生成為課堂的主人，營造活潑的氣氛，促使學生之間進行充分交流和探索.同時，教師對積極完成任務的學生給予肯定，調動全體學生參與進來，讓學生接觸到的數學題不再是枯燥乏味的文字，而是生動富有趣味性的生活情境.

3.5 比較教科書異同

為了滿足不同地區、不同層次的學校需求，我國基礎教育教科書在國家基本要求指導下采用多樣化政策.不同版本的教科書目錄、內容、結構、重難點存在差異，所以教師應該熟悉北師大版、滬教版、人教版、蘇教版等不同教科書之間的差異，在教學時對班級學生的整體情況進行比較分析和針對性教學[4].另外，還可以將國內外教科書的差異融入到教學中，形成自己獨特的教學風格.

比如，在分析人教A版“函數的概念與性質”章節時，與北師大版[5]進行比對.從目錄看，北師大版的章節是比較多的，北師大版增加了“生活中的變量關系”這一節，使學生溫故知新，通過變量和生活的關系豐富學生的直觀感受，為學生對函數概念的理解積累活動經驗，進一步體現新課標中的“四基”理念.從內容看，北師大版把函數的單調性作為一個獨立小節，將奇偶性放到冪函數之后，而人教A版把函數的單調性和奇偶性結合在一起.相較而言，人教A版中把性質進行聯結更適合學生的學習，根據函數的思想，從概念到圖象，再到函數的本質，讓學生經歷由已有的知識結構到未知的知識形成過程.在引入上，人教A版在第一節通過復興號高速列車問題、電器維修公司工人工資問題、北京市空氣質量指數問題、某省城鎮居民恩格爾系數問題四個實際例子，得到了函數的概念.而北師大版則是先由高速公路加油站、京津城際列車運營兩個例子來說明生活中的變量間的關系，進而給出函數的定義；再由彈簧的伸長量與彈力、不同氣壓下水的特點、某市某天的氣溫問題、居民用電和應繳電費四個實際問題來體現生活中存在的函數關系，得到分段函數的概念.

課程標準隨著時代的變化在不斷地更新和完善，基礎教育教學也出現不同的側重點，所以數學教師除了在比對不同版本的教科書之外，也可以通過教科書改動前后的變化進行分析.與2007年版本的人教A版高中數學教科書相比，2019版教科書在函數的概念章節上做了較大改動.該版之前必修一的第一章是“集合與函數概念”，現在更改為“集合與常用邏輯用語”.而在新版本中第二章是“一元二次函數、方程和不等式”(這個內容本來是初高中的銜接內容)，第三章是“函數的概念與性質”.教師在教學前，還可以對具體章節的內容做比對，了解更多的變化.

4 結論

教科書是溝通教師教學和學生學習的橋梁.以人教A版高中數學必修一教科書第三章“函數的概念與性質”為例，從明確課程目標、分層剖析結構、聯系生活實際、重視學生主體、比較教科書異同五個角度對完整的章節內容進行分析，探討如何更好地分析高中數學教科書.這五個角度只是為教師提供思路和方法，為教學提供建議和參考.教師要真正地結合自己的思考，在教學時考慮學生已有的認知結構和心理特征，對教材做出合適的選擇、調整及完善，使學生掌握高中數學知識、數學思想方法的同時，不斷積累數學活動經驗，找到合適的學習方法.