操作體驗擬“投石” 學會思考定“生慧”*
——以“探索凸四邊形全等的條件”為主題的研究性學習

?江蘇省南京市金陵中學溧水分校 陳 華?江蘇省南京市高淳區第一中學 顧香才

1 引言

在一次以“踐行‘做數學’理念”為主題的跨區名師工作室的活動中，基于開展對初中生進行邏輯推理素養培育的實踐研究，筆者執教公開課“探索四邊形全等的條件”，屬于綜合與實踐的內容.課后，有教師覺得教學設計起點低，立意高，學生在活動中體驗知識的發生、發展過程，既關注了學生的思維訓練，也注重了學習經驗的積累，有較好的參考作用.

2 主題內容解析

本節課的主要內容是：經歷四邊形全等條件的探索，積累問題解決的活動經驗.

四邊形全等的判定是指四邊形中的邊、角滿足什么條件可以推斷兩個四邊形全等.“探索四邊形全等的條件”這一內容是三角形全等這一章拓展研究的經典素材，也是初中數學綜合與實踐的重要課題之一.

根據全等圖形的定義，能夠重合的圖形是全等圖形，即四條邊分別相等，并且四個角也分別相等的兩個四邊形全等.本節課主要探索能否在上述條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個四邊形全等.為此構建了四邊形全等條件的探索：尺規作圖、大膽猜想、合情推理、給出證明，經歷了完整的探究過程，也為其他類似問題的探索提供了思路和經驗.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：四邊形全等條件的探索過程，積累問題解決的活動經驗.

3 目標與目標解析

本節課的教學目標：

(1)經歷操作、猜想、驗證、證明四邊形全等條件的探索過程，積累發現問題、解決問題的經驗；

(2)合理運用三角形全等的性質及判定證明四邊形全等的條件.

達成上述目標的標志是：

(1)會從三角形全等的作圖方法與判定方法，猜想四邊形全等判定方法，并能進行理性思考，完善四邊形全等的判定方法.能總結出四邊形全等條件的探索思路，歸納出問題解決的活動經驗.

(2)會用三角形全等的性質及判定證明四邊形全等的判定方法.

4 教學問題診斷分析

學生具備了探索三角形全等判定的思路，當明確至少三組元素相等才能保證兩三角形全等時，如何把三組元素相等的所有情況考慮完整.同時，經過近兩年的初中數學學習，學生的推理意識與能力都有所加強，在知識儲備上，學生已經學習了通過三角形全等證明邊、角相關的知識.通過尺規作圖，獲得三角形全等的判定定理已經有了初步認識，所以四邊形全等的判定方法的學習，如果僅僅仿照三角形全等判定的思路，從一組條件開始加，很難在一節課完成四邊形全等判定方法的探索，而應當從三角形全等的作圖方法與判定方法的關系出發，先操作體驗，再大膽猜想，最后進行證明，這種思考方法具有一般性，對學生后續的數學學習有促進作用.但可能有些學生還不能有意識地從作圖方法出發，提出判定方法.另外，利用直尺與圓規，用多種方法作已知四邊形的全等四邊形，學生可能也有困難.

基于以上分析，本節課的教學難點：能利用直尺與圓規，用多種方法作出已知四邊形的全等四邊形；通過全等四邊形的作圖方法提出四邊形全等判定方法的猜想.

5 教學過程

5.1 課堂導入

同學們，老師把今天的學習標題隱去了，希望同學學完這節課后，能幫老師取一個合適課題.

設計意圖：有意隱去學習標題，讓學生在操作中充分自然地體驗四邊形全等條件的探索過程，感受“做數學”的價值.

5.2 探究過程

問題1如圖1,已知△ABC.請利用直尺與圓規用兩種不同的方法作△A′B′C′,使△A′B′C′≌△ABC.(不寫作法，保留作圖痕跡)

圖1

師生互動：課前學生已完成兩種方法的作圖，教師搜集整理出常見的三種作圖方法(圖2～4)，同時做好PPT展示.請三位學生分別介紹各自作圖方法，并說明其作圖依據，三種作圖方法分別應用了“邊、夾角、邊”“角、夾邊、角”“邊、邊、邊”等三角形全等的判定方法.同時，教師板書“三角形全等的判定方法→三角形全等的作圖方法(證明)”.

圖2

圖3

圖4

追問1：你認為還有其他作圖方法嗎？你是怎么想到的？

師生互動：學生獨立思考，猜想還有第四種作圖方法“角、角、對邊”，在教師的追問下，提出是根據三角形全等的判定方法“AAS”想到的.教師適時說明利用直尺和圓規在初二階段可以作一邊的鄰角等于已知角，但作一邊的對角需要到用到初三的學習內容，同時指出同學的猜想的合理性.

設計意圖：通過用多種方法作已知三角形的全等三角形，引導學生初步體驗三角形全等的作圖方法與三角形全等的判定方法之間的聯系；適時追問，引導學生理性思考，為后續四邊形全等的判定方法探索做好鋪墊.

問題2已知四邊形ABCD，如圖5.請利用直尺與圓規用多種不同的方法作四邊形A′B′C′D′,使四邊形A′B′C′D′≌四邊形ABCD.(不寫作法，保留作圖痕跡.)

圖5

圖6

圖7

圖8

師生互動：學生使用尺規作圖.教師巡視指導學生作圖，同時搜集學生不同的作圖方法.投影展示學生的作圖方法，請學生分別介紹各自的作圖方法.有三種常見的作圖方法(圖6～8)“邊、邊、邊、邊、角”“邊、夾角、邊、夾角、邊”“角、夾邊、角、夾邊、角”.

追問2：根據四邊形全等的作圖方法，你有什么猜想？

師生互動：學生回答問題，并相互補充.

教師板書：“四邊形全等的作圖方法→四角形全等的判定方法(猜想)”.

追問3：具體得到哪些判定方法？又分別根據哪個作圖方法猜想的？

師生互動：學生回答問題，并相互補充.

教師板書：“邊、邊、邊、邊、角”→四邊及一角分別對應相等的兩個四邊形全等；“邊、夾角、邊、夾角、邊”→三邊及它們的兩個夾角分別對應相等的兩個四邊形全等；“角、夾邊、角、夾邊、角”→三角及它們的兩條夾邊分別對應相等的兩個四邊形全等.

設計意圖：通過多種方法的作圖、體驗、比較，再次感受由全等四邊形作圖方法猜想四邊形全等的判定方法的合理性，教師要適時追問，引導學生有條理地梳理自己的思路，鍛煉學生用數學語言概括結論的能力.課堂中選擇3種作圖方法的展示，有利于學生歸納四邊形全等的作圖方法的一般規律，為后續的探究埋下伏筆.

問題3證明：三邊及它們的兩個夾角分別對應相等的兩個四邊形全等.

已知：如圖9、圖10，在四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，∠ABC=∠A′B′C′，∠A=∠A′.

圖9

圖10

求證：四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′.

分析思路:如圖11所示.

圖11

師生互動：先由學生獨立思考，若學生有想法，則由學生先說思路，然后教師追問“你是怎樣想到的？”并對學生思路中的合理成分進行總結.若學生沒有思路，教師可引導學生分析：從條件出發，你能夠聯想到的結論有哪些？從要證明的結論出發，證明兩個四邊形全等的方法是什么？已經有什么條件？還需要證明什么結論？從而啟發學生形成證明思路.

設計意圖：通過前面的操作、猜想、驗證等活動，學生已無限接近探究目標，再通過嚴謹的邏輯證明，感受數學的理性思維，不斷積累探究問題的經驗.由于課堂緊湊，如果學生獨立完成上述三個問題的證明，后面探究思考的時間很難保證，學生可以嘗試完成其中一個證明，然后教師合理總結，引導學生正確理解四邊形全等證明的基本方法，達成共識.

問題4你認為還可能有哪些四邊形全等的作圖方法？

師生互動：學生先獨立思考，然后再小組討論，教師巡視參與部分小組討論，聽取學生的想法.小組1代表匯報的四邊形全等的作圖方法分四種情況，即“1角4邊，2角3邊，3角2邊，4角1邊”.教師列表格并板書“四邊形全等的作圖方法(略)”.

追問4：根據前面小組1的總結，你們還有什么補充的？

師生互動：學生積極思考，并相互補充.學生根據三角形全等條件探究經驗，發現——(1)在“2角3邊”中的“2角”需要再分三種情況進行說明，即兩角都是三邊的夾角、一角是夾角另一角是對角、兩角都是對角；(2)在“3角2邊”中的兩邊也需要再分三種情況進行說明，即兩邊都是三角的夾邊、一邊是夾邊另一邊是對邊、兩邊都是對邊.

追問5：以上我們歸納的四邊形全等的作圖方法都是正確的嗎？

師生互動：學生獨立思考，嘗試作圖后，有學生提出滿足“角、角、角、角、邊”的兩個四邊形不一定全等，并舉出反例.教師總結——如果要說明一個命題是真命題需要進行證明，而要說明一個命題是假命題只需舉出一個反例.

設計意圖：通過前面學生自主作圖、大膽猜想、動手驗證、最后證明四邊形全等的判定方法或者舉出反例，繼續引導學生對四邊形全等條件的理性思考，幫助學生感受操作體驗用于探索思路、發現結論，邏輯推理用于證明結論、完善問題解決的必要過程.

5.3 課堂小結

教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

你認為這節課課題應該是什么？我們是如何探索四邊形全等的條件的？探索四邊形全等條件的學習經驗，你認為還可以適用于解決哪些問題？

設計意圖：通過小結，學生梳理本節課所學內容，積累問題解決的活動經驗，掌握本節課的核心——構建四邊形全等條件的探索思路，提高解決問題的能力.同時，給出本節課的課題“探索凸四邊形全等的條件”.

5.4 作業布置

歸納整理凸四邊形全等的條件.

設計意圖：通過凸四邊形全等條件的歸納與整理，完善探索活動的全過程，引導學生經歷解決問題的一般過程，積累問題解決的活動經驗.

6 教學思考

6.1 操作體驗是探索活動的前提

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“數學課堂教學應激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程.”

對于四邊形全等的判定方法的探索，如果按照三角形全等的判定方法探索，從一個元素逐個添加，除了課堂時間很難保證以外，也很難激發學生的學習興趣.本課從課前學生已完成三種作全等三角形的作圖方法出發，引導學生體驗全等三角形的作圖方法與判定方法的聯系，再用多種方法作全等四邊形，學生在經歷操作、體驗、思考、再操作、再體驗的過程中，自然由四邊形全等的作圖方法聯想到四邊形全等的判定方法.

前后一貫的操作活動，目的是幫助學生體驗探索活動.多種作圖方法的比較，學生不難發現，四邊形全等的作圖方法，都是畫五組元素對應相等，為后續活動的深入思考埋下伏筆.在創新意識的培養中，學生自己發現和提出問題是創新的基礎，設置有效的操作體驗，是學生進行深入探索的前提.

6.2 積累經驗是反思意識的標志

反思性數學學習的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活動的經歷中探究其中的問題和答案，重構自己的理解，激活個人的智慧，并在活動所涉及的各方面的相互作用下，產生超越已有信息以外的信息.

例如，追問1“你認為還有其他作圖方法嗎？你是怎么想到的？”和追問2“根據四邊形全等的作圖方法，你有什么猜想？”，前者引導學生由三角形全等的判定方法猜想第四種作圖方法，后者由四邊形全等的作圖方法猜想四邊形全等的判定方法，兩者一正一反，逐步幫助學生理解四邊形全等的作圖方法即四邊形全等的判定方法，再通過課堂總結“我們是如何探索四邊形全等的條件的？探索四邊形全等條件的學習經驗，你認為還可以適用于哪些問題的解決？”幫助他們學會學習，使學生的數學學習活動成為有目標、有策略的主動行為；增強了學生分析問題、解決問題的能力，提高個人的創造力；有利于學生在學習活動中積累數學活動經驗，促進學生的全面和可持續發展.

6.3 學會思考是創新意識的核心

涂榮豹教授說：“數學教學的本質就是教學生學會思考.”數學課堂教學光有學生的積極參與是不夠的，要把學生的操作體驗提升到數學思考上來.課堂中教師需通過構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考.例如，本節課在探索三角形全等的作圖方法與判定方法的關系時，在學生已完成三種作圖方法的基礎上，追問：你認為還有第四種作圖方法嗎？第四種作圖方法是什么？你怎么想到的？在不斷追問中，引導學生思考三角形全等的作圖方法與判定方法的關系，從動手操作到理性思考.

再比如，在探索四邊形全等的判定方法時，學生已完成三種判定方法的證明時，教師接著追問：你認為還有哪些四邊形全等的作圖方法？你們怎么想到的？你們還有什么補充？前后邏輯連貫的問題，既是引導學生認知活動的路標，又是促進探索深入的動力，這樣才能帶領學生進入真正的、深刻的、有效的思維活動中去.

學生的思維需要教師去點燃.這就需要教師能基于學情，設置恰當的數學活動，讓學生充分、有效地操作與體驗，在數學學習的過程中，學會思考，學會學習.