欣賞數學之美 感悟理性精神
——以蘇科版數學七（下）“證明”教學為例

■吳思佳龔輝

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，學生要會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。目前初中數學教學以應試為目的的現象仍然存在，教與學的目標緊緊圍繞“解題”展開，基本不談“欣賞”二字。數學的美是多方面的，有外在的形式美，也有內在的邏輯美、理性美等。在日常教學中，教師可以嘗試從理性美的視角深入挖掘教材，巧妙運用素材，通過不斷地引發學生思辨來引導學生欣賞數學的內在邏輯美，從而提高學生學習數學的興趣，培養學生科學的理性精神。下面，筆者以蘇科版數學七（下）“證明”為例，談談如何引導學生欣賞數學之美，感悟理性精神。

一、學情、教材分析

七年級學生在學習本課之前，已初步了解線段、角、三角形等簡單圖形的一些性質。由于大多數性質是通過實驗、觀察、歸納得到的，學生會受直觀判斷的影響，認為合情推理猜測得來的結論是正確的，缺乏嚴謹的數學精神和科學的思維態度。本節課是引導學生由感性認識向理性分析發展的重要轉折點。教材內容雖然不多，但它對于學生深刻地理解推理證明的必要性，發展推理意識，把握說理的基本方法、形成縝密的邏輯思維是非常重要的。

二、教學目標

知曉觀察、操作、實驗等是認識事物的有效手段，經歷一些觀察、操作活動，并能對獲得的數學猜想進行驗證；體驗直觀判斷不一定正確，從而能嘗試從數學的角度運用已有的知識和方法尋求證據，給出證明，感受推理證明的必要性；感受數學思考的合理性和嚴密性，在猜想和證實數學結論的過程中，增強理性精神和推理意識。

三、教學重難點

重點：通過觀察、操作、實驗發現一些結論，并能通過不同的方式進行證明。難點：從數學角度運用所學知識和方法驗證結論，給出證明。

四、教學片段

1.創設情境

師：請同學們觀察下面幾個活動并思考。

（1）取一只空玻璃杯，斜放一根筷子，慢慢向杯中注水，觀察筷子發生了什么變化。

（2）你在生活中見過海市蜃樓嗎？

（3）圖1中，線段AB和CD長度相等嗎？

圖1

（4）圖2中，兩個陰影部分的圓一樣大嗎？

圖2

（5）觀察圖3，AB和CD是直線嗎？它們有什么特殊關系呢？

圖3

（6）圖4中有曲線嗎？請把圖5中編號相同的點用線段連接起來。

圖4

圖5

學生觀察并討論。

師：人們常說“耳聽為虛，眼見為實”，可“眼見”真的為“實”嗎？

生1：不一定。

師：剛才的例子告訴大家什么道理？生2：觀察得到的結論不一定可靠。

設計意圖：教師通過選取生活中的簡單數學問題，開展“量一量”“比一比”等數學實驗活動，激發學生強烈的思維沖突，提高學生的學習興趣，讓學生經歷“眼見不一定為實”的過程，初步感受驗證的必要性。

2.動手實驗

活動1：奇妙的小道

師：如圖6，學校的一條長為am，寬為bm的長方形草坪中間有條1m寬的筆直小道，為了增加美感，現計劃改為寬恒為1m的彎曲小道（如圖7）。這兩條小道的面積相等嗎？

圖6

圖7

生3：圖7面積更大。因為彎了之后線變長，挖掉的面積會更多。

師：下結論要言之有理，你能驗證嗎？

生4：圖6中小道的面積是bm2，圖7中小道的面積卻不怎么好求。

師：那怎么求出圖7中小道的面積？請大家動手操作、研究一下。

生5：圖6中小路的面積是bm2，圖7中，可以把小道旁邊的兩部分平移到一起（一邊操作，一邊解釋），所以小道的面積是ab-（a-1）bm2。

師：回答得很棒！可以平移左右兩個不規則圖形，把它們拼成一個整體，化簡后兩個代數式是一樣的，都是bm2，由此證明兩條小路的面積是一樣的，這里體現了轉化的思想。

設計意圖：教師讓學生經歷動手操作（平移）和計算的過程，運用數學說理的方法來解決生活中的問題，發現數學的價值，培養學生應用數學的意識，增強學生學習的信心。這里用到了轉化的數學思想，這是本節課的一個意外收獲。

活動2：魔術的秘密

師：圖8是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖9重新拼合。這4塊紙片恰好能拼成一個長為13，寬為5的長方形嗎？請大家用實驗手冊上的紙片驗證。

圖8

圖9

學生在教師的指導下拼圖。大多數學生認為能拼在一起，只有少數學生產生了質疑。

生6：我覺得是不能拼成的，因為面積不一樣。圖8中的面積是64，圖9中的面積是65，面積增大了，不能拼在一起。

師：對。老師用幾何畫板演示一下（通過幾何畫板的演示和放大，學生看到圖9中間有一條縫隙）。至于中間為什么會有一道縫，等大家到了九年級就能用說理的方式說明了。

設計意圖：該活動給學生充分的時間和動手的機會，讓學生在“做數學”的過程中進一步提出問題并產生思考。教師借助幾何畫板的演示，讓學生的思維活動從直觀感知上升到思辨推理，體會到實驗操作得出的結論不一定正確，進一步感知了證明的必要性，培養了理性精神，同時也激發了探究新知的欲望。

3.計算猜想

活動3：探索代數式的值

師：已知代數式x2-2x+2，請回答下列問題。

（1）完成表1。

表1

（2）換幾個數再試試，大膽提出你的猜想。

結論1：代數式x2-2x+2的值都是偶數。

結論2：代數式x2-2x+2的值都是正數。

師：以上結論正確嗎？

生7：結論1不正確。當x=1時，代數式x2-2x+2的值為1。1是奇數，不是偶數。

師：所以，當說明一個結論不正確時，我們只要舉出反例即可。那結論2呢？

生8：結論2是正確的。我代入了好幾個x，發現結果都是正數。

師：你代入了幾個數？你能保證代入下一個后結果還是正的嗎？

生9：不能。

師：有限個數只能用來猜想。數學要“大膽猜想，小心求證”，你能說說這里的理由嗎？

生10：我們可以通過配方得到（x-1）2+1，所以結果都是大于或等于1的，自然都是正數了。

師：說得太棒了。

設計意圖：由特殊到一般是一種常見的解決數學問題的方法，但這并不能從根本上解決問題，所以學生就產生了如何證明的欲望。本題包含兩層意思：一是要說明一個結論正確，需要經過嚴密的推理論證，特別是用字母表示變量時；二是要說明一個結論錯誤，只需要舉一個反例。學生在操作交流中提升對歸納猜想、合情推理的本質認識，既獲得了數學知識，又掌握了數學經驗，有助于發展勇于探索的創新精神。

活動4：數學史料

教師介紹費馬數和歐拉的故事（故事略）。

學生交流討論學習感想。

設計意圖：通過費馬數和歐拉的故事，再次說明只憑感覺或只靠對部分例子的研究來判斷一個數學結論是否正確是不夠的，合乎邏輯的推理證明是必要的。同時也用數學史提升學生對數學的興趣，培養學生的核心素養。

五、教學反思

數學來源于生活。數學課不僅要再現生活數學的美麗圖景，還要帶領學生走進“數”的海洋。教師創設問題情境，引導學生進行深入細致的觀察分析，可以培養學生的觀察能力和直覺思維能力，同時，構建數學活動可以培養學生分析問題和解決問題的能力。在教學過程中，我們既要重視直觀教具的使用，還要盡可能地讓學生多參加實踐操作活動。動手剪、拼的過程是探索理性精神的引子，目的是讓學生自然而然地產生深入研究的欲望，感受數學的嚴謹美和應用美，弘揚數學美的文化價值。

這就要求教師在今后的教學中，學會用欣賞的眼光去審視數學知識，深入挖掘數學內容中所蘊含的數學美，并運用巧妙的手段寓美于教，讓學生懷美而學，喚起學生的審美欲望，使學生在汲取知識的同時，體會數學獨特的美學價值，提高學習數學的興趣，培養自我反思和勇于探索的理性精神。