應(yīng)用激光跟蹤儀的數(shù)控機床空間精度檢測方法

韓 林， 肖 杰， 何 韜， 石純標， 袁明記

(1. 中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900;2. 國家機床產(chǎn)品質(zhì)量檢驗檢測中心（四川），四川 成都 610200)

0 引 言

三軸數(shù)控機床空間精度是指機床實際運動位置與指令位置沿X、Y和Z軸線方向的坐標差值和沿A、B和C軸線方向偏差的最大值，是表征數(shù)控機床性能的關(guān)鍵技術(shù)指標[1]，數(shù)控機床坐標軸定義及空間精度如圖1所示。而且數(shù)控機床空間精度補償功能也越來越成為衡量先進數(shù)控系統(tǒng)的高級功能之一。而如何實現(xiàn)數(shù)控機床空間精度檢測與補償是當前亟需解決的問題之一。

圖1 數(shù)控機床坐標軸定義及空間精度示意圖

數(shù)控機床空間精度測量可利用球桿儀[2]、激光干涉儀[3]、高精度實物基準[4]、標準球板[5]等方法實現(xiàn)。上述方法基于運動學(xué)建模，通過數(shù)控機床幾何精度檢測，實現(xiàn)機床刀具中心點的空間誤差預(yù)測，進而評價其空間精度與加工精度，屬于空間精度間接測量方法[6]。間接測量方法所用設(shè)備安裝調(diào)整復(fù)雜、受人員操作水平和測量范圍限制較大，且無法直接測量機床空間精度[7]。

激光跟蹤儀是一種大尺寸空間坐標測量基準，具有測量空間大、精度高、可直接檢測目標位置坐標精度的優(yōu)點，在機床裝備、三坐標測量機及工業(yè)機器人空間精度檢測領(lǐng)域有較為廣泛的應(yīng)用[8-10]。目前，大多采用單臺或多臺激光跟蹤儀在機床工作臺若干位置，基于激光跟蹤儀測長數(shù)據(jù)求解空間位置坐標，避免使用激光跟蹤儀測角數(shù)據(jù)，以提高系統(tǒng)測量精度[11]。Umetsu等[12]使用四臺激光跟蹤儀，以激光跟蹤儀間的位置關(guān)系作為約束條件，實現(xiàn)了三坐標測量機和數(shù)控機床空間精度和幾何誤差的解算；Schwenke等[13]基于三坐標測量機及機床幾何誤差約束條件應(yīng)用激光跟蹤儀實現(xiàn)了空間精度檢測，并開展了測量不確定度評定；Ibaraki等[14]提出了利用開環(huán)激光跟蹤儀進行機床空間精度檢測方法，并評定了系統(tǒng)測量不確定度。Wang等[15]利用激光跟蹤儀采用基站自標定與測量點反標定算法實現(xiàn)了機床空間精度檢測與幾何誤差分離，但該方法僅適用于中高端機床精度檢測；Mutilba等[16]應(yīng)用激光跟蹤儀進行了數(shù)控機床幾何誤差檢測，并研究了影響測量精度主要因素。韓林等[17]基于誤差評定約束條件實現(xiàn)了三坐標測量機空間精度求解與預(yù)測，并與多種算法及激光干涉儀檢測結(jié)果進行了對比，驗證了所提方法的有效性。

上述方法或者利用機床理論坐標進行跟蹤儀位置標定，或者利用跟蹤儀測量坐標系進行測量點位置標定，或者利用幾何誤差模型進行數(shù)控機床空間精度標定，均不能在機床坐標系下直接確定機床空間精度，且由于間接求解和坐標變換降低了數(shù)控機床空間精度的求解精度。

本文提出了一種應(yīng)用激光跟蹤儀的數(shù)控機床空間精度求解方法，該方法基于三維測邊網(wǎng)秩虧自由網(wǎng)平差原理，以待測點與理論點間距離最小作為約束條件，實現(xiàn)了數(shù)控機床空間精度的直接求解，避免坐標系變換以提升系統(tǒng)測量精度；并利用蒙特卡洛方法進行了系統(tǒng)測量不確定度評定；最后開展了數(shù)控機床空間精度測量與對比驗證試驗，通過與激光干涉儀檢測結(jié)果對比，驗證了求解算法的正確性；通過與多次重復(fù)試驗結(jié)果對比，驗證了測量不確定度評定結(jié)果的準確性。

1 數(shù)控機床空間精度測量基本原理

在數(shù)控機床空間精度測量過程中，通常將單臺激光跟蹤儀放置于機床工作臺上若干不共面的位置，控制機床移動至若干待測位置，分別對目標位置進行測量，記錄激光跟蹤儀長度變化值。根據(jù)激光跟蹤儀各個位置與測量點間的兩點距離公式，建立非線性方程組，并進行求解，即可得到待測空間點的位置坐標。測量過程摒棄了激光跟蹤儀的測角數(shù)據(jù)，因此可以獲得較高的測量精度。應(yīng)用激光跟蹤儀測量數(shù)控機床空間精度的基本測量原理如圖2所示。

圖2 數(shù)控機床空間精度測量原理

如圖 2 所示，Qi（i=1, 2, ···, m）代表激光跟蹤儀的位置坐標，Pj（j=1, 2, ···, n）代表機床被測點的位置坐標。li為激光跟蹤儀在各個測量位置處的死區(qū)長度。li,j為激光跟蹤儀在各位置處與測量點間的長度讀數(shù)值。根據(jù)兩點之間的距離公式可得：

全部測量過程可轉(zhuǎn)化為如式(2)所示的方程，其實質(zhì)是實現(xiàn)該方程的最優(yōu)化求解。

式(2)中共有方程數(shù)m×n個，測量方程未知數(shù)共4m+3n個，包括激光跟蹤儀位置坐標、死區(qū)長度和待測目標點的位置坐標。為保證方程有解，應(yīng)滿足基本條件：

在實際測量過程中，通常將激光跟蹤儀放置于4個位置進行測量。由式(3)可知，當測量位置的個數(shù)m=4時，測量點個數(shù)n≥16。

2 數(shù)控機床空間精度求解方法

2.1 機床空間精度求解方法

為實現(xiàn)式（2）的求解，假定激光跟蹤儀的三維坐標 Qi為 (Xi，Yi，Zi)，測量點 Pj的三維坐標為 (xj，yj，zj)。當激光跟蹤儀在第i個測量位置對第j個測量點進行測量時，則公式(1)轉(zhuǎn)化為：

由于求解方程為非線性方程，非線性方程的直接迭代求解過程較為復(fù)雜，且求解效率不高。因此，可使用非線性方程組線性化的迭代方式求解。為簡化求解，此處利用泰勒級數(shù)展開方法，并忽略高次項對求解的影響，利用一階展開可將式(4)轉(zhuǎn)化為線性方程利用最小二乘法理論進行求解。

式中：vij——公式殘差；

(δXi，δYi，δZi)——第 i個測量位置三維坐標的修正數(shù)；

(δxj，δyj，δzj)——第 j個測量點位置三維坐標的修正數(shù)。

系數(shù) aij、bij、cij和常數(shù) dij可表示為：

結(jié)合式(5)，可將式(2)所示的全部測量過程表示為矩陣形式：

式中：V——殘差向量；

A——系數(shù)矩陣；

β——各未知數(shù)的修正數(shù)構(gòu)成的向量；

D——距離差值常數(shù)向量。

可分別表示為式(8)、式(9)和式(10)。

在激光跟蹤儀測量數(shù)控機床空間精度過程中，僅知激光干涉測長數(shù)據(jù)，缺乏必要位置和方向的計算數(shù)據(jù)，該問題求解過程屬于典型的三維測邊秩虧自由網(wǎng)平差問題[18]。系數(shù)矩陣A為秩虧矩陣，秩虧為6，因此方程系數(shù)矩陣ATA為奇異矩陣，解不唯一。為獲得唯一解，需要加入新的約束條件。

根據(jù)秩虧自由網(wǎng)平差求解原理，將待測點與理論點間距離之和最小作為約束，約束條件可用矩陣描述為：

其中Q為附加約束矩陣，可表述為式：

式中：M——6×3m的零矩陣；

K——6×m的零矩陣；

G——行滿秩矩陣。

可表示為式(13)。

聯(lián)立式(7)和式(12)，可以求得待求未知數(shù)的修正數(shù)向量β，將其寫成矩陣形式為：

式中：k——零構(gòu)成的列向量；

摒棄傳統(tǒng)的計劃經(jīng)濟觀念，樹立相應(yīng)的市場經(jīng)濟觀念，將高校國有資產(chǎn)視為一種資源，確保國有資產(chǎn)的保值增值。從學(xué)校的長遠規(guī)劃出發(fā)，合理使用相關(guān)資產(chǎn)，在確保國有資產(chǎn)完整、安全的前提下，充分發(fā)揮資產(chǎn)的社會效益和經(jīng)濟效益。要改變以往“重錢不重物”的管理思想，要求“錢物并重”。同時，增強動態(tài)管理意識，根據(jù)條件變化，適時完備管理機制［1］。

向量β——機床各測量點沿X、Y和Z方向的空間誤差。

利用各測量點X、Y和Z方向的空間誤差值，可以計算各點的空間位置誤差值，如下式所示：

設(shè)定被測機床的空間精度為各點空間位置誤差的最大值，可表述為：

2.2 算法仿真實驗

仿真過程中，設(shè)定測量軌跡為測量空間所組成立方體的12條棱邊。每條棱邊均布3個點，共測量24個目標位置。激光跟蹤儀各位置坐標及死區(qū)長度設(shè)置見表1。

表1 求解算法仿真設(shè)定

仿真時，根據(jù)兩點間距離公式求出測量位置和測量點之間的距離，減去每個跟蹤儀位置的死區(qū)長度，作為激光跟蹤儀的讀數(shù)值。并設(shè)定激光跟蹤儀測長誤差服從正態(tài)分布，幅值為 0.2 μm+0.3Lμm/m。利用本文所提方法進行求解，可以得到機床空間位置誤差。

圖3所示機床空間精度測量仿真結(jié)果。在考慮激光跟蹤儀的測長誤差時，利用空間精度求解方法，得到機床最大空間位置誤差為5.4 μm。一般情況下，數(shù)控機床在未補償?shù)那闆r下，其空間精度通常在20～50 μm之間。因此，仿真結(jié)果表明了本文求解方法導(dǎo)致的測量誤差低于被測對象精度的1/3，可以驗證本文方法的可行性，并且能夠滿足適用于高精度數(shù)控機床的空間精度檢測。

圖3 機床空間精度測量仿真結(jié)果

3 測量不確定度評定

求解模型為非線性方程組，測量點數(shù)和方程數(shù)較多，不便于計算不確定度傳播系數(shù)。因此，本文采用蒙特卡洛法來進行機床空間精度測量結(jié)果的不確定度評定。

3.1 不確定度模型的建立

式中，L為輸入量，代表激光跟蹤儀測量長度。

3.2 不確定度來源及其分布

被測機床處于等溫、等濕、隔振的環(huán)境中，環(huán)境溫度控制在(20±0.5) ℃范圍內(nèi)。而且各軸線測量行程較短，所以可忽略溫度、濕度、振動等因素對于測量結(jié)果的影響。因此，主要考慮激光跟蹤儀激光測長誤差引起的不確定度分量，測長不確定度幅值為U(L)=0.2 μm+0.3Lμm/m（k=2），服從高斯分布。

3.3 蒙特卡洛試驗包含概率和次數(shù)

包含概率p取95%，試驗次數(shù)M一般可取106次。但是仿真次數(shù)越多，會大大影響計算效率和成本。另外，在多次仿真試驗中發(fā)現(xiàn)當試驗次數(shù)為104時，可以將誤差控制在5%以下。因此，在試驗過程中可取試驗次數(shù)M為104。

3.4 空間精度測量不確定度評定

確定了測量模型、不確定度來源及其分布和開展實驗的次數(shù)，可以按照文獻[19]中所述蒙特卡洛方法（MCM）進行測量不確定度評定，其流程如圖4所示。最終報告結(jié)果為數(shù)控機床空間精度ΔD的估計值ΔDg、標準不確定度u(ΔDg)以及包含概率p概率和包含區(qū)間的兩端點。

圖4 測量不確定度評定流程

4 試驗驗證

4.1 數(shù)控機床空間精度測量與不確定度評定

在(20±0.5) ℃的溫度環(huán)境下，將單臺激光跟蹤儀依次放置于三軸數(shù)控機床工作臺上不共面的四個位置，開展數(shù)控機床空間精度測量試驗。三軸數(shù)控機床從工件到刀具端的運動傳遞鏈為WYXZT（工件-Y軸線-X軸線-Z軸線-刀具）測量過程中設(shè)定機床進給速度為20 mm/s，在每個測量位置停止時間為 5 s，各軸測量步距設(shè)定為 100 mm，測量過程用時15 min。激光跟蹤儀各位置坐標及數(shù)控機床待測點坐標設(shè)置如圖5所示。

圖5 檢測過程坐標設(shè)置

測量過程結(jié)束后，利用數(shù)控機床空間精度求解方法可計算得到激光跟蹤儀4個位置的三維坐標和死區(qū)長度，如表2所示。

表2 激光跟蹤儀位置坐標及死區(qū)長度

計算得到各測量點的空間位置誤差，并采用蒙特卡羅方法開展不確定度評定得到各點的標準不確定度，如圖6所示。設(shè)定所有測量點的最大空間位置誤差為三軸數(shù)控機床空間精度，可以得到數(shù)控機床空間精度估計值ΔDg=31.6 μm，標準測量不確定度為u(ΔDg)=10.2 μm，最短95%概率對稱包含區(qū)間為 [9.3 μm，53.9 μm]。

圖6 機床測量點空間位置誤差及其標準不確定度

4.2 測量求解方法驗證試驗

在(20±0.5) ℃環(huán)境條件下，在某機床本體運動行程所組成的測量空間內(nèi)，使用激光跟蹤儀對其空間精度進行測量。其中，X軸測量行程為[0, 700] mm，Y軸測量行程為 [-500, 0] mm，Z軸測量行程為[-700, 0] mm。利用實際測量得到的目標位置，根據(jù)距離公式可以計算得到各軸線的定位偏差。此外，使用激光干涉儀對某機床本體X、Y和Z軸線的定位偏差進行檢測，檢測軌跡與激光跟蹤儀部分測量軌跡重合，檢測現(xiàn)場如圖7所示。

圖7 激光干涉儀檢測現(xiàn)場圖

在相同檢測軌跡下，分別使用兩種方法及文獻 [12]、文獻[13]和文獻 [15]所提方法X、Y和Z軸線的定位偏差進行測量，對檢測結(jié)果進行對比驗證。圖8所示幾種方法下的定位偏差測量值及檢驗結(jié)果對比驗證?？梢钥吹?，除了文獻[15]所提方法外，其余四種方法測得定位偏差較為接近，且定位偏差絕對值基本隨著X、Y和Z軸坐標值的增大而增大。

圖8 檢測結(jié)果對比驗證

與激光干涉儀結(jié)果曲線進行對比，可以看到相較于文獻[12]、文獻[13]和文獻[15]方法，本文方法測量得到的X、Y和Z軸定位偏差與激光干涉儀檢測結(jié)果更為接近，可以說明本文方法測量精度較文獻中3中測量方法精度較高。其中，本文方法在Z軸坐標值為280 mm處定位偏差值與激光干涉儀測得結(jié)果相差最大，激光干涉儀測量得到的定位偏差為 24.8 μm，本文方法檢測結(jié)果為 18.4 μm，兩者測得的定位偏差達到最大差值6.4 μm，而且最大偏差小于激光干涉儀測量結(jié)果的1/3，可以說明該方法的有效性。

4.3 測量不確定度評定結(jié)果驗證試驗

為驗證測量不確定度評定結(jié)果評定的準確性，使用激光跟蹤儀在相同條件下進行多次空間精度重復(fù)測量試驗。在每個激光跟蹤儀測量位置重復(fù)測量10次，共得到10 000次組合測量數(shù)據(jù)，測量數(shù)據(jù)包含了測長誤差及重復(fù)性、機床重復(fù)性、溫度變化、振動等影響，測量時間共計3 h。使用10 000次組合測量數(shù)據(jù)計算各個點的空間位置誤差，計算每個位置的空間誤差均值和標準差。計算結(jié)果并對測量不確定度評定結(jié)果進行對比驗證，如圖9所示。

圖9 測量不確定度結(jié)果驗證

從圖9可以看到，組合測量結(jié)果的均值與不確定度估計值與本文不確定度評定結(jié)果趨勢基本相同，幅值相近；從圖9(a)中可以得到，組合測量結(jié)果均值與本文計算估計值在測量第5點位置處相差最大，為8.8 μm。從圖9(b)中可以得到，本文標準不確定度評定結(jié)果與多次重復(fù)測量結(jié)果的標準差值趨勢近似，在第5測量點位置處相差最大為2.1 μm。對比結(jié)果在第5測量點處的差異較大，可能由于環(huán)境因素、機床重復(fù)定位精度以及激光跟蹤儀測長不確定度等因素對第5測量點處測量結(jié)果的影響較大；在后續(xù)試驗中需要進行影響因素分析，并采取優(yōu)化激光跟蹤儀布局等措施來降低機床空間精度測量不確定度?？傮w上，兩種方法對比結(jié)果總體上差異性仍在可接受范圍以內(nèi)，說明了僅考慮測長因素影響下的測量不確定度評定結(jié)果的可行性與準確性。

5 結(jié)束語

1）建立了應(yīng)用激光跟蹤儀的數(shù)控機床空間精度測量數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了其線性化矩陣表達式。提出了應(yīng)用約束條件的空間精度求解方法，解決了由于秩虧導(dǎo)致的求解奇異問題。開展了該求解方法的計算機仿真，在考慮激光跟蹤儀測長誤差的影響下，空間位置誤差計算結(jié)果與理論值最大相差5.4 μm，驗證了本算法的可行性。

2）建立了系統(tǒng)的測量模型，考慮測長誤差引起的測量不確定度來源，確定了模擬試驗次數(shù)和包含概率，根據(jù)蒙特卡羅方法評定測量不確定度的流程，實現(xiàn)了數(shù)控機床空間精度測量不確定度評定。

3）開展了應(yīng)用激光跟蹤儀的數(shù)控機床空間精度測量與不確定度評定試驗，三軸數(shù)控機床空間精度估計值為31.6 μm，標準測量不確定度為10.2 μm，最短 95% 概率對稱包含區(qū)間為 [9.3 μm，53.9 μm]。與激光干涉儀檢測結(jié)果相比，X軸、Y軸和Z軸定位偏差最大相差6.4 μm；與多次重復(fù)測量結(jié)果對比，標準不確定度與重復(fù)測量標準差之間的最大差值為2.1 μm。試驗結(jié)果驗證了空間精度檢測與測量不確定度評定結(jié)果的正確性。