高年級小學生數學建模的表現性評價

江欣懌

（上海市黃浦區教育學院，上海 200023）

在義務教育階段，模型思想首次出現于2011年頒布的《義務教育數學課程標準》，成為與數學素養相關的十大核心詞匯之一。大量研究與文獻圍繞數學建模的內涵、過程、環節及教學設計、實施策略展開，為數不多的數學建模評價研究聚焦在中學生數學建模能力與水平分類、大規模測評框架和工具的設計等，卻鮮有相關研究從小學生的認知發展水平出發，以表現性評價的視角在日常建模教學活動中關注小學生的具體行為表現。

為此，本文通過剖析表現性評價方法適于數學建模的原因，基于表現性評價要素和數學建模評價重點，以高年級小學生為對象，還原建模任務設計、評價標準制定等過程，旨在為教師開展課堂建模評價提供范式；同時于任務實施中提取學生的典型行為和解答，以期為建模教學提供有價值的指導信息和實證案例。

一、表現性評價為何適用于數學建模

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學建模素養是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構造模型解決問題的素養。①中華人民共和國教育部：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，人民教育出版社2020年版，第5頁。數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型、最終解決實際問題。②中華人民共和國教育部：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，人民教育出版社2020年版，第5-6頁。可見，數學建模是強調學生數學應用與問題解決的活動，學生需要用數學的觀點來解釋一個實際生活中發生的復雜情境，并用數學的描述、程序、方法和工具來解決現實問題。

已有研究表明：建模水平的評價既要兼顧過程性，即學生經歷的建模步驟，還要具有結果性，即學生達到的建模能力水平。①魯小莉，程靖，徐斌艷，王鴦雨：《學生數學建模素養的評價工具研究》，《課程·教材·教法》2019年第2期，第102-104頁。我們固然可以通過紙筆測試來了解學生建模水平，但是學生經歷了哪些建模過程、學生表現或者典型行為如何、教師基于教學現場怎樣做出及時反饋等問題，難以通過紙筆測驗或大規模測評來獲得答案。

明確了數學建模的評價目標與重點，就要選擇與之匹配的評價方法。表現性評價是基于新型學習理論如建構主義、多元智能等理論，其具體意涵是指：在盡量合乎真實的情境中，運用評分規則對學生完成復雜任務的過程表現或結果做出判斷。②周文葉：《中小學表現性評價的理論與技術》，華東師范大學出版社2014年版，第53頁。表現性評價具有三大特點：可評價學生綜合運用知識進行實作與表現的能力；在真實情境中不僅能評價結果還能評價過程；需要適切的評分規則。

表現性評價特別注重創設真實情境下的開放性任務，強調與學習過程進行有機融合，并在學習者與任務互動的過程中收集證據或表現。通過實施嵌于課堂的表現性建模任務，不僅可以促進學生建模學習過程與效果的改善，還可以賦予學生更多反思和合作的機會，而這些均與數學建模教學與評價的要義高度匹配。

二、數學建模表現性評價任務的設計

1.評價對象的選擇

高年級小學生正處于具體運算階段向形式運算階段過渡時期，也是學生數學思維發展的關鍵期。值此年齡段的學生，其知識儲備和認知能力均有了較好的發展，且能比較清晰地表達自己的觀點，為建模教學設計與實施鋪墊了較好的基礎。

2.任務設計的考量

高質量的表現性評價任務設計，因其用于評價高階思維過程和學習目標，具有復雜性，需要反復思考與探索。一個高質量的表現性任務需要考慮多重因素，并歷經任務分析、情境選擇、指導語呈現、修改完善的循環過程。以下是筆者開發的高年級小學生建模任務：

為了盡早發現新冠病毒的潛在傳染源，有效切斷傳播途徑，上海市各小區最近都在進行網格化核酸檢測。

居委會干部小李提前一天接到光明小區采樣的任務通知，目前他手中掌握的情況是：光明小區共有10棟樓，全部為20層的高樓，每層樓都是兩戶人家。根據半年前的不完全統計，小區登記在冊人數為1100—1300人。檢疫部門一共安排4位檢測人員進入小區，共分成兩組，每組各有一位負責掃碼和采樣。按照防疫要求，以20人為一組混合采集成一個樣本。根據經驗，如果大家提前準備好檢測二維碼，那么這20人一組從掃碼編號到完成采樣所花時間約為10分鐘。

問題1：上級部門請小李預估一下，光明小區的檢測時間大約持續多久？

問題2：得知小李的預估后，上級部門告訴小李，檢測小隊明日清晨將會提前進入小區做好準備工作，并于7點正式開始采樣。同時提出了三點要求：減少聚集，縮短居民排隊時間，人人都要檢測。上級建議小李按照樓棟號1—10的順序依次進行，同時設計并制作一張各樓“集合與檢測時間安排表”，分發給各樓組長以便通知各戶居民。如果你是小李，你會怎么設計這張安排表？還需要哪些輔助工作？

問題3：如果上級部門又增加了“在11點前完成全部檢測工作”的要求，你覺得小李能否完成任務？之前設計的時間表是否有優化的空間？除此以外，是否還有其他做法，能夠又快又好地完成光明小區檢測任務？

請結合文字、算式、符號、圖形等多種方式，簡要描述你思考問題的過程和設計的原因，并呈現完成整個任務需要的輔助工具，以及最終的計劃、表格等學習結果。

在設計上述任務過程中，需要關照以下兩點：

（1）情境真實是關鍵

無論從數學建模的角度，還是表現性評價特性出發，都需要將任務盡量設置在真實的情境中，且越接近真實情況越好。一般來說，情境分為個人生活、社會生活、職業生活和科學情境?？紤]到小學生的年齡特點，更為適切的是個人生活情境。

2022年4—6月，恰逢上海新冠肺炎疫情發展最為嚴重的特殊時期，居家一邊上網課一邊做核酸檢測，成為每位上海學生難以忘記的經歷，而這無疑是極其優質的情境資源：與真實生活相連，所有學生都格外熟悉；該情境兼顧小學生個人生活與社會生活，每位學生都有參與的經驗；情境真實但問題較復雜，任務形式新穎但結果可多樣，這些都能自然而然地激發學生的興趣和參與熱情，進而調動積極性，促進學生更高水平的學習和表現。

（2）任務適切是核心

任務中出現了大量的數字和信息，需要學生識別有效信息，抽象簡化后，建立以“乘除運算”為主的數學模型并求解，隨后對結果進行簡單的檢驗和分析。該任務形式能讓學生感受挑戰，但同時并不會特別費力而產生挫敗感。

在任務的前期試測階段，筆者嘗試直接給出較為開放的任務，即7點開始11點結束，不提供任何工具和策略提示。從反饋結果來看，因為線上教學很難實施小組合作，加之任務開放度過高，超過了小學生的經驗和實際認知水平，導致絕大多數學生不能獨立完成任務，相應的建模過程和學生的建模行為便無從體現。鑒于此，筆者在后續試測過程中重新調整，對問題難度進行了梯度設計。在沒有任何限制條件的基礎上，請學生首先預估檢測時間，隨后再增設減少聚集、縮短等候時間等條件，并提供了“時間安排表”這一支架。問題3則提出大幅縮短整體時間的更高要求（遠低于學生在問題1中的預估），進而暗示學生：需進一步捕捉隱藏信息，或者結合自己的真實體驗，對原有模型進行優化和改進。

三、數學建模表現性任務：量表設計與規則制訂

1.觀察量表的設計

為了獲取學生的建模步驟及主要表現，需要在明確建模的具體流程和對應觀察的重點基礎上，設計適用于該任務的觀察量表。

從《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》給出的數學建模過程圖可見，建模始于提出真實問題，然后經歷建立模型、求解模型、檢驗結果的循環過程，循環次數取決于檢驗結果是否合乎實際，如合乎實際便是最終的實際結果。①中華人民共和國教育部：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，人民教育出版社2020年版，第35頁。魯小莉等認為，建模步驟的關鍵點在于：做出假設，識別變量，選取合適的數學公式，得到數學解答，解釋并驗證解答，匯報結果。②魯小莉，程靖，徐斌艷，王鴦雨：《學生數學建模素養的評價工具研究》，《課程·教材·教法》2019年第2期，第102頁。而百?。˙lum）和凱撒（Kaiser）提出的數學建模過程中，5個子能力及對應的行為指標描述能較好地關照建模環節和行為重點。故而，筆者以此為基礎，形成了如表1前3列所示的觀察量表。同時結合任務實施的現場觀察，在第4列呈現了學生完成建模任務時的主要行為和解答。

表1 高年級小學生數學建?；顒佑^察量表及學生行為①表1中“建模中的子能力”與“行為描述”兩列內容引自魯小莉，程靖，徐斌艷，王鴦雨：《學生數學建模素養的評價工具研究》，《課程·教材·教法》2019年第2期，第103-104頁。

在上述觀察表的使用過程中，我們發現：如果學生能建構出后面的模型，就可以判斷為其已經理解了現實問題情境。數學化是建模過程中最為關鍵的步驟，部分學生通過假設每戶人數來獲取小區總人數，通過乘除運算建立簡單的模型，并制訂出時間安排表。

2.評分規則的制訂

根據魯小莉等人的研究結果，以其對于學生建模水平“以質性描述為主”的等級劃分作為建模評分規則，同時將本任務中學生的典型解答與對應水平進行了呈現（見表2）。

表2 高年級小學生建模水平及本任務中的解答①表2中“水平”與“描述”兩列內容引自魯小莉，程靖，徐斌艷，王鴦雨：《學生數學建模素養的評價工具研究》，《課程·教材·教法》2019年第2期，第104頁。

因為表現性評價作為質性評價的一種方式，其受到教師主觀感受的影響較大，故而需要綜合考量不同評價教師的認識，以保證評價的可信度。在運用評分規則實施評價時，需要由3名以上教師通過討論、預設答案、基于試測的學生結果來完善評價結果。

四、數學建模表現性評價任務的實踐結果

1.關于結果性評價：高年級小學生建模水平參差不齊

據部分學校實踐反饋，40%左右的學生不能從大量的文字和數字中分辨有效信息，質疑問題缺乏條件或者不合理，不能予以適當的假設，進而無法建立數學模型或者模型錯誤，屬于水平0到水平2的范疇。

50%左右的學生屬于水平3，即能夠通過合理假設獲得小區大概人數，估算出檢測的時間，并根據前期估算指導時間表的制訂，但時間表在5小時的預設里，無法達成“提前至11點前結束”的要求。有部分學生表達了時間表需要根據現場情況做及時調整的想法，但是沒有明確指出該如何調整，可以理解為：有優化模型的意識但缺乏優化的方法和行為，故仍屬于水平3。

約10%的學生能夠達到水平4，他們能識別重要的數量和信息，借助圖表、公式清晰地表達自己的設想；能注意到要在后續樓棟銜接中預留提前集合的時間，并在時間表中予以具體的安排，但也僅限于“11點完成任務”；部分學生同時關照到特殊人群并落實了具體的時間；僅有極個別學生在問題3的提示下，能體會到后一組掃碼和前一組檢測存在時間重疊，合理利用便可大幅縮短時長，甚至提前至10點前完成，此類學生屬于水平5。除任務中設置的“時間表”模型外，學生均表示再無其他解決辦法，這也和小學生的年齡特點及知識結構相符合。

2.關于過程性評價：高年級小學生建模過程普遍存在難點

在評價學生建模結果的同時，教師也試圖從每一位學生的回答中了解其思考方式和解決問題的過程。表現性任務里沒有完全相同的答案，通過批閱每一位學生的解答，可以充分感受學生極具個性的學習表現，進而知曉他們在數學建模的哪個環節存在困難，具體在哪個步驟出現停滯而導致建模失敗。

通過綜合分析，發現學生普遍存在如下難點：一是處于低水平的學生不能理解情境，不能關聯相應的數學知識，無法進行數學表征；有學生即便意識到要運用乘除法進行計算，也因缺乏合理假設或忽視隱藏信息而建模失敗?？梢?，從實際情境到建立模型的環節，需要教師于課堂教學中引導和點撥。

二是在檢驗模型環節中，學生表現與許多研究結論一致，即幾乎所有的學生都沒有結合現實情境，審視自己的安排是否合乎實際。即使在教師的引導下，大多數學生也是進行數學內部的驗證，比如關注算式列對與否，以及運算是否準確等，并沒有回到現實情境中考慮其可行性和合理性。而是否涉及真實背景且能否在現實檢驗，是區分“數學建?！迸c“問題解決”的關鍵，需要教師在建模教學中不斷引導，才能幫助學生真正形成運用數學知識解決現實問題的意識和能力，而這也是數學建模的核心要義。

3.關于評價任務本身：表現性任務受到學生歡迎

伴隨著任務實施，筆者通過問卷星對參與的高年級小學生進行了一次微調查。當問及“解答這個問題時，你的感受如何”時：22%的學生感到“十分有趣，我能解決”；回答“有趣，但是有難度”的學生占到52%；而回答“沒興趣，不知道要干什么”的學生為16%；其他回答為10%。這一調查結果，與筆者的預期及任務實踐結果的反饋較為一致。

五、表現性建模評價任務的研究反思

1.以逆向設計優化建模教學模式

傳統的內容驅動教學模式，是從教材到教學再到評價。而表現性評價倡導將評價嵌入課堂教學設計與實施中，起點是學習目標而非教材或教學內容。①周文葉：《中小學表現性評價的理論與技術》，華東師范大學出版社2014年版，第146-147頁。在本研究中，筆者遵循“逆向教學設計”的步驟，以學習目標為任務的起點，明確數學建模的培養重點，評價方案先于教學活動設計。研究發現：教師通過任務單，關注學生的行為表現，預判學生在建模過程中存在的難點和困惑，并在隨后的授課環節予以適時的引導和啟發，始終以學生的“學”為中心，從而實現教、學、評的一致性。

2.以評價提升建模教學敏感度

文中設計的建模任務，只是筆者引入表現性評價方法于數學建模這一點上的嘗試，并不能覆蓋小學階段數學知識的四大板塊，且關注點僅聚集在學生的認知層面，尚未涉及學生在建模時與元認知相關的情感、判斷與信念等方面。鑒于此，希望一線教師能提高數學建模教學的敏感度，因為好的評價可以引導教師行動，幫助學生衡量自己的進步，從而加速習得這些能力。①琳達·達令-哈蒙德，弗蘭克·亞當森：《超越標準化考試：表現性評價如何促進21世紀學習》，陳芳譯，湖南教育出版社2020年版，第2頁。如教師能善于捕捉身邊真實情境并轉化為適切的任務，通過評價獲取學生建模學習的行為，關注學生是否得到預期的證據并借此予以回應，提前指導學生解讀評分規則以激發更良好的表現等，能促進建模教學的實踐。

3.評價任務可做橫縱拓展延伸

“小區核酸檢測安排”表現性任務不僅可以用于在數學學科中考察高年級學生數學建模的水平，還能做橫向與縱向層面的拓展。從橫向層面來說，該任務可關照到學生的組織規劃、表達表現、合作、元認知等多個方面，并能喚醒學生的社會責任感和公民意識。從縱向層面來看，在考慮學生年齡特點和知識結構的基礎上，通過提高任務開放程度與變化任務表現形式，能夠向更高年段延伸，這不失為有益的嘗試。