固定時間擴張狀態觀測器下的四旋翼飛行器滑模控制策略

張昭琪，李平

(華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門 361021)

近年來，被廣泛應用于眾多領域的無人機(飛行器)受到了工業界和學術界的關注[1].無人機按照需求分為消費級無人機及工業級無人機.其中，工業級無人機主要應用于較為復雜的環境中，如運送貨物、環境保護、事故檢測等.相較于傳統飛行器，四旋翼飛行器具有結構簡單、靈活性強、攜帶方便等優點[2-5]，但四旋翼飛行器是一個強耦合、非線性的欠驅動系統，導致其軌跡跟蹤問題面臨諸多挑戰.因此，如何實現工業四旋翼飛行器穩定、快速地跟蹤期望軌跡成為一個熱門的研究課題.

滑模控制(SMC)作為一類非線性控制，具有快速相應、對應參數變化及擾動不敏感、物理實現簡單等特點.目前，研究人員已提出許多擴展滑模控制的方法，并應用于四旋翼飛行器的控制器設計中[6-11].文獻[6]提出一種用于穩定四旋翼飛行器姿態的魯棒二階滑模控制器，可以克服經典滑模控制中的抖顫現象，并保留滑模的不變性.文獻[7]提出一種穩定一類串級控制系統的滑模控制方法.此外，為說明滑模控制的魯棒性，四旋翼飛行器在飛行過程中，風擾被視為一種特定的擾動因素[12].文獻[13]提出二階滑模控制，以改善四旋翼飛行器存在模型不確定性時的系統性能.然而，上述方法未對滑模面參數選擇進行進一步的研究.為避免有限時間控制在整定時間上的缺陷，文獻[14-16]提出有限時間觀測器和固定時間觀測器，以及在不同被控對象上與控制算法結合的控制策略.文獻[17]將超級扭轉算法與積分滑模控制相結合，解決噴氣式飛行器的預分配時間和跟蹤控制問題.文獻[18]提出與模糊學習結合的固定時間控制方案，以保證足夠快的收斂時間及零跟蹤誤差.然而，上述方法需構造復雜的李雅普諾夫(Lyapunov)函數以保證跟蹤結果.基于此，本文采用固定時間擴張狀態觀測器的二階滑模控制(FTESO-2-SMC)策略，設計四旋翼飛行器系統的控制及擾動補償的方案.

1 四旋翼飛行器模型

圖1 四旋翼飛行器結構模型Fig.1 Structure model of quadrotor

四旋翼飛行器結構模型，如圖1所示.圖1中：F1～F4分別為4個電機的升力；ω1～ω4分別為4個螺旋槳的轉子角速度；[x，y，z]為地球固聯坐標系；O為地球固連坐標系的原點；[xB，yB，zB]為機體坐標系；OB為機體坐標系的原點；φ，θ，ψ分別為四旋翼飛行器的滾轉角、俯仰角和偏航角；g為重力加速度；m為四旋翼飛行器的質量.

4個螺旋槳作為直接動力源，2根硬桿垂直交叉于中心，旋翼對稱分布于4個機臂末端.動力學模型由地球固連坐標系建立的位置模型和機體坐標系建立的姿態模型組成.通過歐拉角建立的四旋翼飛行器動力學模型基于以下3個假設[19-20].1) 四旋翼被視為1個剛體，且結構對稱.2) 四旋翼的幾何中心與重心重合.3) 在四旋翼飛行器的飛行過程中，系統受到的擾動是有界的，各輸出受到的擾動db≤D，b=1，2，…，6，D為擾動的上界.

基于上述假設，可得動力學模型為

(1)

式(1)中:u1～u4為四旋翼飛行器各控制輸入量(控制律)；Ix，Iy，Iz分別為四旋翼飛行器繞機體坐標系的轉動慣量；l為螺旋槳到四旋翼飛行器中心的距離；k1～k6為氣動摩擦系數；Jr為螺旋槳的轉動慣量；ωr為螺旋槳整體的角速度，ωr=-ω1+ω2-ω3+ω4.

在控制策略中，需要考慮內部參數不匹配及外部擾動對系統的影響.由于四旋翼飛行器的欠驅動特性，滾轉角和俯仰角的期望值φd，θd需要根據期望軌跡進行姿態解算得到.令ux=u1(cosφsinθcosψ+sinφsinψ)，uy=u1(cosφsinθsinψ-sinφcosψ)，uz=u1cosφcosθ1，則φd，θd分別為

(2)

式(2)中：ψd為偏航角的期望值.

2 四旋翼飛行器控制策略設計

通過四旋翼飛行器的6個狀態量及控制輸入量的信息建立固定時間擴張狀態觀測器的二階滑模控制策略.在控制結構中，采用二階滑模控制器來保證狀態變量在有限時間內收斂，同時采用固定時間擴張狀態觀測器(FTESO)來估計四旋翼飛行器的位置、姿態及相應的擾動.四旋翼飛行器控制結構圖，如圖2所示.圖2中：xd，yd，zd為x，y，z的期望值.

圖2 四旋翼飛行器控制結構圖Fig.2 Control structure diagram of quadrotor

根據系統狀態將系統分為全驅動子系統和欠驅動子系統，分別采用二階滑模控制器來保證狀態變量在有限時間內收斂.利用固定時間擴張狀態觀測器在時間上限內觀測到擾動項的特點，到達時間上限后，將趨近律中的符號項取消，從而保證系統狀態收斂的同時減少擾動.

2.1 固定時間擴張狀態觀測器的設計

相較于傳統擴張狀態觀測器，固定時間擴張狀態觀測器允許狀態在固定時間內從任意初始位置收斂至真實值.固定時間擴張狀態觀測器的設計以x軸為例進行說明，有

(3)

引理1固定時間擴張狀態觀測器的參數如下.

根據式(3)、引理1及文獻[21]可以得到任意的初始觀測誤差在時間上限內收斂至零的數學推導.因此，觀測誤差將在固定的時間上限內收斂到零，且收斂時間與初始觀測誤差無關.與現有的線性擴張狀態觀測器(ESO)相比，FTESO采用兩個多項式分量，即階數小于1的多項式分量和階數大于1的多項式分量，故FTESO的固定時間收斂特性是基于兩個多項式分量及Tu.當時間t

2.2 二階滑模控制器的設計

二階滑模控制結構圖，如圖3所示.

圖3 二階滑模控制結構圖Fig.3 Structure diagram of second order sliding-mode control

根據四旋翼飛行器的動力學模型，將系統劃分為全驅動子系統及欠驅動子系統.全驅動子系統是由狀態變量[zdψd]T組成的高度和偏航角的雙通道子系統.欠驅動子系統是由狀態變量[xd，θd，yd，φd]T組成的俯仰角和滾轉角的雙通道子系統.

全驅動子系統的滑模面S1，S2分別為

(4)

(5)

式(4)～(5)中：C1，C2為滑膜面系數，C1，C2>0.

(6)

式(6)中：趨近律參數ε1，ε2，γ1，γ2均大于0.

對滑模面進行求導，并根據相應的趨近律，可得全驅動子系統的控制律為

(7)

(8)

式(8)中：C為比例系數.

欠驅動子系統的滑模面S3，S4分別為

(9)

(10)

式(9)～(10)中：C3～C10均為滑模面系數.

(11)

對欠驅動子系統的滑模面進行求導，并根據相應的控制律，可得欠驅動子系統的控制律為

(12)

(13)

2.3 FTESO-2-SMC策略的穩定性分析

FTESO主要用于四旋翼存在內部參數不確定及外部擾動的情況中，以保證系統狀態的快速收斂，并消除控制輸入的抖顫問題.FTESO-2-SMC策略分為3個部分:1) 當t為[0，T1]，主要利用趨近律中的sgn(·)函數保證系統狀態收斂至滑模面；2) 當t為[T1，T2]，此時固定時間擴張狀態觀測器已經跟蹤上誤差項，主要通過前饋補償的方式抵消擾動項，同時取代sgn(·)函數，從而減少控制輸入的抖顫現象；3) 當t為[T2，+∞]，系統狀態從滑模面收斂至平衡點，滑模面參數根據Hurwitz判據得到.

由二階控制器可知，系統狀態誤差可從狀態空間中的任意位置收斂到滑模面.在此基礎上，引入固定時間擴張狀態觀測器，以前饋的方式對控制器進行補償.

當t為[0，T1]，全驅動子系統的控制律為

(14)

(15)

當t為[0，T1]，欠驅動子系統的控制律為

(16)

(17)

根據FTESO的特點，即系統狀態誤差在固定的時間上限內從任意初始位置收斂至零，這意味著達到固定時間后跟蹤上相應的誤差項.因此，當t為[T1，+∞]，取消控制輸入內的符號項，采用FTESO補償取而代之.

(18)

當t為[T1，+∞]，全驅動子系統的控制律為

(19)

(20)

當t為[T1，+∞]，欠驅動子系統的控制律為

(21)

(22)

定理1在整個控制過程引入擾動的情況下，對于四旋翼控制系統及滑模面，分階段采用式(14)～(17)，(19)～(22)進行計算，系統狀態變量將在有限時間內收斂至期望值.更進一步，系統狀態的跟蹤誤差將在有限時間內收斂至零.

證明：選取Lyapunov函數為

第1階段([0，T1]).根據式(5)～(7)，(11)～(12)，(15)～(18)，對選定的Lyapunov函數進行求導，可得

基于擾動有界的假設db∈|D|，參數εi的選擇遵循εi≥|D|，可以將上式改寫為

上式中：ιi=εi-|D|.

第2階段([T1，T2]).根據式(4)～(6)，(9)～(11)，(19)～(22)，有

根據FTESO的特性，當時間為[T1，T2]時，觀測值已經跟蹤上擾動值，可將上式改寫為

第3階段([T2，+∞]).根據上述推導，全驅動子系統的狀態變量誤差將在有限時間內收斂至零，而欠驅動子系統的滑模面參數S3，S4需要滿足Hurwitz判據，從而保證系統狀態誤差收斂至零.以S3為例進行說明.

(23)

當S3=0，可得

(24)

將式(24)帶入式(23)，可得

(25)

(26)

(27)

上式中：ξ1～ξ3為足夠小的常量；a，b，c，A21，A22，A23均為矩陣A的系數.

λleft(A)為矩陣A在負半平面中實部處于最左邊的特征根.矩陣A中的參數選擇需要使λleft(A)?0.因此，矩陣A滿足Hurwitz判據，并且可以得到相應的狀態變量在平衡點附近是漸近穩定的.

令C4≠0，C6≠0，矩陣A的系數為

令|λI-A|=0，可得

相應的特征多項式為

λ3-(A22+c)λ2+(cA22-A21-bA23)λ+cA21-aA23=0.

(28)

設計相應的特征根α1～α3，則特征方程為

(λ+α1)(λ+α2)(λ+α3)=0.

(29)

式(29)中：設計的特征根需要保證在復平面的負半平面.

3 仿真結果及分析

為了直觀地驗證控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平臺上進行仿真實驗.仿真實驗中，四旋翼飛行器模型參數及控制器參數，分別如表1，2所示.

表1 四旋翼飛行器模型參數Tab.1 Parameters of quadrotor model

表2 控制器參數Tab.2 Parameters of controller

仿真實驗中，將初始狀態設置為零，為模擬真實的作業環境，分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.固定時間擴張狀態觀測器的二階滑模控制策略的軌跡跟蹤仿真圖，如圖4所示.位置軌跡跟蹤仿真對比圖，如圖5所示.由圖5可知：相較于二階滑模控制(2-SMC)策略，FTESO-2-SMC策略在期望軌跡變化時更穩定，且收斂速度更快.

圖4 FTESO-2-SMC策略的軌跡跟蹤仿真圖 圖5 位置軌跡跟蹤仿真對比圖Fig.4 Simulation diagram of FTESO-2-SMC strategy tracking trajectory Fig.5 Simulation comparison diagram of position tracking trajectory

為了更清晰地對比兩個控制策略的響應速度及控制輸入，選取其中一點進行定點懸停分析.分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.設定目標點x，y，z，ψ分別為1，0，10，0，仿真對比圖如圖6，7所示.全驅動子系統和欠驅動子系統的控制輸入對比圖，如圖8，9所示.由圖8，9可知：FTESO-2-SMC策略控制輸入更為平滑，有效地減少了控制輸入的抖顫現象.

圖6 位置定點懸停仿真對比圖 圖7 姿態定點懸停仿真對比圖 Fig.6 Simulation comparison diagram of position fixed point hovering Fig.7 Simulation comparison diagram of attitude fixed point hovering

圖8 全驅動子系統控制輸入對比圖 圖9 欠驅動子系統控制輸入對比圖Fig.8 Comparison diagram of fully-actuated subsystem control input Fig.9 Comparison diagram of under-actuated subsystem control input

4 結束語

提出固定時間擴張狀態觀測器的二階滑模控制策略，針對二階滑模控制存在輸入抖顫的問題，采用固定時間擴張狀態觀測器來觀測并抵消擾動.當觀測值未跟蹤上準確的真實值前，由二階滑模控制器確保所有的狀態變量在可控范圍內；當到達時間上限時，取消趨近律中的符號項，從而減少控制輸入的抖顫現象.在今后的工作中，將會把觀測器的時延考慮到控制設計之中.