數學開放性作業，讓學生學會深度思考

劉亞男

［摘? 要］ 精心設計數學開放性作業的目的是讓學生學會深度思考。文章以人教版小學數學教材中的知識點為例，通過設計“觀點辯論”型作業，幫助學生在辨析中弄清本質；設計“聯系區別”型作業，幫助學生在比較中尋找關聯；設計“探究操作”型作業，幫助學生在動手中發現奧秘；設計“梳理總結”型作業，幫助學生在反思中查漏補缺。

［關鍵詞］ 數學開放性作業；作業改革；深度思考

數學開放性作業是指這類數學作業的答案不唯一，沒有固定的書寫格式，以學生視角允許他們發表不同的觀點，教會學生準確表達和深度思考，培養他們的創造性思維。因此，數學開放性作業既體現了數學新課標的要求，又體現了“作業十項管理”中的“創新作業類型方式”。

筆者結合人教版小學數學教材為學生量身定制了高質量的“觀點辯論”型、“聯系區別”型、“探究操作”型、“梳理總結”型等數學開放性作業，使其成為數學基礎性作業的補充，讓他們在數學開放性作業中有個性化的表達。

[?]一、設計“觀點辯論”型作業，在辨析中弄清本質

“觀點辯論”型作業是指教師圍繞學生易混淆的數學概念或公式，以學生的口吻出示不同的觀點，讓他們選擇自己認為正確的觀點，并自圓其說地闡述理由。此類型作業聚焦某個數學知識點，讓學生展現自己的思考過程，在追根溯源中直達數學本質。

如在教學“扇形統計圖”后，筆者讓學生完成以下作業。

有人說：我們已經學過條形統計圖和折線統計圖了，不用再學習扇形統計圖了。你是否同意這個觀點？結合具體例子寫出你的理由。

該項作業是基于學習扇形統計圖必要性的追問，教師借助“有人說”的口吻，引導學生結合不同統計圖的特點和各自優缺點，在分析、比較中選擇能直觀、有效表示信息的統計圖，進一步加深學生對這三種統計圖特點的認識。

又如在教學“數學廣角——集合”后，筆者讓學生完成以下作業。

音樂興趣小組中會彈琴的有25人，會唱歌的有30人，既會唱歌又會彈琴的有16人，兩樣都不會的只有3人。音樂興趣小組一共有多少人？

小紅說：音樂興趣小組一共有25+30+16+3=74（人）。

小華說：音樂興趣小組一共有25+30-16+3=42（人）。

小東說：音樂興趣小組一共有25+30+16-3=68（人）。

你同意誰的說法？請你結合維恩圖寫出理由。

該項作業是基于集合知識的基礎題，題目沒有給出維恩圖和兩個集合的元素，只給出了兩個集合及它們的交集、補集的元素個數，讓學生求出兩個集合并集的元素個數。旨在脫離具體的元素，從集合元素個數的角度，讓學生進一步理解集合概念的含義和交集、并集、補集。

教師巧妙地模擬班級學生的思維路徑出示了幾種解答過程，讓學生在學習重難點處展開辨析，借助畫出維恩圖，呈現自己真實的思考過程，學會用集合思想解決實際問題，加深對集合思想的理解。

[?]二、設計“聯系區別”型作業，在比較中尋找關聯

“聯系區別”型作業是指教師給出兩組或幾組具有關聯的數學知識點，讓學生用文字或畫圖等方式表征出它們之間的聯系和區別。此類型作業是小切口引出深分析，可能是同一知識點不同題型之間的關聯，也可能是不同知識點之間的關聯。

如在教學“多位數乘一位數”后，筆者讓學生完成以下作業。

請你先用不同方法計算12×3，16×4和24×9，再試著說出這三道兩位數乘一位數的乘法題的聯系和區別。

該項作業是基于同一個單元中不同的兩位數乘一位數乘法之間的比較，學生可以指出同一道乘法題不同方法之間的聯系和區別，通過畫圖、口算和豎式等多元表征的轉化，理解每一位上的數表示的含義，將動作表征和符號表征緊密聯系起來。學生還可以指出三道兩位數乘一位數的乘法題之間的聯系和區別，發現它們的算理和算法都是相同的，區別在于是否進位。

又如在教學“小數的加法和減法”后，筆者讓學生完成以下作業。

小數加減法和整數加減法有哪些聯系和區別？（提示：可以舉例來說明）

該項作業是基于不同年級的上位知識和下位知識之間的比較，學生不僅要會正確口算和用豎式計算小數加減法，還要站在較高的視角尋找比較相關知識的角度，比如從研究小數加減法的過程角度、從計算的算理和算法角度、從混合運算的運算順序角度、從加法和乘法運算定律角度等來比較。

[?]三、設計“探究操作”型作業，在動手中發現奧秘

“探究操作”型作業是指教師為學生提供可探究、可操作的學習素材，學生運用已有的知識和生活經驗發現數學奧秘，讓數學學習變得既有趣又有深度。此類型作業是對所學知識的補充和拓展，需要學生動手、動腦、動口，有時還需要小組分工合作，共同完成一項探究任務。

如在教學“分數的初步認識”后，筆者讓學生完成以下作業。

設計花壇

有一塊邊長是10米的正方形空地，現在要在空地上設計一個花壇，使花壇的面積是空地面積的1/2。請你在下面的正方形中盡可能多地畫出你的設計圖。（注：在學生的練習紙上畫36個這樣的正方形）

該項作業是一道運用分數知識的綜合實踐題，需要學生從不同的角度探索解決問題的策略，運用所學知識解決生活實際問題。對于這道開放題，學生通常能想到5種或6種不同的設計方案，教師需要引導學生探究出更多的設計方案，并對畫圖策略進行分類：“映射”型、“有序排列”型、“化直為曲”型、“運用分數基本性質”型、“圖形的組合（拆分）”型、“間隔取”型、“旋轉”型、“整體認知”型等。

又如在教學“圓錐的體積”前，筆者讓學生完成以下作業。

“圓錐的體積”研究報告

下面的圓柱和圓錐底面積相等，高也相等。

1. 估一估：這個圓錐的體積是圓柱的幾分之幾？

2. 驗證：用什么辦法來檢驗你的估計？先想一想你需要哪些工具和材料。準備用哪幾個步驟完成你的驗證？然后做一做實驗，記錄你的實驗過程和結論。

3. 根據你的實驗，想一想可以怎樣求圓錐的體積。

如果用V表示圓錐的體積，S表示圓錐的底面積，h表示圓錐的高，圓錐的體積公式可以怎么寫？

4. 對于今天的學習內容，你還能提出什么問題？

該項作業是一份關于探究圓錐體積的實驗報告，學生基于前期圓柱體積的學習經歷，先猜測圓柱和圓錐體積之間的大小關系；再通過圓柱和圓錐形容器相互倒沙子或水的實驗，探究等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系；最后在實驗中發現等底等高圓柱和圓錐體積的關系，推導出圓錐體積的計算公式。

[?]四、設計“梳理總結”型作業，在反思中查漏補缺

“梳理總結”型作業是指學生解完某道題目，學完某個知識點或某個單元后，嘗試用自己喜歡的方式梳理總結做過的題目或學過的內容。此類型作業能提高學生的總結和反思能力，讓他們借助“費曼學習法”構建知識框架，有序且全面地畫出思維導圖。

如在教學“筆算兩位數乘兩位數（進位）”后，筆者讓學生完成以下作業。

回顧兩位數乘兩位數（進位）豎式的計算過程，寫一寫筆算兩位數乘兩位數（進位）的計算步驟和需要注意些什么。（提示：可圍繞“乘的順序”“積的位置”“進位的處理方法”等展開）

該項作業是基于一節課的梳理總結，當學生合上數學課本，嘗試回憶一節課中學到了哪些知識，他們會像“小老師”一樣先選擇某個知識點用自己的語言組織出來并寫在紙上，然后把學到的知識流暢地復述一遍，如果遇到不會的地方重新鞏固后再寫下來，直到真正理解為止。

又如在復習“角的度量”單元前，筆者讓學生完成以下作業。

同學們，我們學習了“角的度量”這個單元，本單元知識有認識線段、直線和射線，角的度量、角的分類和畫角等內容。請你用思維導圖整理本單元的知識點，并收集一道“好題”，闡述好在哪里。

該項作業是基于一個單元的梳理總結，當學生學完一個單元的知識后，借助“思維導圖”，由幾個關鍵詞構建出整體框架，在層層分支中細化對知識點的理解，厘清知識之間的邏輯關系，最終在學生頭腦中形成知識網絡。學生繪制思維導圖，能增強他們充分利用右腦超強記憶的能力。在這一過程中，學生養成了反思習慣，提高了復習效率。

總之，數學開放性作業充分尊重學生的天性，為每個學生打開了一扇數學思考和表達的天窗，讓他們敢于表達和學會表達，在表達中促進他們的深度思考和多角度看問題，從而發展他們思維的概括性、間接性、邏輯性、深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性，提高他們分析和解決問題的能力。