模型構建：理清數學應用題目研究路線

林鋒

［摘? 要］ 模型思想是當下數學教學的核心使命之一，也是助力小學生數學綜合能力全面發展的重要方面。在小學數學教學中，教師要善于利用資源，設計適合的問題情境，引導學生在相應的問題研究中實現解題模型的建構，助推小學生數學問題研究能力的不斷發展。數學教學中，教師需要抓住模型建設、模型演練、模型優化、模型應用等環節，理清數學應用題目研究路線，促進學生對數學問題研究的深入，促使他們的數學思維變得愈發敏銳、深刻，讓他們解決數學問題的能力不斷提高。

［關鍵詞］ 模型構建；數學應用題；教學研究

培養學生數學模型思想是新課程改革的內容之一，也是發展學生數學綜合素養的重要著力點。在小學數學教學中，教師需要更精準地解讀教學內容，更理性地分析學生的學習水平，創設一系列模型應用情境，利用模型知識去研究問題、解決問題，讓學生在實踐體驗中更好地理解知識的本質，建構數學認知基礎，實現數學學習目標，讓學生在實際問題的研究學習中啟動數學思維，在實踐探索中建立良好的學習習慣。

[?]一、模型初建，啟動應用題解題思維

教師借助模型構建實施教學，需要對模型特點、模型內容、模型應用等進行深度探索，幫助學生梳理學習思維，形成系統性認知。在“長方體的實際應用”教學中，教師需要圍繞主題創設必要的學習情境、問題情境等，讓學生在問題研究中更好地理解和掌握長方體的本質，特別是表面積、體積的計算公式的由來等，也使得對應的數學學習經驗得以積累，為相應的數學模型建立提供最基礎的支持。

師：認真地觀看屏幕上的內容，從中找到的數學信息有哪些？

生1：這是一個公路的施工場面，要修的公路長2.5千米，路面寬16米。計劃在地基上鋪設厚度10厘米的瀝青，問題是需要多少瀝青？

生2：這個問題要解決的內容是什么？是鋪瀝青的表面積，還是其他的內容呢？

生3：不是表面積，表面積不就是公路表面的面積嗎？是一個長2.5千米、寬16米的長方形，沒有這么簡單的。

生4：如果是這樣就不需要告訴瀝青的厚度，所以應該是計算瀝青的總體積。

生5：瀝青的總體積？能計算嗎？它是一個什么形狀？

師：這個問題很好。瀝青的形狀是什么樣的呢？同桌之間討論交流一下。

……

生6：結合視頻中的畫面，畫出公路的草圖，發現鋪瀝青的地方是一個長方體，長2.5千米，寬16米，高是10厘米。

生7：還真是，那瀝青的總體積不就是2.5×16×10了嗎？

生8：你的這個算式不對！你看，這3個數對應的單位是一樣的嗎？2.5千米，16米，10厘米，都不相同的，怎么能直接計算呢？

生9：要換成同樣的單位才可以計算，即（2.5×1000）×16×（10÷100），這樣才能計算出正確結果。

……

生10：經過學習，我明白了像生活中鋪瀝青、鋪水泥路面實際鋪好后都是長方體，這個弄明白了，解決問題也就輕松多了。

……

要幫助學生建立初步的數學思維模型，以及對應問題研究模型，實戰演練是必不可少的一環，也是最為關鍵的一環。因為只有在具體問題的研究思考中，學生才能對相關知識理解得更加透徹，相關的研究也會隨之深入。這樣學習的活動經驗和數學思維才會形成和諧的統一，從而讓數學模型思想在問題研究中發展起來。

聯系教學片段，可以看出，通過必要的實踐練習，可以喚醒學生既有的學習與經驗，也會促使學生有效學習思考的開展，更會讓學生在爭辯中學習分析、學習歸納，使他們的學習思維變得更加理性，思考問題變得愈發縝密，從而使學生解決問題的能力得到發展。同時，通過對問題的研究也使得相應數學問題的解決模型得到初步形成，為學生深度學習提供智力支持。

[?]二、模型演練，深化應用題解題規劃

沒有實踐的學習無疑就是紙上談兵，也是一個華而不實的空架子。在“長方體的實際應用”教學中，教師圍繞實際應用這一主題做文章，并讓學生在具體問題的探究中形成相應問題研究的思維模型，促進學習的順利推進，助推學生解決問題能力的不斷發展。教師也得學習順勢而為，特別是在目前“雙減”政策的大背景下，教師更需要優化問題設計，精簡練習，以此來更好地滲透數學思想方法，促進數學解決問題模型的有效建構，讓學生的數學學習變得更智慧、更有靈氣。

師：前面問題研究學習是很有成效的，總結也是非常科學的。接下來這個問題又是怎樣的一個問題呢？

課件呈現：學校計劃在操場的一邊挖出一個沙坑，長10米，寬3米，深80厘米。需要挖出的泥土有多少？

生1：這個問題就是挖出一個長方體的沙坑。挖出的泥土就是這個長方體的體積。

生2：那不就是和前面的問題差不多嗎？也需要注意一下單位的一致性。

……

師：不過我有點奇怪，前面鋪路的瀝青是長方體，現在挖土也是長方體，這是怎么回事呢？

生3：挖土就是挖出的泥土的體積，它不是挖的面積，當挖土機挖出一鏟子的泥土，那些泥土占據了一定空間，有一定的體積，累積起來，就是挖出的體積。

生4：這個挖土就像把水槽中的水倒出來一樣，也就是倒出水的體積，所以挖土挖出來的也是體積。

……

師：聽了大家的分析與思考，你有什么感觸？

生5：解決問題時認真地研究題目很重要，一不小心就算成表面積了。

生6：要分析清楚問題的實質，這兩道題實際上都是計算長方體的體積，需要從長方體的體積計算公式入手，找出條件進行計算。

……

提供必要的實踐學習機會是培養學生運用知識去研究問題、解決問題的基本途徑，也是培養解決問題能力的重要方式。在這樣的問題探究學習中，學生也會很自然地學到分析與思考的本領，從而讓自己的數學學習活動經驗得到更豐富的積累。

回顧教學片段，可以從中看出，把常規性的長方體的體積計算設計為生活化的問題，引導學生去分析與探索。這樣學生就在自主思考與同伴交流中更好地領悟問題的本質，凸顯相應的問題研究的基本方略，使得問題解決的思維模型在學習中不斷建立起來。

[?]三、模型優化，理清應用題解讀路線

要促使學生更好地感悟數學知識的本質，建立起對應的數學問題解決思維模型，教師需要從引導反思開始，讓學生在自我學習反芻、與同伴辯論學習等活動中獲得應有的發展，讓他們的研究數學問題的能力穩步提升。因此，在“長方體的實際應用”教學中，教師要從聚焦本質、助力建模等角度去謀劃教學，打造學習應用環節，以此促進學生學習反思的開展、學習認知的建構等，使得學生的數學綜合素養得到較為理想的發展。

師：生活中類似的問題是比較多的，通過這兩個問題的研究，你的發現又是什么？

生1：要研究問題讀懂題目很重要，前面兩個問題，鋪瀝青和挖泥土看起來和長方體的體積計算是沒有聯系的，但是只要認真思考，或者畫一畫草圖，就能發現鋪瀝青就是鋪一個長方體的體積，挖泥土也就是挖出一個長方體的體積，所以它們最終需要解決的就是長方體的體積問題。

生2：從問題的分析中也能看出，計算長方體的體積是需要仔細地區分單位的，要注意長度單位、面積單位和體積單位之間的差異，特別是在同一個問題中要注意各個數量的單位是不是一樣的。這點是確保問題解決的正確性的一個重要方面。

……

師：分析得非常有道理。繼續看上面沙坑的后續研究吧！

課件呈現后續的問題：學校運來了22.5立方米的沙子，倒入沙坑中攤平。則沙子離地面的距離是多少？

生3：這里告訴的是沙子體積22.5立方米，倒入沙坑中，就可以計算出沙子在沙坑中的深度，然后就可以算出沙子與地面的距離了。

……

學而不思則罔。這是對學習最經典的論述，也是教師有效教學的重要理論依據之一。所以，在教學中教師需要在此方面花點力氣，給予學生必要的反芻與咀嚼的時空，從而助力他們把握數學知識的本質，實現問題解決模型的建立。教學片段中，教師通過開展辯論活動，使得長方體的體積計算模型得到較好的建立。同時，設計一組變式訓練，以此來幫助學生更有效地感悟長方體體積計算的本質，使他們的學習變得更加嚴謹、更有實效。

由此可見，要想更好地發展學生應用數學知識解決問題的能力，教師需要圍繞教學內容，創設必要的實際問題的研究學習情境，讓學生在“真槍實彈”的演練中增長才智，發展能力，提升思維的活力，讓他們的問題研究學習更加靈動，從而較好地建立起相應的數學思維模型，讓他們的數學素養得到較好的發展。當然，要達成這一目標也不是靠單純的一兩次的問題解決學習就能奏效的，教師還得圍繞新課標精神，抓實核心概念深入化、知識體系結構化等方面，用這樣的理念來構建實際問題研究教學的情境，讓學生得到全面的訓練，從而促使其數學綜合素養的發展。