基于函數本質實現糾錯提升

文／張俊

二次函數這一章要求我們能從二次函數的常見表達式中看出頂點坐標、對稱軸等信息，能依據二次函數圖像認識函數的特征與性質，能利用二次函數解決實際問題。其中，二次函數的對稱性、增減性及含參型函數等更是每年中考考查的重點和難點。不過，在實際運用中，我們總會出現各種錯誤。本文列舉一些典型錯誤并分析出錯的原因，希望同學們能明確錯誤之處，做到舉一反三。

一、正確把握拋物線的對稱性特征

例1二次函數y=x2+bx+c中，當x＜-2時，y隨著x的增大而減小，則b的范圍為___。

【錯解】由題意可知，對稱軸為直線，解得b=4。

【錯因分析】由于a=1＞0，根據拋物線的性質可知，當時，y隨x的增大而減小。這里直線x=-2不一定是對稱軸，例如直線x=-1、x=0、x=1都可以作為對稱軸，所以只需即可。

【正解】∵對稱軸為直線，且a=1＞0，

∴當時，y隨 著x的 增 大 而減小。

∵當x＜-2時，y隨著x的增大而減小，

二、充分理解銷售問題中的二次函數問題

【總結】對稱性是二次函數圖像拋物線的重要特征，當圖像的開口方向和對稱軸確定時，便可得出函數值隨自變量變化的情況。反之，當對稱軸不確定時，則需要逆向思考，此時的對稱軸可能不唯一，所在位置可能是一個范圍。分析過程中，我們可以舉幾個符合條件的特值驗證，再確定范圍。

例2某超市經銷一種商品，每件進價為60元。經市場調研發現，當每件售價為80元時，月銷售量為1200件，售價每提高1元，銷量將減少20件。規定每件售價不低于進價且利潤不允許超過每件進價的50%。那么售價定為多少元時，每個月銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【錯解1】設售價定為x元，每月最大利潤為y元……

【錯因分析】由于每月利潤不是一個定值，所以函數表達式中的y是一個變量，而最大利潤只是其中的一個值，所以不能設成最大利潤為y元。

【錯解2】設售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）（1200-20x）……

【錯因分析】錯將售價定為x元理解成售價提高x元。

【錯解3】設售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000，所以當售價定為100元時，每月利潤最大，為32000元。

【錯因分析】沒有考慮題中“規定每件利潤不允許超過每件進價的50%”的要求。

【正解】設售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000。

∵規定每件售價不低于進價且利潤不允許超過每件進價的50%，

∴0≤x-60≤60×50%，得60≤x≤90。

∵-20＜0，對稱軸為直線x=100，

∴當60≤x≤90時，y隨x的增大而增大，

∴當x=90時，y有最大值，y最大值=-20×（90-100）2+32000=30000。

答：當售價定為90元時，每月利潤最大，最大利潤為30000元。

【總結】二次函數可以揭示實際問題中變量之間的關系，如銷售問題。在此類問題中，常常需要根據自變量的取值范圍確定函數的最值，此時一定要注意函數的頂點是否在此范圍內。若在，則可根據頂點得出最值；若不在，則需要根據函數增減性確定何時有最值。另外，根據不同的取值范圍，可能會得到不同的函數表達式，我們可以根據實際需要選擇合適的函數表達式進行分析。

三、全面考慮二次函數中的含參問題

例3已知二次函數y=x2-2mx-1（m為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

【錯解】由該函數的圖像與x軸總有兩個公共點可知b2-4ac＞0……

【錯因分析】將“該函數的圖像與x軸總有兩個公共點”看成條件，造成錯誤。

【正解】當y=0時，得x2-2mx-1=0，b2-4ac=4m2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵4m2≥0，∴4m2+4＞0。

∴方程有兩個不相等的實數根。

因此，不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

（2）當-1≤m≤2時，求該函數圖像的頂點縱坐標z的取值范圍。

【錯解】-5≤z≤-2。

【錯因分析】忽略了z=-m2-1是一個二次函數，沒有考慮頂點的情況，只計算了當m=-1和m=2時z的值。

【正解】∵y=x2-2mx-1=（x-m）2-m2-1，

∴頂點縱坐標z=-m2-1，畫出函數示意圖，如圖1。

由圖1可知，在-1≤m≤2范圍內，圖像最高點為頂點（0，-1），最低點為（2，-5），

圖1

∴-5≤z≤-1。

（3）當-1≤x≤2時，該函數y的最小值為-2，求m的值。

【錯解】當x=-1時，y=2m=-2，得m=-1；當x=2時，y=3-4m=-2，得

【錯因分析】沒有分類討論的意識。因為對稱軸不確定，所以要判斷函數y的最小值，需要根據對稱軸直線x=m的不同情況進行分類討論。

【正解】當x=-1時，y=2m；當x=2時，y=3-4m。函數頂點為（m，-m2-1）。

當m＜-1時，函數y的最小值為2m，即2m=-2，則m=-1（舍去）；

當-1≤m≤2時，函數y的最小值為-m2-1，即-m2-1=-2，則m=±1；

當m＞2時，函數y的最小值為3-4m，即3-4m=-2，則（舍去）。

綜上所述，m的值為±1。

【總結】二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）中的含參問題是一個難點。拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，拋物線與坐標軸的交點以及函數的最值都會隨著a、b、c的相應變化而變化。我們在思考時，可以畫出草圖進行分析，同時還需有分類討論的意識，只有這樣，才能完整得解。