條件極值課堂教學中踐行三全育人目標初探

鄧明香 馮永平

廣州大學數學與信息科學學院 廣東廣州 510006

1 概述

條件極值是多元函數微分學應用的一個主要內容，條件極值是在解決實際問題的實踐中抽象出來的，是一元函數極值、多元函數無條件極值的推廣。條件極值討論的是在某些約束條件下多元函數的極值問題，若從條件中得不到顯函數形式，即條件極值中目標函數沒有明晰表達式，則解決問題有極大的挑戰性。運用隱函數相關理論探討條件極值的轉化體現了其內容的高階性，解決問題的思想方法對各專業學生后續算法的設計有引導作用。如何設計好該課堂的教學，相關的文獻已進行了初步探討，文獻[1]對多元函數極值的概念、多元函數極值的判定、條件極值與拉格朗日乘數法以及多元函數極值問題的幾種解法進行了總結；文獻[2]、文獻[3]對多元函數條件極值的拉格朗日乘數法進行了詳細分析；文獻[4]將思政元素滲透到極值分析中，對學生學習心理進行了疏導，提升了學生學習的興趣；文獻[5]針對教學內容和教學方法中存在的問題，提出了優化教材內容、拓展教學內容、應用混合教學方法、建立立體化課程體系等4項改革措施，激發學生的創新熱情，并提高學生的應用和動手能力；文獻[6]探討了如何在傳統課堂注入新活力，調動了學生參與性，引導學生在學習數學知識中塑造社會主義核心價值觀。但對如何更全面踐行三全育人的目標，相關研究較少有論述。結合三全育人目標，本文主要從學情分析、教學目標、教學方法、教學策略、教學設計等方面探討多元函數極值教學中如何踐行三全育人理念，達到教書育人的目標。

2 課程基本情況

“高等數學Ⅱ”是非數學類專業必修課，共40學時，該課程面向地科類、生化類、工商類等專業開設，教材選用北京大學出版社的規劃教材，見文獻[8]。條件極值授課內容為新授課，選自第7章多元函數微分學的第6節多元函數的極值及其應用。本節課授課面向化學專業211、212、213班，計120人。本節課程的重點與難點是條件極值的概念、計算條件極值的數學思想方法。

經過前段時間的學習，學生已掌握的知識與具備的能力有兩方面：(1)已掌握了隱函數偏導數與微分的計算；(2)已學完多元函數微分學理論及無條件極值等內容；學生可能存在的問題及困難有兩方面：(1)學生對隱函數沒有精確的表達式有疑惑，如何探討這些函數的應用呢？(2)學生對抽象函數的偏導數、全微分的計算有挑戰度也有畏懼感。

本課堂的教學目標分三個方面。知識與能力方面：(1)掌握條件極值的概念。(2)學會條件極值的幾種計算方法；過程與方法方面：(1)通過類比無條件極值，引導學生回顧“函數極值”在解決實際問題中起到的關鍵作用，形成一個基本思維框架，讓學生明確學習內容。(2)回顧無條件極值的判別方法，加深對兩者的認識，實現知識目標提升；情感與價值觀方面：(1)借助引例直觀體會“條件極值”的廣泛應用，體驗從具體到抽象的數學思想。(2)從實踐中創設情境，滲透“實踐是檢驗真理的唯一標準”辯證唯物觀。(3)通過條件極值挑戰性問題，創新地運用發散思維，多角度培養學生的異向數學思維能力。

3 教學方法及教學過程

3.1 教學方法

本節為應用實踐課，在教學設計中擬采取如下教學方法與策略：

(1)講授式：講授條件極值基本概念中，注重引導學生掌握“條件極值”的本質。

(2)啟發式：課程采用類比情景引入，借助實際生活中“易拉罐形狀”“糧倉的設計”等，讓學生感知問題“具體”“和諧美”，樹立“美是有統一標準”的審美價值。

(3)圖形結合式：通過圖形演示，使學生對條件極值有直觀感悟，方法上的創新可讓同學們深入思考，實現學生主動學習的效果。

(4)思維導圖式：課程課時多，容量大，利用思維導圖形式對小知識點進行小結，有利于學生把握本節課的脈絡，感受蘊含的思想方法，為課后復習提供指引。

3.2 教學思想

本課程以“全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務”為指導思想。用“問題驅動的數學教學理念”統領課程教學，力求在教學中實現培養學生具備“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界”的最終能力目標。

教學中結合生活現實，將驅動教學目標的數學本源性問題通過情景展現探究。借助數學抽象把現實世界中與數學有關的東西抽象到數學內部以形成研究對象；通過邏輯推理得到研究對象的性質描述，通過數學語言與建模實現現實世界表述。

教學過程“科研化”，在教師的指導下，以學生為主體，掌握認識和解決問題的方法和步驟，讓學生通過“觀察、思考、討論、聽講”等獨立探究，找出規律，形成相應的概念，發現相應的原理，實現學生從易于理解到自然應用的融會貫通。

3.3 教學過程

3.3.1 問題引入及問題分析

教師通過以下三步引入課程講述內容，該環節10分鐘左右時間安排。

(1)引例1：易拉罐問題。回憶大多數飲料瓶的設計形狀，引出新問題→為什么是同樣的設計？(本引例引出問題：體積一定材料使用量最小)。

(2)引例2：水槽的設計。高速公路兩邊水槽的形狀設計，引出新問題→為什么是同樣的設計？(本引例引出問題：材料一定使得流通的體積最大)。

水渠的形狀設計

(3)回顧多元函數的無條件極值(如何找極值點)。

引導學生完成以下活動：①回答問題(基本知識，學生紛紛舉手)；②思考新問題(有些疑慮)；③參與互動，積極總結。

通過學生與老師的互動，力求達到以下效果：①“無規矩無以成方圓”的思想；②情景—問題教學，啟發學生思考兩個問題，逐層推進，逐步深入，使學生充分認識到實際中蘊含的數學思想，實現感性認識到理性認識的升華；③實例引入，激發學生興趣，調動學生自行探索，自然發現問題；④通過圖示，引導學生對引例進行類比，有益于快速觀察到要點，有助于形成初步印象。

3.3.2 內容講授與方法應用

教師通過以下三步引入課程重點、難點內容講授，該環節安排15分鐘左右的時間講解。

(1)條件極值的定義(PPT投影講述)。

(2)第一種方法介紹：直接方法——降維計算(3維降為2維)。

例1：設計一個容量為V的長方體開口水箱，試問水箱的長、寬、高各等于多少時，其表面積最小？

設水箱的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為

S(x，y，z)=2(xz+yz)+xy

(1)

上述目標函數表面積的自變量不僅要符合定義域的要求(x>0，y>0，x>0)，而且還須滿足條件

xyz=V

(2)

從(2)中確定二元函數，代入(1)，則三元條件極值化為二元無條件極值.

(3)第二種方法介紹：一般方法—Lagrange乘數方法，通過構造Lagrange函數將條件極值轉化為更高維的無條件極值.

例2：易拉罐設計問題講解。

學生本環節主要是聽課及展開適當討論，①概念、消元方法講授時主要以聆聽為主；②提出問題，如果得不到明顯的解析式時討論如何解決極值問題。

本授課環節擬達到以下教學目的：①運用降維方法處理條件極值問題；②運用升維方法解決條件極值問題；③引申出我國當前國情，如何在有限的資源環境下實現人民最美好的健康生活；④我國開展的某些工作運用了“條件極值”的指導思想。

3.3.3 內容講授與方法應用

教師通過例題講解鞏固、強化、拓展相應方法。

例3：表面積一定體積最大化的水槽設計。

本段內容講解中運用三種方法：降維方法、升維方法及基本不等式法解決該問題。學生通過實踐熟悉相關方法，該環節設置15分鐘講解時間。

通過本段的學習，達到以下教學目標：①授課過程板書講解。②鞏固相應計算方法，條件極值利用升維、降維化為無條件極值。③實際中碰到的“水渠”截面形狀都是差不多的，說明了“實踐是檢驗真理的標準”。

3.3.4 思想方法與內容小結

課程講解中培養以下數學思想方法：升維方法、降維方法、初等方法等。

對本節內容做出小結。

3.3.5 作業布置與思維導圖制作

根據內容講解，布置適當的習題做鞏固練習，并安排了課程思維導圖制作作業，達到溫故知新的目的。①作業：課后習題1(3)、2(2)、6；②小組任務：思維導圖制作；③預習：本章內容的知識結構圖。

3.3.6 教學評價與反思

通過該課堂教學，形成以下評價與反思。

(1)在教學理念方面：課程以學生為中心，為學生創設學習的情境，讓學生在課堂上充當主角，教師轉變為學習的組織者、引導者、合作者。

(2)在知識目標方面：做到教學思路清晰、突出重點、突破難點。

(3)在教學過程方面：在課堂上采取小組討論、個別提問、學生總結等方法讓學生參與到教學過程中。落實立德樹人根本任務，突出能力培養，關注學生的終身發展。

(4)課程設計不足之處在于受時間及課程容量影響，課堂訓練及即時反饋欠到位。可以考慮通過課后作業與活動進行補充。

本節課程的板書設計見下表。

課堂板書設計表

3.3.7 課堂設計中的相關資源

該課堂設計中借助了以下課程資料與資源：(1)菲赫金哥爾茨，微積分學教程，人民教育出版社，2006年；(2)朱健民，李建平，《高等數學》(第二版)上冊，高等教育出版社，2015年；(3)詹姆斯·斯圖爾特，《微積分》(第六版)，中國人民大學出版社，2014年。所屬課程團隊為2019年5月成立的“大學數學”教學團隊，現發展為大學數學課程思政示范教學團隊(2020年度、2021年度)和黃大年式大學數學教師培育團隊(2021年度)。

結語

我們從生活中的實際例子切入研究主題，循序漸進由淺入深地講解了條件極值的基本解法，升維方法(化為高維無條件極值問題)即Lagrange乘數方法；降維方法(從條件方法中解出某個變量代入目標函數，使之成為少一個變量的低維無條件極值問題)。這樣研究的主題中融入開展的某計劃工作，不但讓學生易于理解并掌握條件極值在實際中的應用，而且能更深刻領悟精準的含義，激發學生學習的動力和學以致用、助人為樂的熱情。