2022年數學新高考Ⅰ卷第21題賞析*
2023-01-16 02:24:08福建教育學院數學研修部350025蔡海濤
中學數學研究(江西) 2023年2期
福建教育學院數學研修部 (350025) 蔡海濤
一、試題呈現
(1)求l的斜率；
本題以雙曲線為載體，考查直線的方程、雙曲線的標準方程及其簡單幾何性質、三角形的面積等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，直觀想象能力及創新能力等；考查數形結合思想，函數與方程思想，化歸與轉化思想等；考查直觀想象，邏輯推理，數學運算等核心素養；體現基礎性、綜合性與創新性.
二、解法賞析
評析：把點A的坐標代入，易得雙曲線的方程，由直線與雙曲線聯立，設而不求把直線AP，AQ的斜率之和用變量k，m表示，根據斜率之和為0，得直線l的斜率的值.
評析：根據雙曲線的參數方程，把P，Q兩點的坐標用參數表示，進而用參數表示直線AP，AQ的斜率之和，求得t1t2的值，整體代入得直線l的斜率的值.
評析：涉及角的問題，考慮利用兩直線的到角公式切入，求得直線AP，AQ的斜率，得直線AP，AQ的方程，與雙曲線方程聯立求得P，Q兩點坐標.
三、解后反思
1.求圓錐曲線方程一般用待定系數法，涉及直線與圓錐曲線位置關系問題一般是聯立，設而不求，再利用根與系數的關系整體代入.
四、跟蹤訓練
(1)求雙曲線C的標準方程與離心率；
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)設NA1和MA2交點為P，則△PF1F2的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由.
