一個代數(shù)不等式的探究與加強(qiáng)

江蘇省連云港市連云港高級中學(xué) (222042) 胡 秀

《數(shù)學(xué)通報》2022年第4期問題2658[1]給出了一個優(yōu)美的3元代數(shù)不等式：

供題者在文[2]給出了解答，但代數(shù)變形技巧太強(qiáng).本文對該不等式進(jìn)行了探究，得到了該不等式的一個簡證，并且通過深入探究，得到了該不等式在不同方向的加強(qiáng).

1.不等式的簡證

2.不等式①的加強(qiáng)

3.不等式①的再加強(qiáng)

筆者試著利用該結(jié)論加強(qiáng)不等式①，最后得到下面的加強(qiáng)式.

該加強(qiáng)式能否繼續(xù)加強(qiáng)呢？經(jīng)筆者探究，再次得到下面的加強(qiáng).

為證明該結(jié)論，需要用到下述引理：

利用不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca可將不等式②再次加強(qiáng).

由常見不等式3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，得