創新設置，內容解讀，目標定位，方法建議
——以“平面向量及其應用”單元為例

馬云輝

安徽省合肥市第八中學

單元教學是新課程改革與創新的一個主要場所.在實際教學中，必須以教材為基礎，形成數學基本知識、數學思想方法和數學能力的合理融合，進行整體性與應用性的創新設置，盡量避免碎片化教學與學習，同時結合單元知識的基本脈絡以及對應的單元知識進行合理的內容解讀，利用教學進行目標定位，合理滲透，巧妙設計，并在實際教學中提供一些合理的方法建議，更好地服務于實際教學.

《平面向量及其應用》是人民教育出版社出版發行的普通高中教科書《數學》(必修第二冊)(2019年6月第1版)的第六章，下面就其單元教學方面的幾點總體設想加以展開與拓展.

1 創新設置

“平面向量及其應用”主要由原來教材的“平面向量”與“解三角形”兩個部分綜合而成，極具創新設置，知識融合自然巧妙.

1.1 平面向量

向量具有明確的幾何背景和豐富的物理背景，其幾何背景是有向線段，物理背景是力、速度、加速度、位移等.由此自然而然想到可以利用平面向量的相關知識與方法來解決一些簡單的平面幾何問題、對應的物理問題以及其他的相關應用問題.例如，利用平面向量的知識與方法可以解決平面內兩條直線平行或垂直關系的判斷，利用向量可以計算力對物體做的功等問題，以此提升直觀想象、數學建模、邏輯推理和數學運算素養等.

1.2 解三角形

三角形是平面幾何中最常見、最重要的圖形之一，對三角形的邊賦予方向，這些邊就成了平面向量.三角形的邊、角關系是三角形中最重要的關系之一，而余弦定理和正弦定理是刻畫三角形邊、角關系最為重要的兩個定理，是勾股定理的延續與拓展，它們為解三角形提供了基本而最重要的工具.

2 內容解讀

2.1 知識結構

結合《普通高中數學課程標準》的要求和學情，把“平面向量及其應用”分為四大節，大致20課時左右(加1課時總的復習課)，具體安排如下.

(1)平面向量的概念：約1課時.

(2)平面向量的運算：約8課時.其中，6.2.1向量的加法運算約1課時；6.2.2向量的減法運算約1課時；6.2.3向量的數乘運算約2課時；6.2.4向量的數量積約3課時；習題課約1課時.

(3)平面向量基本定理及坐標表示：約5課時.其中，6.3.1平面向量基本定理，6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示約1課時；6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示和6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示約2課時；6.3.5平面向量數量積的坐標表示約1課時；習題課約1課時.

(4)平面向量的應用：約5課時.其中，6.4.1平面幾何中的向量方法和6.4.2向量在物理中的應用舉例約1課時；6.4.3余弦定理、正弦定理約2課時；6.4.3.3余弦定理、正弦定理應用舉例約1課時；習題課約1課時.

上述課時分配僅供參考，各學校、各班級具體教學時，教師可以結合所授課班級學生的實際情況，適當增減課時數，主要目的就是達到加強基礎知識的落實、增強向量的實際應用能力等.

2.2 內容分析

2.2.1 內容本質

向量具有明確的平面幾何背景和豐富的物理背景，其幾何背景是有向線段，物理背景是力、速度、加速度等，由此可以利用向量解決一些簡單的平面幾何問題和物理問題.以此提升直觀想象、數學建模、邏輯推理等數學素養.三角形的邊角關系是三角形中最重要的關系之一，而正弦定理與余弦定理是破解三角形中的邊與角關系中最為重要與常用的兩個基本定理，為了更好地體現向量的價值，可以借助向量的運算去探索三角形邊長與角度之間的關系，突出向量在解三角形中的應用.

2.2.2 思想方法

蘊含了數形結合思想，利用向量來解決平面幾何問題和物理問題，其過程中蘊含了化歸和方程的思想，在推導正弦定理與余弦定理的過程中體現了從特殊到一般的推理，在正弦定理與余弦定理的應用中體現了從一般到特殊的演繹.

2.3 知識關聯

向量的運算為解決平面幾何問題和物理問題等提供了依據.初中我們學習了三角形中的邊角關系是“大邊對大角，小邊對小角”，定性地研究過三角形邊、角的關系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判斷三角形全等的方法，給出三角形六個元素中某些元素，這個三角形就唯一確定.那么正弦定理與余弦定理就把三角形的邊角之間的關系由定性研究上升到定量研究.

2.4 教學重點

用平面向量的相關知識與基本方法來解決簡單的平面幾何問題、物理問題以及其他的實際應用問題的基本方法與常見步驟，用平面向量方法證明余弦定理和正弦定理以及余弦定理和正弦定理的應用等.

2.5 教學難點

把平面幾何的問題、物理問題以及其他的實際應用問題等轉化為平面向量的對應問題，余弦定理和正弦定理的證明與實際應用等.

3 目標定位

3.1 單元目標

(1)會用平面向量的相關知識與基本方法解決簡單的平面幾何問題、物理中的力學等相關問題以及其他的實際應用問題；體會平面向量在解決數學、其他相關學科以及實際應用問題中的作用.

(2)借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系.

(3)掌握余弦定理、正弦定理.

(4)能用余弦定理、正弦定理解決平面幾何問題、相關物理問題以及一些簡單的實際應用問題等.

3.2 目標定位

(1)會用平面向量的相關知識與基本方法解決簡單的平面幾何問題、物理中的力學等相關問題以及其他的實際應用問題；體會平面向量在解決數學、其他相關學科以及實際應用問題中的作用.

(2)理解并掌握解決平面向量問題的兩個基本方法：基底法和坐標法.基底法要注意抓住幾何特征，找準基底，利用向量運算解題；坐標法要結合實際建立恰當的坐標系用坐標表示向量，利用向量的坐標運算解題.

3.3 目標解析

(1)向量作為代數對象，它可以運算；作為幾何對象，它可以刻畫幾何元素(點、線、面).通過向量運算可以刻畫幾何元素之間的關系，如直線的垂直、平行；利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何問題，從而可以把幾何問題轉化為向量問題.平面向量是在物理相關知識的背景下建立起來的，來源于物理，物理中的一些量，如位移、力、速度(或加速度)、功等都與平面向量有著密切的聯系，又可以服務于物理，利用平面向量的相關知識與基本方法來解決一些相關的物理問題，解釋物理現象，把物理問題轉化為數學問題來解決.

(2)余弦定理除了借助平面幾何中三角形的知識來證明外，課本中主要以平面向量的數量積為工具，巧妙將平面向量的模與三角形的邊長、平面向量的夾角與三角形的內角等聯系起來.同理，正弦定理的推導除了利用向量的數量積還利用了向量的加法.

(3)正弦定理與余弦定理各自都含有三個等式或方程，結合等式或方程的特征，在四個量的關系式中，“知三求一”，這是利用正弦定理與余弦定理破解解三角形問題的理論依據.同時注意三角函數的相關知識對解三角形的影響，必要時要進行合理的分類討論.

(4)解三角形的實際應用問題，主要是借助三角形的基本性質、正弦定理、余弦定理等來分析與處理，合理構建實際問題與相應數學問題之間的聯系，逐步提高應用數學知識解決實際應用問題的能力.

4 方法建議

4.1 問題診斷

用向量法解決平面幾何和物理問題對學生來說是比較新的內容，學生對它的學習充滿了探求的欲望.學生在學習本單元內容之前，已熟知了平面幾何知識，具備了物理知識，這都為學習向量作好了各個方面的準備.平面向量既有代數形式又有幾何意義，如何把向量用到平面幾何或物理問題上，為什么用向量法證明正弦定理、余弦定理更優，這都要讓學生充分操作、體悟、思考、總結，加強小組合作!

4.2 教學支持

(1)在本單元的教學中，借助教師的合理引導，充分培養學生的自主學習能力，通過合理自主探索、動手實踐、小組合作、團隊交流等學習方式，讓學生切身體驗數學的發現、概括、創造、應用等歷程.平面向量是體現“形”與“數”融合的重要載體，充分展示數形結合思想、函數與方程思想等.

(2)利用信息技術工具(主要包括幾何畫板等)進行動態直觀地演示，讓學生自己體驗線段長度相等、角度大小的變化等，也可以演示力的合成分解與位移的合成，幫助學生理解向量的加減運算和平面向量的基本定理.還可以利用思維導圖軟件XMind8幫助學生總結數學知識的基本規律和解題的通技通法.

(3)利用學案教學，合理溝通學生與教師之間的聯系，提供教學的平臺與學生練習的場所，并能作出合理有效的教學評價.Z