Toader 型平均的若干經典平均凸組合界

李 少 云

(溫州廣播電視大學 教師教學發展中心， 浙江 溫州 325013))

一、研究背景

對r∈(0,1),第一類完全橢圓積分κ(r)和第二類完全橢圓積分ε(r)定義如下：

眾所周知,κ(r)在區間(0,1)內嚴格單調遞增且值域為(π/2,+∞);ε(r)在區間(0,1)內嚴格單調遞減,且值域為(1,π/2)，其滿足微分公式[1]474-475:

設a,b>0，且a≠b.則經典調和平均H(a,b)，幾何平均G(a,b)，算術平均A(a,b)，二次平均Q(a,b)，反調和平均C(a,b)和Toader平均T(a,b)的定義分別為[2]358-368：

(1)

和

(2)

20多年來,Toader平均被廣泛研究.國內外學者從Toader平均和其衍生平均，以及與其他經典平均的組合發現了許多重要的不等式.例如：

Barnard，Pearce和Richards,以及Alzer和Qiu證明了雙向不等式

M3/2(a,b)

王君麗和錢偉茂等證明了雙向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

(3)

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

(4)

對所有a,b>0且a≠b成立的充要條件是:α1≤2/π，β1≥3/4，α2≤1/2，β2≥2/π[5]303-309[6]560-566.

徐會作和趙鐵洪等證明了雙向不等式

αC(a,b)+(1-α)H(a,b)

(5)

λA(a,b)+(1-λ)Q(a,b)

(6)

受不等式(3)～(6)的啟發,本文推得了最佳參數α1,α2,β1,β2∈(0,1)，使得雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立.

二、所需引理

為證明我們的主要結果,需要以下兩個引理.

引理1單調性L’Hospital法則 對a,b∈且a

引理2(1) 函數r[(2-r2)ε(r)-2(1-r2)κ(r)]/r4在區間(0,1)內是嚴格遞增的，且值域為(3π/16,1);

(2) 函數r[(2-r2)κ(r)-2ε(r)]/r4在區間(0,1)內是嚴格遞增的且值域為(π/16,+∞);

(3) 函數r(1-r2)3/2[(2-r2)κ(r)-2ε(r)]/r4在區間(0,1)內是嚴格遞減的且值域為(0,π/16).

證明:引理2的(1)和(2)可參見文獻[3]中3.43(10)和(29)的練習.

引理2(3)的證明.設:

微分φ(r),使得:

(7)

其中,

φ1(r)=(8-5r2)κ(r)-(8-r2)ε(r).

簡單計算可得:

φ1(0+)=0,

(8)

(9)

所以,引理2(3)容易由等式(7)(8)(9)和引理2(1)協同φ(0+)=π/16和φ(1)=0得到.

三、主要結果

定理1雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立的充要條件是:α1≤1/4，β1≥2(4/π-1)=0.546 4L.

證明:根據H(a,b)，G(a,b)，A(a,b)和T[A(a,b),G(a,b)]是對稱且一階齊次的.不失一般性,假設a>b>0,r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),則從等式(1)和(2)可推得:

(10)

(11)

由等式(10)和(11)，使得：

(12)

其中,

設:

f3(r)=4[ε(r)-(1-r2)κ(r)]/(πr2)-1,f4(r)=r2/2.

簡單計算可得:

(13)

(14)

(15)

(16)

所以,定理1容易由等式(12)(16)和函數f(r)的單調性得到.

定理2雙向不等式

(17)

(18)

由等式(17)和(18)，使得:

(19)

其中,

設:

簡單計算可得:

(20)

(21)

(22)

(23)

所以,定理2容易從等式(19)和(23)協同函數g(r)的單調性得到.

根據定理1和定理2,可以得到以下兩個關于第二類橢圓積分ε(r)的不等式:

推論1雙向不等式

對所有r∈(0,1)成立.