算術-幾何平均的對數平均與正弦平均不等式

余 燕 翔

(浙江廣播電視大學 平陽分校, 浙江 平陽 325400))

一、研究基礎

設a,b>0且a≠b,則幾何平均G(a,b),算術平均A(a,b),對數平均L(a,b),正弦平均Msin(a,b)和雙曲正切平均Mtanh(a,b),以及高斯算術-幾何平均AGM(a,b)的定義分別為：[1]1071-1092 [2]821-841

(1)

(2)

近年來,算術-幾何平均,正弦平均和雙曲正切平均,與其他經典平均及其組合的比較研究成果顯著,國內外數學工作者發現了許多重要不等式.例如:

Vamanamurthy和Vuorinen證明了不等式

(3)

對所有a,b>0且a≠b成立,其中I(a,b)=(bb/aa)1/(b-a)/e是指數平均[3]155-166.

Alzer和裘松良證明了λ=3/4和μ=2/π,是使得下列雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立的最佳參數[4]289-312.

2015年,Witkowski證明了雙向不等式

A(a,b)

(4)

對所有a,b>0且a≠b成立[1]1 071-1 092.

組合不等式(3)和(4)可得下列不等式鏈：

L(a,b)

(5)

對所有a,b>0且a≠b成立.

根據不等式鏈(5),我們發現并證明了最佳參數α1,α2,β1,β2∈，使得雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立.

二、引 理

為證明本文的主要結果,我們首先需要以下基礎知識和引理.

設r∈(0,1),第一類完全橢圓積分κ(r)和第二類完全橢圓積分ε(r)的定義為[5]43:

顯然,函數rκ(r)在區間(0,1)內是嚴格單調遞增的且值域為(π/2,+∞);函數rε(r)在區間(0,1)內是嚴格單調遞減的且值域為(1,π/2),它們滿足下列微分公式[6]474-475:

和Landen恒等式

引理1假設-∞

也是單調遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴格單調的,則上述結論的單調性也是嚴格的[6]10.

引理2函數

在區間(0,1)內是嚴格單調遞增的且值域為(π/4,+∞)[6]70.

引理3函數

在區間(0,1)內是嚴格單調遞減的且值域為(2cos(1),3).

證明:微分φ(r)可得：

(6)

其中,

φ1(r)=-rr′2+(1+3r2)tan(r).

簡單計算可得:

φ1(0)=0,

(7)

(8)

由等式(6)(7)和不等式(8)，使得

φ′(r)<0

(9)

對r∈(0,1)成立.注意到:

φ(0+)=3,φ(1-)=2cos(1).

(10)

所以,引理3容易從不等式(9)和等式(10)得到.

引理4函數

在區間(0,1)內是嚴格單調遞減的且值域為(sech2(1),2).

證明:由微分γ(r)可得:

(11)

其中,

γ1(r)=-rr′2+2rr′2sinh2(r)+(1+3r2)sinh(r)cosh(r).

簡單計算可得:

γ1(0)=0,

(12)

(13)

由等式(11)(12)和不等式(13)可得：

γ′(r)<0

(14)

對r∈(0,1)成立.注意到:

γ(0+)=2,γ(1-)=sech2(1).

(15)

所以,引理4容易從不等式(14)和等式(15)得到.

三、主要結果

定理1雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立,當且僅當α1≤2/π和β1≥5/6.

證明:根據二元平均L(a,b),Msin(a,b)和AGM(a,b)是對稱且一階齊次的.不失一般性,假設a=1>b.設b=(1-r)/(1+r),r∈(0,1).則由等式(1)和(2)可得:

(16)

(17)

其中,

設f1(r)=tanh-1(r)-2rκ(r)/π,g1(r)=tanh-1(r)-sin(r),f2(r)=1-2ε(r)/π和g2(r)=1-r′2cos(r).簡單計算，使得:

f1(0+)=g1(0)=0,f(r)=f1(r)/g1(r),

(18)

(19)

(20)

其中,φ(r)和φ(r)定義在引理2和引理3.

(21)

定理2雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立,當且僅當α2≤2/π和β2≥7/8.

證明:不失一般性,假設a=1>b.設b=(1-r)/(1+r),r∈(0,1).則從等式(16)和Mtanh(a,b)=A(a,b)r/tanh(r)可得:

(22)

其中,

設f1(r)=tanh-1(r)-2rκ(r)/π,h1(r)=tanh-1(r)-tanh(r),f2(r)=1-2ε(r)/π，h2(r)=r2+(1-r2)tanh2(r).則簡單計算，使得:

f1(0+)=h1(0)=0,g(r)=f1(r)/h1(r),

(23)

(24)

(25)

其中,φ(r)和γ(r)定義在引理2和引理4.

(26)

根據定理1和定理2可得推論1.

推論1雙向不等式

對所有r∈(0,1)成立.

四、結 語

第一類完全橢圓積分κ(r)、第二類完全橢圓積分ε(r)，以及算術-幾何平均AGM(a,b)在數學、物理、力學和工程方面有很多應用.本文通過算術-幾何平均與對數平均、正弦平均(或雙曲正切平均)、調和組合的比較,給出了第一類完全橢圓積分κ(r)的反雙曲正切與正弦(或雙曲正切)函數的兩個精確不等式.