應用題審題三部曲
——以一道有理數加法應用題為例

?江蘇省如皋市白蒲鎮初級中學 駱建華

題目小亮用50元錢購買了10支鋼筆，準備以一定的價格出售．如果每支鋼筆以6元的價格為標準，超出的部分記為正數，不足的部分記為負數，記錄如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，0.9，0.9.

(1)這10支鋼筆中售價最高的和售價最低的各是多少元？

(2)當小亮賣完鋼筆后是盈利了，還是虧本了？

分析:這是一道與正負數意義有關的問題，是學生在學習了有理數加法后呈現的一道例題．由于本題處于人教版教材七年級上學期的第一單元中，是學生進入第三學段后接觸到的第一類通過數學運算解決的應用題，因而，我們可以把此題的探索作為發展學生應用題審題能力的開端，引導學生經歷條件分析、思路探索和模型建構的全過程，并從最初就形成審題的基本套路，為后面解決更復雜的應用問題夯實基礎．基于這種想法，筆者建議按照如下步驟進行審題教學．

1 通讀全題，分析內涵結構

審題教學，培養學生通讀全題的習慣是第一步．從小學到初中，學段跨越對學生的認知水平和數學素養發展要求大幅度提升．大量豐富的生活情境涌入學生的數學認知活動中，學生面對的數學問題不再只是幾十個字的單一文本陳述，百字以上的題目比比皆是．在這些大容量文本信息之外，題目有時還會配上豐富的圖形、符號及表格以承載更多的數學信息．這么多的信息，顯然不是簡單地看看就能準確獲取的，更不要談一目十行快速瀏覽了．這需要學生學會分步審題，讓題目信息在“通讀到精讀”中逐步顯露出來．通讀，不是泛泛而讀，而是要結合題目有針對性地閱讀，在厘清題目內涵的同時，也要分析出題目的基本架構．以本文中的例題為例，通讀該題，我們至少要理清：(1)這是一個商品銷售問題，涉及到了商品的進價、標價、售價、總價、單價、利潤等數量信息.(2)本題的條件部分，呈現了(1)中的所有信息，問題部分包含求鋼筆的最高售價和最低售價，以及判斷鋼筆賣完后的盈利情況．這樣帶有目的性的通讀，能保證學生在兩個維度上獲取有益信息：一是本題是哪一類數學問題，這讓學生對接下來解題中可能會用到哪些數量關系有個初步了解，以保證對解題思路分析和解題模型選擇有一個大致方向；二是題目的條件與問題分布，也就是條件在何處，“問題”在哪兒，這對下一步精讀是很有意義的．初中學段中，不少數學問題的條件和所要求的結論是混在一起的，像本文中例題這樣分得開的，還是比較少.因此，讀題時若不能集中精力分析“給了什么”和“要求什么”，則會很容易暈頭轉向．通讀數學題，分清條件和結論的“方位”，將有利于學生集中注意力獲取關鍵信息，這雖是后話，此時介紹，將更有利于大家理解通讀的價值．通讀時，我們還應厘清問題的具體內涵及架構，這不僅是下一步精讀的方向，也是我們找尋問題解決思路的方向．所以，在通讀的過程中，要重點分析題目的結論(或問題)，并嘗試把這些結論(或問題)與已有知識網絡中的知識點產生聯系，看看與誰有關，比如本題第(1)問中的最高售價就與標準售價及差額有關.這樣將問題與關聯知識結合進行分析，對下面的閱讀非常有利．

2 細讀題干，找出核心數量關系

應用題教學，絕不能脫離數量關系來談思路分析與問題解決．不管是本文中用有理數加法解決的數學問題，還是后面用方程、不等式、函數解決的數學問題，其教學內核都是數量關系．因此，引導學生分析題中的數量關系，應成為應用題教學的核心．那么，數量關系又在何處呢？筆者以為，在通讀全題后，我們應從題目給定的條件中挖掘所有數量，探尋其中的相互關系，進而挖掘出與所要解決的問題高度相關的數量關系．如本文例題中，50元是總進價，10支是鋼筆的數量，每支6元是標準售價，而給出的0.5，0.7，-1，-0.9(單位：元)等是實際售價與標準售價間的差額．在這些量之間存在著“總售價=總進價+利潤”“單價×數量=總價”“實際售價-標準售價=差額”“每支鋼筆的售價之和=全部售價”等數量關系．這些數量關系中，究竟哪個最重要，哪些數量關系在問題解決中能發揮作用，這還要取決于題目的“問題”．這是后話，這里只說說如何從題干中搜尋核心數量．在通讀環節，我們已經摸清了題目的類型，對題中可能存在的各種量和相互關系有一個初步的認識，而題目中是否真的存在這些數量，以及這些數量間的關系是否真如預想中的那樣，還需要進一步深挖條件．比如，一般商品銷售問題中，會有“單價×數量=總價”，而細細分析本題的題干中，除“進價50元，數量10支”間或許會存在這樣的關系外，其余的數量之間并無此關系，也就是說這一關系在本題并非核心數量關系.而題中給出的那些“用正負數表示的標準售價與實際售價間差額”的一組數據則顯示，近期所學的正負數的意義或許是本題應用的重點．因而對差額獲得式子的變形及形成差額的過程則應成為本題核心數量關系．所以教學時，必須引導學生理解“0.5，0.7，-1，……0.9”這組數據的真正含義．學生只有明確知曉“是如何獲得這組數據的”，才有可能把“實際售價”“標準售價”“售價差額”三個量及其關系式“售價差額=實際售價-標準售價”挖掘出來，并運用到下面的析題解題中去．

3 解讀問題，找尋解題模型

對于一道數學題，問題是不可缺少的．明晰問題的含義，僅是解決問題的開端，無論是“通讀”，還是“細讀”都會兼顧到對題目問題的分析．但這種分析的深度尚不足以形成解決問題的思路，只有專門對問題進行解讀，學生才能努力把腦海中與問題解決相關的知識關聯起來，也才有可能形成問題解決的思路．所以，在剖析題中數量關系，并找尋到核心的數量關系后，對問題的深度解讀就特別重要了．我們要反復研讀問題，多角度分析：要求什么？我們需要什么？題目給了什么？求出什么就可以解決問題？在這些小問題的反復思量與解決中，題目的內涵、架構及其蘊涵的數量關系將進一步明確，進而問題解決的思路也將得到確認．比如本題第(1)問的最高售價、最低售價，就涉及到了標準售價和實際售價兩個知識點，而所求的就是實際售價的最大值與最小值．自然應用標準售價與實際售價、差額之間的關系式解決問題，即“實際售價=標準售價+差額”.而由于標準售價是固定的6元/支，因此最大值就應取差額的最大值代入上述模型計算，而最小值則同樣應取差額最小值代入模型進行求值．再如第(2)小問：盈利了，還是虧本了？這顯然是商品銷售中的利潤問題．利潤的求法有兩個常用模型：利潤=售價-進價(下稱“模型1”)，利潤=進價×利潤率．從題目給出的條件看，并沒有出現利潤率，顯然問題解決與第二個模型沒有太大的關系．所以接下來便是圍繞模型1的自我思辨．題中的售價有兩個：一個是標準售價6元/支，另一個是實際售價，它等于“標準售價+差額”．所以問題的解決還是集中到標準售價與差額上來．如何求？有了上面的分析，顯而易見有兩個方法：一是把每支鋼筆的實際售價求出來，再去求“總售價-總進價”的結果；二是整體考量，求出標準總售價與總差額之和即可得實際總售價，再去套用模型1求利潤即可．顯然方法二比方法一計算量小了不少，出錯的可能性自然也會隨之減小.以上方法實際上是我們在數學問題解決中常用的方法，從條件出發思考問題，在問題分析中回看條件：有什么？能得到什么？還需要什么？一步步走來，解題模型自然也就出來了．

應用題一直是數學教學的難點．多樣的問題情境，煩雜的數量關系，對學生獲取有用的解題信息形成了極大的干擾．如何排除干擾，讓思維行走在問題解決的正確道路上呢？筆者以為，培養學生的審題習慣是非常重要且十分有效的手段．階段性審題，將有利于學生集中注意力攻克時堅，把問題解決的路徑分支化，在不斷充實、豐富中逐步形成完整的思路，達成解題目標．所以，培養學生的審題習慣，應從學生進入初中后立即著手展開．要借助每一次數學問題的求解探索培養學生分步審題的習慣，讓學生在反復歷練中形成審題思維的范式，逐步形成個性化的分析問題和解決問題的策略．本文中，筆者所呈現的應用題審題三部曲就是引玉之磚，僅供廣大師生參考，不當之處，敬請批評指正．