金融數(shù)學(xué)對現(xiàn)代金融市場的影響及應(yīng)用研究

趙晨希

(加拿大西安大略大學(xué) 安大略省倫敦市 N6A3K7)

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，各行各業(yè)的發(fā)展都處于迅速上升階段。金融經(jīng)濟(jì)是經(jīng)濟(jì)市場的重要組成部分，其不斷完善需要金融領(lǐng)域的理論知識。算術(shù)在金融中的應(yīng)用是基于一系列金融或經(jīng)濟(jì)假設(shè)，使用抽象的數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)建金融運(yùn)作機(jī)制的數(shù)學(xué)模型。就金融經(jīng)濟(jì)而言，金融數(shù)學(xué)是一項基本內(nèi)容，是金融經(jīng)濟(jì)創(chuàng)新和突破的關(guān)鍵。

1 金融數(shù)學(xué)的基本概念

不同于金融經(jīng)濟(jì)學(xué)，金融數(shù)學(xué)所涉及的領(lǐng)域較為狹隘，理念也比較抽象。在股票市場中，金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家會做的往往是去研究某家企業(yè)當(dāng)前股價的結(jié)構(gòu)性原因，而計量金融學(xué)家則會通過運(yùn)用金融數(shù)學(xué)理論對當(dāng)前或歷史股價進(jìn)行一系列數(shù)值分析，從而對該企業(yè)的股票給出風(fēng)險評估，抑或是推算出相關(guān)衍生品的公平價格。套利、最優(yōu)與均衡是金融數(shù)學(xué)的三大基本思想，其核心內(nèi)容就是研究隨機(jī)環(huán)境下的投資組合、最優(yōu)選擇，以及資產(chǎn)定價理論。

就金融數(shù)學(xué)的本質(zhì)而言，它在股票市場上屬于金融學(xué)的重要分支。金融數(shù)學(xué)主要研究股票價格波動與股票價格變化之間的相互關(guān)系，以及股票價格變化對投資者決策行為的影響等問題，這也是所謂的股票市場的金融數(shù)學(xué)。所以股票市場金融數(shù)學(xué)是完全建立在金融理論環(huán)境與依據(jù)之上的。金融理論是金融市場的重要支撐。我們在處理與金融經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題時，可以利用數(shù)學(xué)模型來解決問題。

2 金融數(shù)學(xué)的理論構(gòu)成

2.1 投資組合選擇

投資組合理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨在1952年提出的，該理論對金融數(shù)學(xué)的發(fā)展具有明顯的指導(dǎo)意義。他在論文中進(jìn)行了詳細(xì)闡述，證明了單一證券產(chǎn)生的投資風(fēng)險要高于多種證券產(chǎn)生的風(fēng)險。他還否定了古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于投資者只是追求收益最大化的假設(shè)。在投資者希望同時考慮投資理論和投資構(gòu)成的情況下，與投資組合選擇有關(guān)的理論可以確保最佳選擇方案。

2.2 資本資產(chǎn)定價模型

資本資產(chǎn)定價(CAPM)理論主要是基于投資組合選擇的理論。盡管馬科維茨提出的理論對收益風(fēng)險之間的關(guān)系進(jìn)行了闡述和研究，但并不能一概而論，也很難詳細(xì)解釋風(fēng)險價值的具體來源。針對這種情況，夏普進(jìn)行了相關(guān)研究，并構(gòu)建了CAPM模型。 CAPM作為基于期望利潤均衡的風(fēng)險資產(chǎn)預(yù)測模型，解釋了在投資者配置市場均衡的情況下，將馬科維茨的投資組合理論中期望收益和風(fēng)險之間的關(guān)系用簡單的線性關(guān)系轉(zhuǎn)述出來，即資產(chǎn)的Beta與期望收益率之間存在正相關(guān)關(guān)系，用于衡量資產(chǎn)的風(fēng)險價值。盡管相關(guān)資產(chǎn)定價模型可以模擬金融市場的實際收益結(jié)構(gòu)，但它類似于靜態(tài)模型，不能結(jié)合實際情況靈活變化。因此，我們在遇到動態(tài)問題時，需要具體問題具體分析。作為多種客觀存在的風(fēng)險資產(chǎn)均衡價格判決理論、單一指數(shù)模型， CAPM不僅成功簡化了投資組合選擇的計算過程，使投資組合理論向現(xiàn)實世界邁出了重大一步，同時也使證券理論由過去定性考察向定量分析過渡，從規(guī)范性轉(zhuǎn)向?qū)嵶C性，進(jìn)而對證券投機(jī)理論和實際操作產(chǎn)生了巨大影響，甚至對金融理論和實踐的發(fā)展產(chǎn)生影響，成為近年來金融的理論基礎(chǔ)。

2.3 B-S期權(quán)定價模型

期權(quán)定價是金融數(shù)學(xué)中的一個復(fù)雜問題。在長期的研究中得出的結(jié)論是：期權(quán)的價格與當(dāng)前和未來的預(yù)測密切相關(guān)，不會因為投資者的喜好而改變。B-S期權(quán)定價模型可以為風(fēng)險預(yù)測提供有效依據(jù)，并可用于金融證券的開發(fā)和定價。

3 金融數(shù)學(xué)理論對現(xiàn)代金融市場的影響分析

3.1 鞅理論

大多數(shù)情況 下，金融市場中的投資者都在追求機(jī)會成本最小化。基于這個條件，鞅理論應(yīng)運(yùn)而生。金融數(shù)學(xué)理論的核心在于研究分析的投資期權(quán)與收益均是時間的增函數(shù)，通過觀察到投資期權(quán)曲線與投資收益曲線相切，而切點(diǎn)位置正是投資機(jī)會成本最小，也就是最佳投資的時間、階段。該理論目前主要的作用在于解決金融市場中的產(chǎn)品衍生問題，包括某些產(chǎn)品的價格定位等，確保其更為科學(xué)合理，適應(yīng)市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和變化。當(dāng)下，鞅理論在金融市場中乃至世界經(jīng)濟(jì)中都占據(jù)極為重要的位置，因此該理論得到全面推廣運(yùn)用。

3.2 子博弈理論

現(xiàn)代金融市場需要結(jié)合國家制度和國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展不斷創(chuàng)新。因此，金融理論會隨著時代的發(fā)展不斷順應(yīng)市場經(jīng)濟(jì)的需求。從核心來看，金融市場不是一成不變的狀態(tài)，內(nèi)部市場會呈現(xiàn)出不穩(wěn)定性。當(dāng)出現(xiàn)大的變化時，金融市場會受到很大影響，如股票、證券等。同時，金融市場的經(jīng)濟(jì)變化更難預(yù)測。無論金融理論是金融數(shù)學(xué)的動態(tài)模型還是定價理論，都不能完全適應(yīng)市場的波動。依據(jù)子博弈理論，可以有效把握市場經(jīng)濟(jì)。我們可在宏觀層面上對金融社會和經(jīng)濟(jì)進(jìn)行假設(shè)，利用金融數(shù)學(xué)的相關(guān)假設(shè)模型，找出適合市場波動的措施。對市場來說，該理論具有極高的價值和顯著的地位。

3.3 最優(yōu)停止理論

最優(yōu)停止理論，是概率論的一個支系構(gòu)成部分，也是近幾年出現(xiàn)的一個新理論。但是，這個理論并不是不可或缺的，也沒有被廣泛使用。之所以造成這類情況，主要是因為中國的相關(guān)理論研究還不夠深入，所以相關(guān)成果較少。企業(yè)界無法明確這一理論在哪些方面得到應(yīng)用，但使用這一理論的可行性顯而易見。就發(fā)展前景而言，該理論具有廣闊的發(fā)展前景。

3.4 隨機(jī)動態(tài)模型

就現(xiàn)代金融理論而言，數(shù)學(xué)對金融領(lǐng)域研究的又一意義在于將差異博弈法運(yùn)用于期權(quán)定價、投資決策等方面，這一領(lǐng)域的運(yùn)用已獲得卓越成果。由于金融市場整體規(guī)律與穩(wěn)態(tài)假設(shè)之間存在著不一致性，使得證券異常波動時引起異常變化，而這一變化并不遵循布朗運(yùn)動規(guī)律。在這種情況下，隨機(jī)動態(tài)模型就可以被用來研究和分析完整的投資決策。但是，這種方法不論在假設(shè)還是在實踐上，都有放大的偏差。利用微分法對股票市場中的金融問題和干擾進(jìn)行非幾何學(xué)的布朗分配在金融領(lǐng)域有著重要用途。該方法不僅可以有效地放寬這種假設(shè)，還可以將不確定的干擾變成不受影響的假象。通過對整個不確定問題的深入分析，組合策略可以獲得強(qiáng)大的穩(wěn)定性。

3.5 隨機(jī)最優(yōu)控制理論

隨機(jī)最優(yōu)控制是在控制理論的發(fā)展中逐漸成長起來的。通過對貝曼原理的相關(guān)性進(jìn)行合并優(yōu)化，用度量理論和函數(shù)分析方法進(jìn)行隨機(jī)分析。從隨機(jī)最優(yōu)挫制理論的應(yīng)用來看，金融專家在這一領(lǐng)域的驗證非常迅速。20世紀(jì)70年代初，有金融領(lǐng)城的研究人員發(fā)表了幾篇與經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的論文，其中莫頓在文章中闡述了用不間斷的時間和組合的方法來討論時，他們之間的組合分析是與實際情況額外一致的，也因此誕生出脈沖理論；而布洛克和米爾曼在隨機(jī)變化中，用間斷時間的方法對最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長進(jìn)行討論。隨機(jī)最優(yōu)控制理論不僅在金融市場中發(fā)揮著重要作用，還可以針對各類金融交易進(jìn)行判斷，并充分發(fā)掘其中的規(guī)律性，我國很多專家學(xué)者也在致力研究，以促使該理論能夠繼續(xù)突破發(fā)展。

3.6 經(jīng)驗信息實證

信息技術(shù)的不斷發(fā)展在一定程度上為金融數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展創(chuàng)造了良好條件。傳統(tǒng)的金融數(shù)學(xué)可以與小波分析、遺傳算法等其他計算方法相互補(bǔ)充、相互融合。通過對理論的實際應(yīng)用以及數(shù)據(jù)指標(biāo)和相關(guān)數(shù)據(jù)模型的構(gòu)建，得以驗證金融市場規(guī)律的可行性。隨著社會的不斷發(fā)展，實證方法也得到了更多專家的應(yīng)用和認(rèn)可。

金融數(shù)學(xué)的有效應(yīng)用可以優(yōu)化金融結(jié)構(gòu)，促進(jìn)金融工作的整體效率。金融數(shù)學(xué)還可對金融發(fā)展的具體趨勢產(chǎn)生清晰明確的認(rèn)識，抓住發(fā)展機(jī)遇，進(jìn)而通過金融數(shù)學(xué)為金融事業(yè)的不斷發(fā)展提供有效指導(dǎo)。

4 金融市場的現(xiàn)狀

當(dāng)前，我國經(jīng)濟(jì)正處于穩(wěn)定發(fā)展的態(tài)勢中，經(jīng)濟(jì)實力不斷增強(qiáng)。改革開放以來，我國逐漸融入全球一體化進(jìn)程中，對外開放進(jìn)一步擴(kuò)大。金融市場也在不斷發(fā)展進(jìn)步。金融市場已成為世界經(jīng)濟(jì)中一支不可忽視的力量，并給很多國家?guī)砹藳_擊。不過，對于金融數(shù)學(xué)來說，我國在20世紀(jì)90年代末才真正引進(jìn)，所以發(fā)展時間并不長，甚至與其他發(fā)達(dá)國家相比存在研究落后的問題，當(dāng)然，這也代表著金融數(shù)學(xué)在我國市場中仍然具有較大的發(fā)展空間。因此，加強(qiáng)金融數(shù)學(xué)研究具有深遠(yuǎn)影響和意義。

5 金融數(shù)學(xué)中存在的問題

傳統(tǒng)金融經(jīng)濟(jì)模型，可以分為兩類：一類是金融經(jīng)濟(jì)的相關(guān)運(yùn)行機(jī)制和初始條件確定后產(chǎn)生的決策理論模型，另一類是隨機(jī)模型。兩種模型實際上是相互矛盾的，這也導(dǎo)致了金融領(lǐng)域內(nèi)不同的學(xué)術(shù)陣營。一些陣營指出，金融市場以自己的方式運(yùn)作，并對其進(jìn)行技術(shù)分析。其他陣營則認(rèn)為，金融市場沒有規(guī)律性，因此需要進(jìn)行定量分析。金融數(shù)學(xué)中存在的問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)金融經(jīng)濟(jì)是有變化的，所以要對其模糊性和隨機(jī)性有一個清晰全面的認(rèn)識。需要了解具體的變化機(jī)制、規(guī)律、推導(dǎo)過程和最終結(jié)果，同時確定金融市場的變現(xiàn)貨幣。

(2)在對各國貨幣相關(guān)制度研究分析的基礎(chǔ)上，要對全球貨幣供求和資本流動的具體走向進(jìn)行綜合分析，從而構(gòu)建貨幣模型并保證模型的合理性。只有通過對貨幣模型的研究，才能進(jìn)一步研究金融市場，并獲得有效數(shù)據(jù)支持。

(3)要對金融市場進(jìn)行多層次分析，通過整合生產(chǎn)資源，使金融理論成果服務(wù)于金融領(lǐng)域。

(4)模型主要建立在假設(shè)的基礎(chǔ)上。這種情況下，就會出現(xiàn)與實際情況不一致的情況，甚至偏離現(xiàn)實情況之間。造成這種情況的主要原因是，由于每個國家的財政狀況有一定的差異，因此很難保證模型構(gòu)建的準(zhǔn)確性，這就需要結(jié)合實際情況對模型進(jìn)行擴(kuò)充、修改和完善。

(5)金融數(shù)學(xué)中投資組合風(fēng)險管理與資產(chǎn)定價理論兩大領(lǐng)域均屬離散金融市場與定性統(tǒng)計分析之關(guān)聯(lián)模式，只是在時間上具有連續(xù)性。因此，在分析工具的升級過程中，更有可能建立連續(xù)的時間模型。

6 金融數(shù)學(xué)在市場層面的創(chuàng)新應(yīng)用及發(fā)展前景

首先，大數(shù)據(jù)信息時代，利用好數(shù)據(jù)信息就能掌控市場發(fā)展，尤其是信息量龐大的金融市場，更需要對數(shù)據(jù)強(qiáng)大的收集和整理能力。因此，我們可以基于金融數(shù)學(xué)建立數(shù)據(jù)庫，從而實時把控金融市場中的數(shù)據(jù)，定位各類經(jīng)濟(jì)活動、金融業(yè)務(wù)提供支撐，進(jìn)而為金融數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展創(chuàng)造良好的條件。

其次，由于金融數(shù)學(xué)是計算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)理論的結(jié)合，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能夠促進(jìn)金融業(yè)務(wù)電子化的發(fā)展，使民眾在金融市場中需要的流程更少、速度更快，同時加強(qiáng)金融業(yè)務(wù)處理與反饋效率，使操作模式變得簡潔高效，提高金融業(yè)務(wù)的質(zhì)量和效率。此外，在證券領(lǐng)域的應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型的建立還可以模擬市場上的金融動態(tài)，從而幫助分析金融發(fā)展趨勢，評估和預(yù)測經(jīng)濟(jì)風(fēng)險。

最后，金融數(shù)學(xué)在市場層面的創(chuàng)新應(yīng)用還包括加強(qiáng)對其可持續(xù)發(fā)展的綜合研究。在金融市場的運(yùn)行中，往往很難找出具體規(guī)律，這就是隨機(jī)性和非線性，特別是在金融市場大幅波動的情況下，隨機(jī)性會更加明顯，這將導(dǎo)致金融市場的信息難以歸攏，增加金融數(shù)學(xué)應(yīng)用的難度。因此，在金融市場的分析中，我們有必要加強(qiáng)理論應(yīng)用，促進(jìn)金融數(shù)學(xué)的可持續(xù)發(fā)展。

7 結(jié)語

時代在不斷發(fā)展變化，金融市場也應(yīng)與時俱進(jìn)。現(xiàn)代金融市場的發(fā)展離不開科學(xué)技術(shù)的支持，尤其是數(shù)學(xué)理論和計算機(jī)技術(shù)結(jié)合而成的金融數(shù)學(xué)，在處理經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題時，必須重視信息技術(shù)的應(yīng)用，對數(shù)據(jù)進(jìn)行有效計算和整合。金融數(shù)學(xué)在金融市場的應(yīng)用滿足時代發(fā)展的具體需要，結(jié)合大數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型從而有效預(yù)防各項風(fēng)險，促進(jìn)提高金融業(yè)務(wù)處理質(zhì)量和效率，為金融市場的不斷發(fā)展提供充分的理論依據(jù)，從而促進(jìn)金融市場更好地發(fā)展。