基于TGARCH-偏態t分布模型的美元兌人民幣匯率波動實證分析

李瀟怡 李 芳 王忠輝

（山東工商學院統計學院,山東 煙臺 264005）

在經濟全球化背景下，匯率對經濟體間的交易越來越重要。長期看來，匯率的變動受到多方面因素的影響，有貨幣互換、資產特性、匯率制度等因素，而且不同國家不同時間的主導因素和影響程度又有區別。然而，中國目前實行以市場供求為基礎、參考一籃子貨幣進行調節、有管理的浮動匯率制度。市場供求因素在匯率形成中發揮決定性作用，價格機制的發揮使得短期內匯率的波動影響因素與長期因素有所不同。同時短期內匯率對經濟發展具有重要影響，國際貿易和進出口、資本流動、國內市場價格以及居民對金融資產的選擇都受到匯率的影響。自從2017年8月，美國前總統特朗普簽署備忘錄指示美國貿易代表辦公室（USTR）對中國開展“301調查”以來，美元兌人民幣匯率持續下跌。2019年突發的新冠肺炎疫情，又一次出現下跌情況，但與上一次波動變化完全不同。在短期內，找到在不同消息沖擊下對匯率具有良好擬合、預測效果的模型，將有效指導企業的經濟投資決策，降低生產經營的不確定性。

程魯敏[1]（2013）、郭菊喜[2]（2015）、曹俊秋等[3]（2016）對匯率預測研究多使用GARCH（1，1）模型，發現擬合曲線幾乎完全跟得上實際匯率走勢，主要論證了GARCH 模型對預測匯率數據具有可行性。越來越多學者關注匯率數據出現的非線性特征和杠桿效應，楊露露[4]（2019）、魯媛媛[5]（2022）、孫穎[6]（2022）還提出其他GARCH族模型，有GARCH-M模型、EGARCH模型、GARCH模型與神經網絡ELMAN混合模型、GKREGARCH模型以及非參數GARCH模型，這些衍生模型都有助于對匯率變化進行更深入的研究。

目前，GARCH族模型成為研究金融數據使用最廣泛的回歸模型。它不僅具有傳統金融數據計量模型的估計結果，還對數據的波動性進行了深入的建模分析，使它具有及時反映市場時變的優勢，并且能夠有效捕捉金融波動的集聚效應和異方差效應，特別適用于匯率數據的分析和預測。本文將繼續選擇GARCH模型，參考不同的數據分布類型，選取擬合精度更好的匯率擬合模型。

1 研究方法

1.1 移動均值模型ARIMA

20世紀70年代初，博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）提出了ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model）時間序列預測方法，即自回歸差分滑動平均模型。在ARIMA（p，d，q）中，AR是自回歸項，p為自回歸項階數；MA為移動平均項，q為移動平均項階數，d為對時間序列使用差分方法使其平穩的差分階數。ARIMA模型是指將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它的滯后期值以及隨機誤差項的現值和滯后期值進行回歸所建立的模型。模型的最大特點是可以從時間序列的過去值和現在值來預測未來值。ARIMA模型的實質就是差分運算和ARMA模型的組合。ARMA模型的基本形式：

1.2 波動模型GARCH模型族

ARCH模型，全稱自回歸條件異方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model）是特別用來建立條件方差模型并對其進行預測的模型。ARCH模型由ENGLE[7]（1982）提出，并由BOLLERSLEV[8]（1986）不斷發展成為GARCH（Generalized ARCH）族。通常對數據的波動性描述用方差來刻畫。對于有波動性的時間序列，不同的時間包含的歷史信息量不同，所以相應的條件方差也不同。ARCH模型的本質就是將歷史波動信息作為條件，表現隨時間變化而變化的條件方差。

ARCH建模的主要思想是時刻t的平方誤差依賴于t-1時刻的平方誤差的大小，即依賴于。已知歷史數據的情況下，假設零均值、純隨機殘差序列具有異方差性，即，異方差等價于殘差平方的均值，使用殘差平方序列的自相關系數，可以考察異方差函數的自相關性，考察的結果有以下兩種。

自相關系數恒為零，pk=0，k=1，2，3…，說明異方差函數是純隨機的。此時，歷史數據對未來異方差的估計沒有任何作用。

或存在某個自相關系數不為零，即pk≠0，k≥1，這意味著在殘差平方序列中，蘊含著某種相關信息，可以通過構造適當的模型，提取這些相關信息，以獲得序列異方差波動特征。

那么為q階ARCH模型，簡記ARCH（q）形式如下：

然而，在實際操作中，往往需要高階的ARCH模型才能充分刻畫金融數據的波動率過程，特別是高頻數據，但是高階的ARCH模型意味著需要用有限的數據去估計更多的參數，又會產生參數精度降低的問題。在1985年，BOLLERSLEV為了修正這個問題，提出了廣義自回歸條件異方差GARCH模型結構：

GARCH模型對波動性的描述，為分析大量金融數據提供了行之有效的方法，也成為最常用、高效的擬合異方差序列的模型。此后，研究人員不斷拓寬GARCH模型的使用范圍和模型結構，構造出了多個GARCH模型的衍生模型，如EGARCH（Exponential GARCH）指數GARCH模型，放寬了GARCH模型參數非負的約束，同時引入參數來刻畫杠桿效應；TGARCH模型（Threshold ARCH）門限GARCH模型，進一步修正了EGARCH模型對正負擾動的反應對稱問題。

2 數據選取與檢驗

2.1 數據選取

本文選取來自2015年1月至2022年9月工作日美元兌人民幣匯率日度數據。

2.2 數據檢驗

2.2.1 描述性統計

如圖1所示，匯率值在一些時間段波動明顯，而在一些時間段卻波動較小，表現出大的波動后跟著一個大的波動，小的波動后面跟著一個小的波動，體現出波動的集群效應。并且有上升趨勢，是典型的非平穩時間序列。為了消除其趨勢因素，采用差分的方法。記2015Y至2020Y的序列為a，記一階差分后的序列為b。序列b的均值為0.0002151801接近于0，標準差為0.01745822，偏度為0.3353162，說明序列分布有右拖尾性，峰度為5.866074大于標準正態分布的峰值3，說明序列b具有尖峰厚尾的分布特征。正態性檢驗J-B統計量為2267.2，p值遠遠小于0.05，說明序列拒絕服從正態分布，如圖2所示。

圖1 2015年1月至2022年9月工作日美元兌人民幣匯率日度數據變化趨勢

圖2 序列b的描述統計圖

2.2.2 平穩性檢驗

平穩性檢驗使用ADF檢驗，ADF檢驗的假設條件為：

H0：一階差分后序列是不平穩的 VS H1：一階差分后序列是平穩的。

經過計算一階差分后的a序列（b序列）的ADF統計檢量為-10.6020，遠遠小于1%水平下的臨界值-3.4330，且對應統計檢驗量的P值顯著，說明b序列平穩性良好。

2.2.3 相關性檢驗

對序列進行L-B檢驗，取滯后期數為30，得到的自相關、偏自相關系數（見表1），說明這個序列均具有前后相關性。

3 模型建立

3.1 建立均值方程

根據自相關、偏自相關系數結果（見表1），大部分函數值在正負0.04以內，顯示序列b具有很弱的自相關性，因此在條件期望模型中不需要引入自相關性部分。序列b的均值近似為0，且通過統計檢驗，建立無截距項形式。借助R軟件建立多個模型，按照AIC最小準則且估計參數盡量少的原則下，最后選擇ARMA（1，0）模型，模型對應的AIC值為-9616.388。對序列a建立選擇ARMA（1，1，0）模型。均值模型估計結果為:

表1 自相關ACF和偏自相關PACF系數結果

3.2 建立波動模型

3.2.1 ARCH效應檢驗

ARCH效應檢驗用來驗證序列是否具有異方差性，且由特定的自相關關系造成的。常用的ARCH檢驗統計方法LM檢驗，即拉格朗日乘子檢驗。該檢驗的構造思想是：如果殘差序列方差非齊，且具有集群效應，那么殘差平方序列通常具有自相關性。

檢驗的假設條件為：H0：殘差平方序列純隨機，備擇假設為H1：殘差平方序列自相關。當原假設成立，LM（q）檢驗統計量近似服從自由度q-1的卡方分布。當LM（q）檢驗統計量的P值小于顯著性水平時，拒絕原假設，認為該序列方差非齊，可以用q階自回歸模型擬合殘差平方序列中的自相關關系。

對ARMA（1，0）模型的殘差序列進行ARCHLM檢驗，取滯后期數為12，得到的LM（q）值為219.25，對應的p值遠小于0.05，相關系數為0的原假設被拒絕，說明殘差序列存在條件異方差性。

3.2.2 建立GARCH族模型

首先建立GARCH模型。GARCH模型的定階方法研究不多，一般用試錯法嘗試較低階的GARCH模型。由于b序列均值近似為零，設定模型不存在截距項。由于其他階數模型AIC信息量與GARCH（1，1）模型差距不大，但不如GARCH（1，1）簡潔，故本文選用GARCH（1，1）模型，也符合一般的GARCH模型階數設定。選定的GARCH（1，1）模型AIC值為-5.8377。

GARCH（1，1）條件異方差模型為：

ARCH項和GARCH項估計參數0.0711、0.9277都大于0，并且兩者之和小于1，滿足GARCH參數估計條件。并且兩項系數估計值顯著，反映了異方差性和波動聚集性的存在。

進一步嘗試EGARCH（1，1）模型、TARCH（1，1）模型，并且對殘差序列的分布假設分別為t分布、偏態t分布、ged分布和偏態ged分布，通過R軟件建立八組模型，八組模型估計結果均顯著，按照AIC信息準則，選取TGARCH（1，1）-sstd分布模型，AIC信息量為-5.9819，模型的參數結果如表2所示。

表2 序列b的TGARCH（1，1）-sstd分布估計結果

因此可以建立參數如下的條件異方差估計方程為:

其中虛擬變量dt-1滿足的條件是：當εt-1＜0時，為1；當εt-1＞0時，為0。γ不為0，說明序列具有杠桿效應。γ＞0，ARCH系數（α+β）依賴于歷史誤差項的符號為正，驗證了壞消息將比好消息對條件方差產生更大的影響，說明序列存在杠桿效應，并且信息存在不對稱性。在正干擾下（εt-1＞0），美元兌人民幣數值上升的消息對波動率的影響系數為0.093，在負干擾下（εt-1＜0），美元兌人民幣數值上升下降對波動率的影響系數為0.320。

殘差序列{μt}估計為偏度為0.9406，自由度為3.9869的偏態t分布。

進一步對估計殘差作加權ARCHLM檢驗，可發現檢驗統計量P值接近于1，接受原假設TGARCH模型的殘差不具有ARCH效應，說明條件異方差現象得到有效消除。

根據方差模型，5個工作日的預測結果如圖3所示。

圖3 基于方差模型的5個工作日預測結果

4 結論

ARIMA（1，1，0）-TGARCH（1，1）-SSTD模型能良好地刻畫人民幣匯率的波動特征及其規律。從短期來看，美元兌人民幣匯率有上升趨勢。匯率數據有明顯的集聚性。由殘差檢驗得到人民幣匯率存在明顯的波動集聚性，即存在ARCH效應，具有“尖峰厚尾、有偏分布”的分布特征，表現為匯率值在一些時間段波動明顯，而在一些時間段波動較小，而且表現出大的波動后跟著一個大的波動，小的波動后面跟著一個小的波動。

在利用TGARCH和EGARCH的非對稱研究中，TGARCH模型對一階差分的美元兌人民幣匯率序列的擬合效果比EGARCH模型的擬合效果更好，且都優于GARCH模型。對于殘差序列有偏且比具有尖峰厚尾特點的偏態t分布的擬合效果模型最優。一階差分的美元兌人民幣匯率序列具有杠桿效應，反映了外匯市場對人民幣匯率收益率的升值或貶值消息存在不同反應，外匯市場對美元貶值消息更敏感。人民幣匯率的條件方差與前一期的條件方差成正比。

根據宏觀經濟理論可知，人民幣匯率的走勢對進口商品的國內價格和國內消費者購買外國商品的價格都有顯著影響，同時對我國進出口貿易結構以及外商直接投資規模和投資結構都有較大影響。美元兌人民幣匯率的下降，會使出口商品的價格上升，進口商品的價格下降，導致我國商品在國內外市場都失去競爭力，從而影響我國的進出口貿易。反之，則有利于我國的進出口貿易。

對于居民來說（尤其是留學人員），匯率數據的波動即時影響著生活、購物、出行等方方面面。美元兌人民幣匯率的預測可以避免一些不必要的損失。需要注意的是，單一匯率數據的短期預測模型可以作為參考，盡量避免因匯率波動帶來的損失，而不能作為個人投資者的追求短期投機利益的工具。