借助幾何直觀構建數學模型
——基于核心素養下的《乘法分配律》教學

李麗麗

（廣饒縣第二實驗小學 山東東營 257300）

一、知識內容分析

教材呈現了分開算和合起來算兩種不同的解題思路，列出結果相等的算式，讓學生經歷“感知建模一類比歸納一驗證模型—質疑猜想一拓展認識”的建模過程。要求學生的思維已經開始由具體形象思維向抽象思維過渡，具備了一定的自主探究、遷移運用和推理能力。在探索加法運算律及乘法交換律和結合律時，學生已經經歷了“猜想—驗證—總結”這樣的探究學習過程。因此，教學過程中要尊重學生已有的知識與經驗，通過引導學生獨立探究、歸納概括，自主總結出乘法分配律，建立模型[1]。

二、學科德育滲透點分析

2022版小學數學課程標準中提出，應使學生通過數學學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。史寧中教授概括出以下三句話：用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達現實世界。這里可以將其歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型。那我們借《乘法分配律》一課來談一談如何在代數的教學中引入幾何模型支撐，讓抽象變得“看得見”。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，將數學問題轉化為直觀的圖，能具體生動地理解問題，符合學生的思維特點[2]。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復雜的問題變得簡明、形象。幾何直觀分為三個層次：感知、理解和洞察。受小學生思維特點的限制，本文主要涵蓋感知、理解兩個層次。

三、教學實施過程

1.創設情境，初感規律

師：同學們，在老師的校園里有一個漂亮的小花園，我們一起去看看花園里有些什么花吧！

課件出示情境圖。

課件出示情境圖。

師：請同學們仔細觀察，你發現了哪些數學信息？

信息預設：芍藥每行12棵，有9行。牡丹每行8棵，有9行。

學生回答，教師適時評價。

問：根據這些數學信息誰能提出數學問題？

生預設：芍藥和牡丹各有多少棵？芍藥和牡丹一共多少棵？芍藥比牡丹多多少棵？

教師根據學生的回答，課件出示本節課要解決的問題：芍藥和牡丹一共多少棵？

師：老師這里還有一部分關于芍藥園和牡丹園的信息。

課件出示：芍藥園長15米，牡丹園長10米，寬都是8米。

問：根據這些數學信息還能提出什么數學問題？

教師根據學生的回答，課件出示本節課要解決的另一個問題：芍藥園和牡丹園的面積一共多少平方米？

學生獨立思考解決以上2個問題，嘗試列出綜合算式。

交流匯報：學生投影展示做題情況，并結合情境圖，說說算式每一步的含義。

師：我們剛才用了兩種不同的方法解決了同一個問題，計算結果相等，所以可以用什么符號把這兩個算式連接起來？（等號）

師板書等式：（12+8）×9=12×9+8×9

銜接：我們再來看下一個問題。

交流匯報：學生投影展示做題情況，并結合情境圖，說說算式每一步的含義。

師：同樣，這兩個算式之間也可以畫上？（等號）

師板書等式：（15+10）×8=15×8+10×8

【設計意圖：學生通過自主解決教師創設情境中的實際問題，初步感知乘法分配律在生活中并不陌生，在解決問題過程利用數形結合，讓學生對于分開算和合著算的理解簡單明了[3]。然后學生通過觀察、比較發現兩組算式具有共同特征。從而初步感悟模型。】

2.對比觀察，形成猜想，舉例驗證

（12+8）×9=12×9+8×9

（15+10）×8=15×8+10×8

師：觀察這兩組算式等號左右兩邊的式子有什么相同點和不同點？再看每組算式的左右兩邊之間有怎樣的關系？這兩組算式左右兩邊相等是巧合呢？還是有規律呢？同學們想不想來驗證？

課件出示：仿照黑板上兩組算式的樣子，再寫出一組這樣的算式，然后計算你寫的算式左右是不是相等？

學生上臺板書自己寫的算式，并說明自己的驗證結果。教師借機向學生介紹一種巧妙的驗證方法，即從乘法的意義角度來驗證。

有沒有同學能舉出一個反例來推倒這個猜想呢（尋找反例和解釋反例）？

【設計意圖：在發現以上兩組算式的規律特征后，引導學生猜想是否具有這些特征的一組算式都相等？學生在嘗試舉例中，進行驗證發現結果都相等，從而進一步幫助孩子進行建模[4]。】

3.總結規律

看來這幾組算式不是一個巧合，具有一定的規律。這個規律就是今天我們所要學習的乘法分配律（引出課題：乘法分配律）。

問：誰能根據上面這幾組等式說一說什么是乘法分配律？

根據學生發言總結歸納乘法分配律。

問：如果我們用a和b代表這兩個加數，用c代表一個數，那么乘法分配律用字母怎么表示呢？

生：（a+b）×c=a×c+b×c 師板書

【設計意圖：學生根據之前學習交換律和結合律的經驗，自然而然就想到可以用字母來表示乘法分配律[5]。】

4.運用規律

銜接：接下來，讓我們用學過的知識來解決2個問題，有信心嗎？

（1）在方框里填上適當的數。

（1）（100+2）×12=100×_______+2×___

（2）236×3+236×7=236×（_______+_______）

我們前面學習了乘法結合律和交換律可以使計算簡便，那么乘法分配律能否使計算簡便呢？

比較第1題中的2組算式，看哪個計算簡便，為什么？

（2）計算 135×6+65×6 12×105

匯報交流并總結。

【設計意圖：在應用中內化規律，建立模型。這里設計的練習題既依據教材又高于教材，在第一題的基礎上滲透應用分配律可以使計算簡便的意識，思考所學規律的價值，為之后簡便計算的學習做鋪墊。】

5.總結反思

問：這節課你有哪些收獲？

師小結：這節課我們通過觀察猜測，舉例驗證，歸納總結，最后應用規律來認識了乘法分配律。我們可以運用這種方法來探究更多的新知識，希望同學們在以后的學習中多觀察、多思考，做一個勇于探索、敢于挑戰的好孩子！

【設計意圖：總結回顧不僅回顧這節課所學的知識，還要回顧學習知識的過程，即對建模過程的梳理，幫助學生形成整體的思維。】

四、教學總評

1.幾何直觀匹配問題情境

在本節課中雖然是通過觀察算式來發現規律，但是在算式形成的過程中為孩子們提供直觀、形象的現實情境圖，讓孩子在理解算式所表示的實際意義的基礎上，來更好地比較所謂分開算和合起來算其實本質相同。問題情境通過幾何直觀的形式呈現，讓學生在形中提升對數的認識，從而為建立模型打好基礎。

2.經歷建模的過程

大部分同學通過計算很容易得出分開算和合著算結果相等，從而把兩邊用等號連接，但是很少有學生能想到運用乘法的意義來解釋為什么相等，這也反映出在之前的學習中我們更加關注的是學習的結果而不是過程。這就需要教師在之后的教學中充分發揮引導作用，促進學生提高學習效率。

3.發展模型意識的層次呈現

學習從模仿開始，學生在解決“牡丹和芍藥一共有多少棵”和牡丹園和芍藥園面積的過程中，初步感知了乘法分配律的結構特征，接下來，學生在老師引導下觀察、比較這兩組算式，進一步發現這些算式的特點，使乘法分配律的表象躍然于黑板上，同時也清晰地投射在學生的頭腦中。在之后的仿寫舉例時，學生舉出很多例子來驗證是否符合乘法分配律，學生經歷完有層次的探究過程后，總結出乘法分配律也就是順理成章的事情，從而在內化運算規律的同時還發展了模型意識。