寓數(shù)于形以形解數(shù)
——芻議小學數(shù)學中的數(shù)形結合法

趙茹平

（廣東省東莞市東華小學 廣東東莞 523000）

就小學數(shù)學而言，數(shù)與形結合的主要研究課題包括數(shù)與形。這兩個部分也是學習數(shù)學最基本的技能。在具體條件和規(guī)律的研究中，數(shù)與形之間的聯(lián)系方式有很多種。這種聯(lián)系是數(shù)字和形狀的混合體。對于很多問題，數(shù)字與圖形相結合，有助于達到事半功倍的效果，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。所以說，數(shù)字和形狀的結合是每個中小學生都應該掌握的數(shù)學思想之一[1]。

一、人教版小學六年級數(shù)形結合例題

1.簡便運算：1+3+5+7+9+11+13+……+199=

數(shù)形結合可以表示：

由以上圖形可以看出，幾個數(shù)相加就是幾個的平方，所以我們要算出1+3+5+7+9+11+13+……+199=只要知道1-199，這期間有多少個奇數(shù)就行了，而這1+3+5+7+9+11+13+……+199都是奇數(shù)相加，我們可以知道。1-200是200個數(shù)，其中有一半偶數(shù)，一半奇數(shù)，那么1-199則是100個奇數(shù)，所以1+3+5+7+9+11+13+……+199=一共是100個數(shù)，那么1+3+5+7+9+11+13+……+199就是100個數(shù)，則1002=10000

2.數(shù)形結合事半功倍

將一個正方形看成是單位“1”，則1/2就是圖形的一半，這樣的話，1/2+1/4+1/8就等于1-1/8=7/8，算式1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128就等于1-1/128=127/128

3.楊輝三角

楊輝三角是我國古代重要的數(shù)學突破之一。出現(xiàn)于北宋（約公元11世紀）年間。數(shù)學家賈憲研究三角圖中除“1”外的每一個數(shù)字都等于其肩上的兩個數(shù)字之和。

（1）這是由數(shù)字構成的三角形圖，三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字“1”，而其余的數(shù)都等于他肩上的兩個數(shù)字相加。

（2）每一行的數(shù)字都具有對稱性，好比第8行的第二個數(shù)字為8，則其第8行倒數(shù)第二個數(shù)字也等于8。第三個數(shù)字是28，則倒數(shù)第二個數(shù)字也等于28；第四個數(shù)字是56，則倒數(shù)第四個數(shù)字也為56。

楊輝三角很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思維，也體現(xiàn)了我國古代人民的智慧。

二、數(shù)形結合的作用

數(shù)字和形狀的集合基本上是數(shù)字和形狀之間的一對一匹配。其本質是抽象數(shù)學語言與直觀圖形的結合，抽象思維與具體形象的沖突。它實現(xiàn)了抽象概念、圖像和具體表達之間的關系和轉換。把困難的事情變成簡單的事情，把抽象的事情變成直觀的事情。換句話說，數(shù)字和形狀的組合不僅僅是一種關系，更是一種數(shù)學思想（方法）。數(shù)字和形狀是數(shù)學中最古老和最重要的兩種元素。它們之間存在著辯證關系。宇宙的形狀與其釋放到外太空之間的關系是無限的。在小學數(shù)學學習中，數(shù)字和形狀結合的想法有一個獨特的優(yōu)勢。首先，從編輯小學數(shù)學教科書的角度來看，數(shù)字和形狀的內容并沒有人為地分開。第二步是結合形狀。為了讓學生系統(tǒng)地學習數(shù)學中數(shù)與形結合的思想，我需要在腦海中形成清晰抽象的數(shù)與形的概念。第三步，小學生的身心特點決定了基本教他們的特點帶圖形。在課堂教學中，教師使用數(shù)字形式，形狀和數(shù)字代數(shù)通常是數(shù)學中隱藏的幾何，以各種方式激發(fā)學生的思想。數(shù)字思維在小學被用作解釋為數(shù)字形式組的起點。尋找解決問題的方法，而不是數(shù)字和形狀的組合。在大局中解決數(shù)學問題時，您還需要使用數(shù)字和圖形的組合來找到問題的解決方案，而不是數(shù)字和形狀的組合。在解決某些數(shù)學問題時，還應該使用數(shù)字和圖形的組合。從圖形開始，即幾何，結合公理圖形，抽象數(shù)學語言，視覺思維，抽象思維，具體形象。通過對數(shù)量關系的研究，將抽象和直覺轉化為抽象和解決問題。思想是有意識和自由地塑造和形成的。可以靈活運用，是提高學習水平和鍛煉學習的好地方能力[2]。

三、數(shù)形結合的有效應用

在小學數(shù)學教育中，解決問題的研究可以概括為兩個方面：數(shù)量和形式。貫穿小學和初中數(shù)學課本的兩條主線是數(shù)字和形狀。數(shù)字與形狀相結合的解題方法是引導學生通過小學數(shù)學教育解決問題的基本內容。數(shù)字與形式的相互轉換體現(xiàn)了學習數(shù)學的一個重要思想，也是解決數(shù)學中基本問題和難點問題的重要途徑。比如，數(shù)字用代數(shù)表示，形狀用幾何表示，代數(shù)方法很抽象，但解題過程容易理解和熟悉，幾何方法直觀、生動、易懂、可操作性強。形狀組合是小學生學好小學數(shù)學的重要途徑。數(shù)字和形狀的組合有助于學生更好地理解。如何結合數(shù)字和形狀來解決問題重復使用使學生能夠靈活地整合和組合數(shù)字和形狀。這樣會加深學生對知識的記憶，使知識理解得更加透徹。

四、數(shù)形結合有助于理解抽象概念

在小學的數(shù)學教學過程中，學生不僅需要學會數(shù)學解題能力，還需要掌握數(shù)學思考能力。數(shù)學推理能力是指利用所獲得的數(shù)學知識將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。即根據(jù)已知的問題信息，生成相應的數(shù)學知識模型，利用相關的數(shù)學知識和方法解決問題。在教育背景下，教師培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，與學生互動，提出問題，幫助學生積極思考，拓展數(shù)學思維。我們以人教版六年級教材一道應用題為例，一條馬路長200米，小亮和他的小狗分別以均勻的速度同時從馬路的起點出發(fā)。當小亮走到這條馬路一半的時候，小狗已經到達馬路的終點。然后小狗返回與小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向終點，到達終點以后再與小亮相向而行……直到小亮到達終點。小狗從出發(fā)開始，一共跑了多少米？這個問題和現(xiàn)實生活很接近，那么如何運用數(shù)學思維來解決這個問題呢？該問題具有分數(shù)的概念和已知的數(shù)字條件。解決問題的關鍵是建立兩者之間的數(shù)學關系。學生可以用數(shù)字和形狀的組合來查看小亮和小狗在路上走過的距離。小狗走過的距離不清楚。因此，當學生再次遇到類似的問題時，我相信他們可以通過繪畫輕松解決。通過在學習數(shù)學的過程中引入數(shù)字和形狀的組合，可以將看似復雜的問題通過圖形分析直觀、簡單地簡化，學生可以很直觀地找到答案。只有通過不斷的學習和實踐，學生逐漸獲得了將數(shù)字和形狀結合起來的想法，提高了對知識的理解和記憶[3]。

小學階段學習的重點是正確理解和掌握數(shù)與形組合的概念，并有一個大致的了解。如果這些概念的性質不清楚，要么以點概面、以偏概全，或者知一而不知全局，未來數(shù)學知識的擴展和應用都會受到限制。事實上，數(shù)學課本中的很多數(shù)學概念都比較抽象，學生在學習過程中往往很難理解這些概念。因此，教師首先要對課本的知識點進行分類，找出那些比較抽象的概念，把學生難以理解和掌握的概念弄明白。其次，在解釋這些概念時，用數(shù)字和形狀來簡化復雜的問題，加深學生對概念本質含義的真實理解，增加他們學習數(shù)學的興趣，并結合使用。以人教版小學六年級數(shù)學教材《數(shù)學廣角-數(shù)字與形狀》例題為例，小學生很難從字面上理解數(shù)字和形狀組合的概念。對此，教師可以用數(shù)字和形狀的組合來解釋這一知識點。小林、小強、小芳、小兵和小剛是五位棋手，每兩位棋手需要下棋。小林打4盤，強打3盤，小芳打2盤，小兵打了1盤。請問：小剛一共打了幾盤？和誰一起？結合數(shù)字和形狀可以輕松解決連接問題。你可以通過引導人物之間的關系、聯(lián)想課本中的知識點、建立圖形思維、積極思考概念的本質等方式來加深對相關知識點的理解。

五、數(shù)形結合有助于學生解題思路的獲得

通過觀察例子，學生找到了相應的規(guī)律。這是數(shù)字和形狀結合的另一個層次的研究。真實圖片與數(shù)字的結合，幫助學生突破思維盲點，將舊認知與新數(shù)學聯(lián)系起來，提升知識體系和思維方式。在小學數(shù)學教育中，教師需要緊跟核心數(shù)學素養(yǎng)“指揮棒”，在日常教育活動中灌輸“數(shù)與形相結合的思想”。學生有不同的背景和思維方式，可以創(chuàng)造生動具體的教學情境，讓他們在舒適的環(huán)境中學習數(shù)學。充分利用教材提供的教育資源，利用多媒體教育課件，生動地展示學生照片，激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，在學生原創(chuàng)性的基礎上，體驗和促進學生的想象力和思維。自覺構建知識體系，提高學生核心數(shù)學素養(yǎng)[4]。

六、數(shù)形結合形成途徑及表現(xiàn)形式

數(shù)字和形狀的組合在小學數(shù)學中被廣泛使用，而如何將數(shù)字和形狀結合起來的本質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來。數(shù)學性質的研究依賴于對“形狀”的操縱。數(shù)學的本質是學會運用具有規(guī)律性的東西，用一種更直觀的方式將其表示出來，數(shù)學規(guī)則的形成需要以“形”為材料。小學數(shù)學規(guī)則主要是關于數(shù)字變化過程的具體實現(xiàn)以及運算規(guī)則研究。它是以鍛煉學生技能和思維形成為先導，闡明規(guī)則的合理性，讓學生理解派生過程的含義，不僅僅是理解數(shù)學，更重要的是學習和實現(xiàn)程序性目標。學生有自信和概括的能力，因為將數(shù)字和圖形相結合有助于解答更困難的問題。

新課標強調，數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，數(shù)學本身就源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算，形式推理，模型建構等，形成數(shù)學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質、關系和規(guī)律。這段權威性的論述，更表明數(shù)學來源于生活并且最終服務于生活，對于小學生來說，他們的抽象思維正在萌芽階段，更需要在學習的過程中多一些結合實際生活經驗和具象的圖形來幫助建立思維的模式，理解知識，進而能夠形成抽象化的數(shù)學模型。基于此，我們在教學中一定要多一些把數(shù)與形有機結合，幫助學生形成主動地學習習慣，能夠在興趣的基礎上主動學習，認真聽講，獨立思考，多一些引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生多一些在具體形象的情境中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，促進學生理解和掌握數(shù)學的基本知識和基本技能。我們要通過自身對數(shù)學中數(shù)與形有機結合的深入思考，進一步引導孩子們通過對數(shù)形結合的理解，提高抽象能力，形成數(shù)學概念、性質、法則和方法的能力。在數(shù)形結合中，讓孩子感悟用數(shù)學的眼光觀察世界的意義，形成數(shù)學抽象力，提高學習數(shù)學的興趣。

結語

小學數(shù)學是學生學習數(shù)學知識和理解數(shù)形結合思想的一門啟蒙課。在解釋數(shù)學概念時，教師可以靈活地使用數(shù)字和形狀的組合來向學生解釋抽象的數(shù)學問題。一是為了讓學生更好地理解，二是為了更好地培養(yǎng)學生結合數(shù)形的解題思維，從而讓學生更容易、更準確地理解和記住教科書的內容，也便于解決一般性的數(shù)形結合問題，培養(yǎng)了學生將數(shù)字和形狀結合起來的想法，并為未來的數(shù)學學習奠定了堅實的基礎。數(shù)字和形狀的結合是為了提高教師課堂的效率，取得優(yōu)異教學效果的有效教學方法。綜上所述，數(shù)字和形狀組合適應小學生的學習特點，拓寬了學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)了他們學習數(shù)學的興趣，激發(fā)了他們學習數(shù)學的熱情。