函數(shù)極值點(diǎn)偏移題型求解策略

黃順安

（云南省臨滄市第一中學(xué) 云南臨滄 677000）

引言

函數(shù)極值點(diǎn)的偏移問(wèn)題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問(wèn)題，也是函數(shù)變化過(guò)程中的一種非對(duì)稱的變化現(xiàn)象，該現(xiàn)象深受命題人的喜愛(ài)。極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在考試中通常以壓軸題的形式呈現(xiàn)，難度大、方法多樣、轉(zhuǎn)化靈活，是考查學(xué)生核心素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力的重要題型。同時(shí)也是考查學(xué)生的觀察力和零點(diǎn)估計(jì)方法。近年來(lái)，函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法越來(lái)越側(cè)重通性通法以及切入點(diǎn)的分析。在接下來(lái)的討論中，本文將系統(tǒng)探析極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理方法、極值點(diǎn)偏移考試題型的變化，以及極值偏移處理方法的推廣應(yīng)用。

一、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)且具有唯一一個(gè)極大（小）值點(diǎn)x0，方程f(x)=0(f(x)=m)的解分別為x1,x2且a＜x1＜x0＜x2＜b.若，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極值點(diǎn)x0偏移。f(x) 在區(qū)間(a,b) 上極值點(diǎn)0x偏移類型有以下兩種：

二、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常用解法

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的減法很多，比如構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)（偏差函數(shù)）法、比（差）值代換法、不等式放縮法（對(duì)數(shù)均值不等式法）、同構(gòu)視角下極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理、切割線放縮與零點(diǎn)差的估計(jì)等。處理極值偏移問(wèn)題的這些方法通常都是困難的。在新高考改革以及雙減政策的背景下，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具備一定的數(shù)學(xué)解題方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，成為新課程改革對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的要求，也成為高考數(shù)學(xué)能力考核內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)。因此，對(duì)高考數(shù)學(xué)題型的研究尤其在本質(zhì)及通法上的研究至關(guān)重要。事實(shí)上，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的考查側(cè)重于通用解法的考查。

典例1（2010年天津卷）：已知函數(shù)f(x)=x e-x

（1）求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若x1≠x2且f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2＞2。

（2）證法一：（構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)）

∵f(x1)=f(x2),x1≠x2且由（1）可知，0＜x1＜ 1＜x2（由于x1，x2只可能滿足這個(gè)不等式，如上圖）

要證x1+x2＞ 2，只需證明x2＞ 2 -x1＞1，由f(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以有f(x2)＜f(2 -x1)，即證f(x1)＜f(2 -x1)。

所以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)=x e-x-(2-x)ex-2(x＜1)，所以只需證明x＜1 時(shí)，h(x)＜0即可.

∴x∈(- ∞,1)時(shí)h'(x)＞0，即h(x)在x∈(- ∞,1)上單調(diào)遞增，則有。所以x1+x2＞ 2得證。

證法二：（商比代換法）

證法三：（差比代換法）

證法四：（對(duì)數(shù)均值不等式法）

證法五：（數(shù)形結(jié)合法）

由（1）得，f(x)=x e-x在（0，1）單調(diào)遞增，[1，+且0 ＜x1＜ 1＜x2。

要證x2+x1＞ 2，即證明。因此，只需證明x1，x2的中點(diǎn)大于1。由f(x)=x e-x的函數(shù)圖像且f(x1)=f(x2),x1≠x2，只需證明x1關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值f(2 -x1)滿足f(x2)＜f(2 -x1)，即證明f(x1)＜f(2-x1)。后續(xù)證明參考證法一。

三、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題通性通法的解法及結(jié)論

1.方法一：（對(duì)稱化構(gòu)造法），構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論x2+x1＞ 2x0型，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2x0-x)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)。通過(guò)研究h(x) 的單調(diào)性證明不等式。

方法二：（比值代換法），通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式利用函數(shù)單調(diào)性證明。

2.極值點(diǎn)偏移中的主流題型、方法及注意點(diǎn)

（1）構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)（或偏差函數(shù)）的方法才是一種最為通性通解的方法。

（2）比（差）值代換雖然過(guò)程簡(jiǎn)潔，但是對(duì)式子的變形、雙變量化為單變量是這種方法的難點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程中需要用到一些特殊的指對(duì)變形，這將在下面的內(nèi)容中有所呈現(xiàn)。同時(shí)，比（差）值代換不是萬(wàn)能的，在某些含參數(shù)的偏移問(wèn)題、某些復(fù)雜函數(shù)中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。

（3）不等式放縮法處理極值偏移問(wèn)題，這種方法技巧性很強(qiáng)，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生學(xué)情酌情處理。

（4）同構(gòu)視角下處理極值點(diǎn)偏移其實(shí)還是簡(jiǎn)單的，但這種方法主要還是考查學(xué)生的觀察能力，及推理能力，這一點(diǎn)重在同構(gòu)方面的練習(xí)進(jìn)行突破。

四、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在高考中的趨勢(shì)

從2009年、2010年的遼寧、天津開(kāi)始，極值點(diǎn)偏移逐漸進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的視野，到了2016年全國(guó)一卷出現(xiàn)了極值點(diǎn)偏移后，對(duì)極值點(diǎn)偏移的解法有了多種研究，可以說(shuō)極值點(diǎn)的偏移的題型形成了一系列的解法。2021年新高考I卷、2022年的全國(guó)甲卷再度考查極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題。此外，傳統(tǒng)的極值點(diǎn)偏移正在向零點(diǎn)估計(jì)轉(zhuǎn)型，所考查的是學(xué)生更加敏銳的觀察力和對(duì)常見(jiàn)零點(diǎn)估計(jì)方法的掌握，同時(shí)也還是突出重視通性通法的考查。

典例2：（2021年新高考I卷）已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

討論f(x) 的單調(diào)性；

（2）設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：

解析：（1）易得f(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞增，在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減。

證法一：（構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)）

證法二：（商比代換法）

證法三：（同構(gòu)視角下的證明方法）

同構(gòu)視角下處理極值點(diǎn)偏移其實(shí)還是簡(jiǎn)單的，但這種方法，主要還是考查學(xué)生的觀察能力，及推理能力，這一點(diǎn)重在同構(gòu)方面的練習(xí)進(jìn)行突破，難點(diǎn)就是同構(gòu)。

若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，證明x1x2＜1。

解析：（1）略

（2）證法一（構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)）略

證法二（構(gòu)造商比）略

證法三（同構(gòu)視角下的證明方法）

從2021年新高考I卷、2022年高考甲卷極對(duì)值點(diǎn)的偏移的考察，還是突出通性通法，同時(shí)在切入點(diǎn)方面更體現(xiàn)學(xué)生敏銳的觀察能力，尤其是2021年的新高考I卷，同時(shí)這兩道題都可以在一個(gè)同構(gòu)式的新視角下處理極值偏移問(wèn)題，說(shuō)明高考試題更體現(xiàn)方法多元化，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、觀察、邏輯推理能力等核心素養(yǎng)。

五、極值偏移問(wèn)題解法在拐點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用

當(dāng)理解偏差函數(shù)的本質(zhì)時(shí)，很多不是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的雙邊量問(wèn)題也可以用極值偏移問(wèn)題的處理方式進(jìn)行處理。

求f(x)的極大值；

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通性通法的解法研究，有助于我們?cè)诮虒W(xué)中減少機(jī)械刷題，而且從本質(zhì)上理解極值點(diǎn)的偏移，有助于對(duì)拐點(diǎn)的解決。另一方面，本質(zhì)上理解極值點(diǎn)的偏移有助于通性通法本質(zhì)的理解，以達(dá)到更能適應(yīng)現(xiàn)在的高考，更能有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。